Matematica per le superiori

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Teoria   —   Esercizi


  1. Primo anno
  2. Secondo anno
  3. Terzo anno
  4. Quarto anno
  5. Quinto anno
  6. Extra

Questo libro propone un approccio alla matematica sulla falsariga del programma di matematica di un liceo scientifico o, più in generale, delle scuole superiori. Gli argomenti sono pertanto divisi per anni.

Premessa[modifica]

Da dove si incomincia in matematica? Dal nulla![modifica]

Bene arrivato allo studio della matematica, una materia che non puoi toccare perché è nata nella mente umana e non ne è mai uscita. Non puoi neanche puntarle il dito contro e nessuno dei tuoi sensi può registrarne la presenza.

Quando i tuoi occhi fissano una pagina di matematica non è La Matematica quella che vedi ma solo una raccolta di simboli. La matematica, semmai, è il significato di quei simboli, cioè quello che essi rappresentano.

Dunque la Matematica è un linguaggio e, per la precisione, è un linguaggio molto diffuso. Meglio ancora: la matematica è il Linguaggio Universale per eccellenza (con la L e la U maiuscole), visto che non c’è alcuna altra lingua insegnata con altrettanta diffusione su tutto il pianeta.

Basta fare la prova: si mettano a confronto in una stanza due persone provenienti dai capi opposti della terra. Se sono competenti in campo matematico, si verificherà senza dubbio il fatto che essi possono leggere la stessa pagina di matematica e capirne le implicazioni con pari precisione, intendere uniformemente le domande che vi sono contenute e portare avanti il ragionamento descritto senza mai scambiarsi una parola.

È addirittura ragionevole credere che la stessa cosa potrebbe avvenire in un ipotetico incontro fra esseri umani ed alieni (in questo caso, però, ci sarebbe bisogno anche di una preventiva fase di analisi ed interpretazione delle convenzioni adottate dai reciproci sistemi di scrittura).

Queste pagine sono dedicate a te che ti senti come un alieno e vedi la pagina piena di simboli ma non riesci ancora a sentire il linguaggio che da essi promana.

Se davvero hai deciso di acclimatarti, cancella ogni pensiero dalla mente e liberati di ogni preconcetto. Quando avrai raggiunto la sensazione di totale vuoto sarai arrivato al punto di partenza ideale per cimentarti con la Matematica: sarai arrivato al grande Nulla (con la N maiuscola).

Per avanzare oltre il Nulla ed esprimere le idee che via via produrremo, dovremo usare il Linguaggio della Matematica che, grazie ad alcuni principi di funzionamento fornitici dalla Logica, riuscirà progressivamente ad estendere il proprio raggio di azione senza mai contraddirsi.

La logica[modifica]

Vale dunque la pena di soffermarsi un attimo a considerare quale sia la natura della Logica. Spesso per Logica si intende lo studio del corretto modo di ragionare anche se, sull’esatta definizione di Logica i filosofi stanno ancora ragionando (hi, hi!).

Comunque sia, un ragionamento logico è un processo che, date alcune premesse, ordinatamente conduce ad una conclusione. Una premessa è un’affermazione semplice che può essere utilizzata come punto di partenza per un ragionamento. Una conclusione è invece il punto di arrivo del ragionamento.

Ovviamente non si può ragionare (né raggiungere alcuna conclusione) senza avere qualcosa su cui ragionare. Un ragionamento inoltre è utile quando produce una conclusione che ci dice qualcosa a proposito delle premesse originarie. Un esempio di tale processo ordinato potrebbe essere:

Premessa
Qualcosa che ha dell’acqua sopra di sé è bagnato
Premessa
Qualcosa che non sia protetto dalla pioggia riceve acqua su di sé.
Conclusione
Qualcosa che non sia protetto dalla pioggia si bagna.

Queste tre affermazioni costituiscono un ragionamento logico. Utilizzando la conclusione ottenuta possiamo ora classificare le cose che ci circondano a seconda del rischio che corrono di bagnarsi la prossima volta che piove: il divano di casa è al sicuro ma gli alberi del giardino non lo sono.

È da notare il fatto che la conclusione discende direttamente dalle premesse, perché in questo esempio non esiste un "corpo" del ragionamento. Tuttavia, riflettendo meglio su questo ragionamento, diventa evidente che esso non è autosufficiente e che noi siamo piombati nel bel mezzo di qualcosa. Avresti infatti tutto il diritto di chiederti: che cos'è la pioggia? che cosa è l'acqua? che cos'è qualcosa?

Naturalmente ci sono un sacco di ragionamenti che potrebbero aver preceduto quello che abbiamo scritto noi. Per esempio, avremmo potuto definire l'acqua come una raccolta di molecole dalla formula chimica H2O e definire la pioggia come una raccolta di raccolte di molecole del tipo H2O. Così saremmo stati in grado di impostare un ragionamento che colleghi la pioggia con l'acqua.

Ma a quel punto avremmo dovuto domandarci: cos'è una molecola? È ben possibile definire la molecola come una raccolta di atomi ma, in definitiva: che cos'è un atomo?

E poi, comunque, che cos'è una raccolta?

Diventa rapidamente ovvio il motivo per cui i filosofi trascorrono tanto tempo in silenzio a pensare.

Fortunatamente noi ci stiamo occupando di matematica e non del significato dell'esistenza (cosa sulla quale si potrebbe stare a pensare per tutta la vita). Perciò ricordiamoci che un utile ragionamento logico produce sempre una conclusione che ci dice qualcosa sulle premesse originali. Noi, ad esempio, abbiamo scoperto che possiamo combinare le due premesse in una forma più compatta che è rappresentata dalla conclusione.

In questo caso sarebbe difficile sostenere che la conclusione sia più utile delle premesse. Tuttavia, alcuni ragionamenti possono utilizzare un gran numero di premesse ed arrivare ad una conclusione semplice ma tremendamente utile. Questo processo è detto "riduzione " e ci interessa molto.

La Riduzione è infatti la prima pietra da posare nell'edificazione del Costrutto Matematico.

Impostando il costrutto matematico[modifica]

È ora di cominciare a costruire!

Siccome stiamo partendo dal Nulla non possiamo ancora fare ragionamenti: prima ci serve almeno una premessa!

Premessa: un oggetto è qualcosa che può essere descritto.

Trascureremo qualsiasi ragionamento che conduca a questa premessa (come conclusione) perché la considereremo di interesse esclusivamente filosofico e affermeremo (non supporremo) inoltre che questa premessa è vera.

Considera attentamente l'affermazione di verità che abbiamo appena fatto. Le sue implicazioni sono potenti: fin dal primo momento la Matematica rinuncia ad essere tangibile e specifica cosicché ora possiamo dire che "l'universo è un oggetto", che "il vuoto è un oggetto" e anche "le parole sono oggetti" dato che possono essere descritti.

Ma allora anche un Pensiero, un Colore o perfino Qualcosachenonèancorastatoscoperto sono oggetti!

Ahhh, la libertà! L'assenza di confini!

Se conserveremo questa premessa fondamentale (lo faremo, lo faremo) il nostro Costrutto Matematico avrà un'ampiezza e una portata tremende.

Un momento! C'è un problema: la nostra premessa è scritta usando parole, italiane in questo caso, e noi non vogliamo che questo limite discrimini fra chi può leggere, capire e usare questa premessa e chi non può farlo.

Tra l'altro esistono concetti presenti solo in altre lingue e cose non ancora scoperte che sarebbe un peccato escludere dall'ambito matematico.

Per evitare che la limitazione linguistica ponga confini indesiderati al nostro Costrutto, dovremo usare Simboli al posto delle parole. Per il momento rappresenteremo gli oggetti tramite lettere minuscole ma dovremo ricordarci che si tratta di Simboli Matematici, non di lettere. Le lettere hanno un suono, i Simboli hanno solo un significato.

I Simboli possono rappresentare qualsiasi oggetto, lo dice la premessa data prima, e così ora siamo pronti ad aggiungere un'altra premessa al nostro Costrutto.

Premessa
un Simbolo è un carattere scritto.

C'è però un altro problema. Noi non disponiamo di un numero di simboli tale che ogni oggetto possa avere il suo Simbolo specifico: non ci andiamo neanche lontanamente vicino. Inoltre, anche se ne avessimo a sufficienza, dovremmo comunque creare (e rassegnarci ad aggiornare continuamente) un gigantesco Dizionario dei Simboli che aiuti le persone ad abbinare correttamente una tale mole di simboli ai corrispondenti oggetti.

Questo problema ci fa ripiombare dritti dritti nel problema linguistico che credevamo di aver superato. Così, per risolvere anche il problema dei Simboli, aggiungiamo la seguente premessa al nostro Costrutto.

Premessa
una Variabile è un Simbolo che rappresenta una proprietà di alcuni oggetti.

Fiiiuuu! Il nostro Dizionario, adesso, è diventato molto, molto più piccolo.

Per esigenze pratiche è conveniente vincolare almeno qualche Simbolo ad oggetti ben definiti e considerati di portata universale. Tuttavia, qualsiasi Simbolo che non debba sostenere questo ruolo, può essere usato come una Variabile.

Il punto chiave a proposito di una Variabile è che essa "rappresenta una proprietà". Per fortuna questa è una premessa aperta, dato che l'idea "rappresenta una proprietà" non è affatto restrittiva.

Evviva! Il nostro linguaggio resta universale ed abbiamo riconquistato la libertà. Utilizzando le precedenti premesse possiamo ora definire una Variabile:

Sia β (la lettera greca beta) un oggetto con due ruote.

Questa affermazione non richiede che noi si indichi esattamente quale oggetto con due ruote venga rappresentato da β. In effetti, tra gli oggetti che soddisfano β potrebbe anche essercene uno che non esiste. Ora però possiamo dire quali potrebbero essere oggetti del tipo β. Per esempio, β potrebbe essere una bicicletta ma non un’automobile; oppure β potrebbe essere una motocicletta ma non una motonave.

Osserva il fatto che la premessa relativa a β ci consente di separare tutti gli oggetti in due gruppi distinti: il gruppo di quelli che soddisfano la condizione β ed il gruppo di quelli che non la soddisfano. Questa osservazione ci conduce alla prossima premessa.

Premessa
un Insieme è un gruppo di oggetti che hanno una o più proprietà in comune.

Gli Insiemi hanno un’importanza vitale in Matematica perciò, se non hai le idee proprio chiare sul percorso che abbiamo fatto per arrivare a questa premessa, vale proprio la pena che tu riveda il nostro ragionamento.

Andiamo avanti?[modifica]

Gli Insiemi sono così importanti e vengono utilizzati in modo talmente frequente da richiedere, per la loro rappresentazione, alcuni di quei simboli che abbiamo chiamato universali. Ad esempio, tra i simboli universali attribuiti agli Insiemi, ci sono le parentesi graffe utilizzate in questo modo:

Premessa verbale
L’insieme B contiene tutti gli oggetti rappresentati dalla Variabile β.
Premessa (quasi) matematica
B è la stessa cosa di {β}.

La notazione è "quasi" matematica perché contiene parole in italiano. Aggiustiamo subito questa faccenda:

Premessa
Equivalenza significa che due simboli rappresentano lo stesso valore oppure sono proprio la stessa cosa.

Un altro termine utilizzato per questa condizione è Uguale. In Matematica il Simbolo che rappresenta l’Equivalenza è il Simbolo "=" che si legge, appunto, "uguale". Nella nostra notazione "quasi" matematica di prima, la locuzione "è la stessa cosa di" indica un’Equivalenza. Ecco quindi che possiamo riscrivere la condizione in un linguaggio perfettamente matematico:

B={β}

Speriamo che, leggendo questa scrittura, la tua mente senta: "B è l'insieme di tutti gli oggetti che soddisfano la condizione della Variabile β".

Nella letteratura matematica è frequente l’uso delle lettere maiuscole come simbolo per gli Insiemi e delle lettere minuscole come simbolo per le Variabili. Di solito, inoltre, si usano lettere dell’alfabeto corrispondenti: maiuscole per gli Insiemi, minuscole per le Variabili che individuano i loro elementi. Da ora in avanti anche noi seguiremo questa convenzione.

Esempio
A={a}

Cosa ha sentito la tua mente mentre leggevi questa scrittura?

È interessante notare che la Variabile "a" non è mai stata definita e che, nonostante ciò, noi capiamo l’idea espressa dalla scrittura che ne contiene il simbolo.

È anche importante rendersi conto che questa scrittura non ha avuto bisogno di essere ratificata da una premessa. Si tratta di un piccolo assaggio del potere speciale della Matematica.

Premessa: Generalizzazione è la capacità che la matematica ha di stabilire comportamenti e relazioni fra una vasta gamma di oggetti senza definire effettivamente di quali oggetti si stia trattando.

Non disponiamo ancora di tutti gli strumenti che ci permetterebbero di sfruttare completamente la generalizzazione. Ma un giorno, chissà...

Per il momento ecco la premessa per un altro insieme:

P={p}

Questo è un insieme astratto dal momento che non sappiamo cosa rappresenti la Variabile "p".

Q={q: tutte le parole che iniziano con la "m"}

Questo, invece, è un insieme concreto dato che contiene la premessa che qualifica la Variabile "q". Però abbiamo dovuto usare un nuovo simbolo universale.

Premessa
nella notazione insiemistica i due punti ":" si usano per esprimere l’idea "è definito come".

Utilizzando questa premessa nella lettura della rappresentazione di Q sentiamo: "Q è l’insieme di tutti gli oggetti che soddisfano la Variabile "q" che è definita come tutte le parole che cominciano con la "m"."

C’è anche un altro modo di rappresentare un insieme quando gli oggetti che gli appartengono sono noti:

X = {x: asino, fungo, bicchier d’acqua, nuvola}

Ti sfido a trovare una frase che definisca correttamente la caratteristica distintiva di questi oggetti. Non ci riesci, vero?

Eppure, nonostante ciò, questo è un modo corretto di rappresentare un insieme. Anzi, questo costituisce un’ulteriore prova a sostegno del potere della Matematica: può esprimere idee che sono fuori dalla portata del linguaggio ordinario.

Che ne dici? È un buon inizio?

Libri correlati[modifica]