Matematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali

Matematica per le superiori

Copertina

Tutti i moduli · Sviluppo

Teoria   —   Esercizi

1. Primo anno
   • Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
   • Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
   • Insiemi numerici
     • Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
     • Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
     • Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
     • Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
     • Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
   • Algebra
     • RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
     • FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
     • Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
     • I monomiMatematica per le superiori/I monomi
     • I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
     • Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
     • Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
     • Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
     • EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
     • Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
     • Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
   • Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
     • Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
     • Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
     • Rette perpendicolari e rette parallele
     • Parallelogrammi e trapezi
2. Secondo anno
   • Algebra
     • Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
     • Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
     • RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
     • Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
     • Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
     • Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
     • Le equazioni di grado superiore al secondo
     • Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
   • Geometria
     • Isometrie
     • Circonferenza
     • Poligoni inscritti e circoscritti
     • Equivalenza dei poligoni
     • Omotetia
     • Similitudine
     • Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
     • Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
3. Terzo anno
   • Geometria analitica
     • La rettaMatematica per le superiori/La retta
     • La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
     • La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
     • L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
     • L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
     • SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
     • Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
   • Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
   • Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
   • Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
4. Quarto anno
   • TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
   • Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
   • Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
   • Statistica
5. Quinto anno
   • LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
   • Funzioni continue
   • DerivateMatematica per le superiori/Derivate
   • Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
   • Studio di funzioni →
   • IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
   • Calcolo numerico
6. Extra
   • Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
   • MatriciMatematica per le superiori/Matrici
   • Combinatoria
   • Probabilità

• Appendici
  • Tavola delle principali notazioni simboliche matematicheMatematica per le superiori/Tavola delle principali notazioni simboliche matematiche

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Per disequazione irrazionale si intende una disequazione in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. Nella forma più semplice:

${\sqrt[{n}]{A_{(x)}}}\geq B_{(x)}\,$

Esponente dispari

${\sqrt[{3}]{f_{(x)}}}>g_{(x)}\quad \rightarrow \quad f_{(x)}>g_{(x)}^{3}$

La risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali non comporta particolari problemi nel caso in cui l'indice $n$ della radice sia dispari: in tal caso è sufficiente elevare alla $n$ l'intera disequazione, poiché non ci sono problemi legati al segno del radicando, che può essere sia positivo che negativo.

Esponente pari

${\sqrt {f_{(x)}}}>g_{(x)}$

In caso di indice pari, in cui il radicando dev'essere sempre positivo (non esiste in $\mathbb {R}$ la radice di un numero negativo), è invece necessario considerare:

• I valori di x per cui $g_{(x)}\geq 0$
• I valori di x per cui $g_{(x)}<0\,$

I secondi sono sempre validi, a patto naturalmente che non rendano negativo il radicando, poiché qualsiasi valore della radice sarà sempre maggiore di un numero negativo. Per quanto riguarda i primi invece è necessario verificare che siano effettivamente maggiori di $g(x)$ elevando all'indice della radice di $f(x)$. La soluzione finale sarà l'unione delle due casistiche.

Si avranno quindi i seguenti sistemi:

$\left\{{\begin{matrix}g_{(x)}>0\\f_{(x)}\geq 0\\f_{(x)}>g_{(x)}^{2}\end{matrix}}\right.\quad \cup \quad \left\{{\begin{matrix}g_{(x)}\leq 0\\f_{(x)}\geq 0\\f_{(x)}>g_{(x)}^{2}\end{matrix}}\right.$

Nel primo sistema la seconda disequazione è già presente nella terza (per essere maggiore di $g(x)>0$, $f(x)$ dev'essere per forza positivo), mentre nel secondo sistema, come già detto, i valori, positivi, della radice di f(x) saranno sempre maggiori dei valori, negativi, di $g(x)$; la terza disequazione è quindi superflua.

Eliminando le disequazioni non necessarie si ottiene:

$\left\{{\begin{matrix}g_{(x)}>0\\f_{(x)}>g_{(x)}^{2}\end{matrix}}\right.\quad \cup \quad \left\{{\begin{matrix}g_{(x)}\leq 0\\f_{(x)}\geq 0\end{matrix}}\right.$

In questo modo è possibile risolvere algebricamente ogni disequazione irrazionale.

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