Matematica per le superiori/Matrici

Le matrici sono tabelle di elementi ordinati per righe e per colonne. Sono uno dei metodi più frequenti ed efficaci per rappresentare dati di diversa natura.

Definizioni

Gli elementi di una matrice vengono in genere indicati con una coppia di indici a pedice.

In matematica, una matrice è uno schieramento rettangolare di oggetti; le matrici di maggiore interesse sono costituite da numeri come, per esempio, la seguente:

$A={\begin{bmatrix}1&0&5\\1&-2&0\end{bmatrix}}.$

Le matrici sono ampiamente usate in matematica e in tutte le scienze per la loro capacità di rappresentare in maniera utile e concisa diversi oggetti matematici, come valori che dipendono da due parametri o anche sistemi lineari, cosa, quest'ultima, che le rende uno strumento centrale dell'algebra lineare.

Si definisce matrice quadrata $n\times n$ una matrice il cui numero n di righe è uguale al numero delle colonne. In questa matrice si può identificare la diagonale principale che è data dall'insieme degli elementi il cui numero di riga è uguale a quello di colonna.

Esistono altre particolari matrici:

• La matrice nulla è quella matrice formata da tutti 0: $A={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

• Ogni matrice $m\times n$ ha una sua inversa rispetto all'addizione formata dagli stessi elementi cambiati di segno (matrice opposta). $A={\begin{bmatrix}2&4&-4\\1&-2&0\end{bmatrix}}$ → ${\begin{bmatrix}-2&-4&4\\-1&2&0\end{bmatrix}}.$

• Le matrici riga sono formate da una sola riga: $A={\begin{bmatrix}8&-2&3\end{bmatrix}}.$

• Le matrici colonna sono formate da una singola colonna: $A={\begin{bmatrix}3\\6\\-5\end{bmatrix}}.$

• Una matrice in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali ad 1 e tutti gli altri elementi sono uguali a 0 viene definita matrice unità o matrice identica: $A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

• Scambiando le righe di una matrice con le colonne della stessa si ottiene la matrice trasposta: $A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}$ → $A^{*}={\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}.$

• La matrice simmetrica è una matrice quadrata che rimane uguale se si scambiano le righe con le colonne (una matrice è simmetrica se e solo se coincide con la sua trasposta): $A=A'={\begin{bmatrix}1&8&3\\8&5&2\\3&2&9\end{bmatrix}}.$

Operazioni

Sulle matrici si possono definire numerose operazioni: due matrici (aventi dei numeri opportuni di righe e colonne) possono essere sommate, sottratte, moltiplicate fra loro, e moltiplicate per un numero (detto scalare).

Somma

Due matrici $A$ e $B$, entrambe di tipo $m\times n$, possono essere sommate. La loro somma $A+B$ è definita come la matrice $m\times n$ i cui elementi sono ottenuti sommando i corrispettivi elementi di $A$ e $B$. Formalmente:

$(A+B)_{i,j}:=A_{i,j}+B_{i,j}\,$

Per esempio:

${\begin{bmatrix}1&-3&6\\4&5&-1\\0&-2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3&5&-4\\-2&-5&0\\4&1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+3&-3+5&6+(-4)\\4+(-2)&5+(-5)&-1+0\\0+4&-2+1&2+2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&2&2\\2&0&-1\\4&-1&4\end{bmatrix}}.$

Se le matrici sono formate da numeri reali, allora l'addizione:

• è commutativa.

• è associativa.

• ha l'elemento neutro che corrisponde alla matrice nulla.

• la matrice inversa corrisposnde alla matrice opposta.

Moltiplicazione per uno scalare

La moltiplicazione per uno scalare è un'operazione che, data una matrice $A$ ed un numero $c$ (detto scalare), costruisce una nuova matrice $c\cdot A$, il cui elemento è ottenuto moltiplicando l'elemento corrispondente di $A$ per $c$; la matrice e lo scalare scelti devono appartenere allo stesso campo. Formalmente:

$(cA)_{ij}:=cA_{i,j}\,$

Per esempio:

$3{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\times 1&3\times 8&3\times (-3)\\3\times 4&3\times (-2)&3\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&24&-9\\12&-6&15\end{bmatrix}}$

Moltiplicazione matrice riga per matrice colonna

Date una matrice riga e una matrice colonna con ugual numero di elementi, il loro prodotto riga per colonna è il numero:

$A\times B=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}$

Per esempio:

$A\times B={\begin{bmatrix}2&-4&3\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3\\1\\-2\end{bmatrix}}=(2\times 3)+(-4\times 1)+(3\times (-2))=6+(-4)+(-6)=-4$

Moltiplicazione tra matrici

La moltiplicazione tra due matrici $A$ e $B$ è un'operazione più complicata delle precedenti. A differenza della somma, non è definita moltiplicando semplicemente gli elementi aventi lo stesso posto. La definizione di moltiplicazione che segue è motivata dal fatto che una matrice modellizza una applicazione lineare, e in questo modo il prodotto di matrici corrisponde alla composizione di applicazioni lineari.

La moltiplicazione è definita soltanto se le matrici $A$ e $B$ sono rispettivamente di tipo $m\times p$ e $p\times n$: in altre parole, il numero $p$ di colonne di $A$ deve coincidere con il numero $p$ di righe di $B$. Il risultato è una matrice $C$ di tipo $m\times n$.

Esempio: siano $A$ e $B$ due matrici rispettivamente $3\times 4$ e $4\times 2$: tra queste si può effettuare la moltiplicazione $A\times B$ ed ottenere una matrice $3\times 2$. Le stesse matrici, però, non possono essere moltiplicate nel modo $B\times A$, poiché le colonne di $B$ non sono tante quante le righe di $A$.

Il prodotto di $A_{m\times p}$ e $B_{p\times n}$ è la matrice $C=AB$ di dimensione $m\times n$, il cui elemento di posizione $(i,j)$ è dato dalla somma

$C_{i,j}:=A_{i,1}B_{1,j}+A_{i,2}B_{2,j}+\cdots +A_{i,n}B_{n,j}.$

Questo è il prodotto scalare tra la riga $i$ di $A$ e la colonna $j$ di $B$, che hanno lo stesso numero $n$ di elementi. Per questo motivo il prodotto è chiamato prodotto riga per colonna.

Per esempio:

$A\times B={\begin{bmatrix}1&3&2\\0&4&-3\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}4&-1&1\\2&5&3\\0&-3&-2\end{bmatrix}}=$

Moltiplicando una matrice $2\times 3$ per una $3\times 3$ si ottiene una matrice $2\times 3$.

1° riga:

$C_{11}=[(1\times 4)+(3\times 2)+(2\times 0)]=10$

$C_{12}=[(1\times (-1))+(3\times 5)+(2\times (-3))]=8$

$C_{13}=[(1\times 1)+(3\times 3)+(2\times (-2))]=6$

2° riga:

$C_{21}=[(0\times 4)+(4\times 2)+(-3\times 0)]=8$

$C_{22}=[(0\times (-1))+(4\times 5)+(-3\times (-3))]=29$

$C_{23}=[(0\times 1)+(4\times 3)+(-3\times (-2))]=18$

Risultato $2\times 3$:

${\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}10&8&6\\8&29&18\\\end{bmatrix}}$

A differenza dell'usuale moltiplicazione fra numeri, questa non è un'operazione commutativa, cioè $AB$ è in generale diverso da $BA$, quando si possono effettuare entrambi questi prodotti.

Un caso particolare, ampiamente usato in algebra lineare per rappresentare le trasformazioni lineari (come rotazioni e riflessioni) è il prodotto tra una matrice $m\times n$ ed un vettore colonna $n\times 1$, che viene chiamato anche prodotto matrice-vettore.

Alcune caratteristiche della moltiplicazione tra matrici sono:

• nella moltiplicazione tra matrici quadrate l'elemento neutro è la matrice unità.

• moltiplicando fra loro due matrici quadrate di cui una è una matrice nulla si ottiene ancora una matrice nulla.

Trasformazioni nel piano

Forma matriciale e sistema di equazioni

Una matrice quadrata di ordine 2 ci consente di descrivere completamente una trasformazione geometrica del piano che:

• lascia fissa l'origine del sistema di riferimento

• mantiene l'allineamento dei punti.

Consideriamo un punto P appartenente al piano di coordinate (x,y), esse possono essere riscritte come la matrice colonna: P :${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Moltiplicando una matrice quadrata di ordine due :${\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}$ con la matrice P :${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$, al punto P viene a corrispondere il punto P' definito dal prodotto: ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Eseguendo i calcoli il nuovo punto P' sarà definito dalla matrice colonna: ${\begin{bmatrix}2x\\2y\end{bmatrix}}$

La matrice in questione: ${\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}$ rappresenta dunque la trasformazione geometrica applicata al punto P (x,y).

Riassumendo è come se avessimo applicato al punto P la trasformazione di equazioni :$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}x'=2x\\y'=2y\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

In conclusione se P(x,y) è un qualunque punto del piano, le coordinate del punto P'(x',y') si ottengono dal seguente prodotto: ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Risulta dunque possibile descrivere analiticamente una trasformazione geometrica del piano in due modi equivalenti: in forma matriciale e in forma di sistema lineare.

• forma matriciale:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

• forma di sistema lineare:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}x'=ax+by\\y'=cx+dy\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Le matrici delle principali trasformazioni geometriche

Di seguito sono ora riportate le matrici delle principali trasformazioni geometriche. Matrici delle trasformazioni:

Identità: ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Omotetia di centro l'origine e rapporto k: ${\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}$

Simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante: ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

Simmetria rispetto all'asse x: ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

Simmetria rispetto all'asse y: ${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Trasformazioni affini

Nel caso più generale se una matrice quadrata di ordine 2 modifica la forma delle figure, ma ha come invarianti sia l'allineamento dei punti sia i parallelismi, tale trasformazione si definisce affine o affinità.

È ora necessario, per avere un quadro completo delle trasformazioni geometriche, analizzare una trasformazione che non lascia fissa l'origine del sistema di riferimento. In questo caso particolare oltre alla matrice quadrata di ordine 2 bisogna anche considerare una matrice colonna che indica lo spostamento subito dall'origine del sistema di riferimento.

Indicando con ${\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}$ tale matrice colonna, questa trasformazione è definita:

• in forma matriciale

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}$

• In forma di sistema lineare:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}x'=ax+by+e\\y'=cx+dy+f\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Composizione di trasformazioni

Si può affermare che applicando a qualsiasi punto una trasformazione nel piano, ad esso corrisponderà biunivocamente il punto p'. La composizione di due o più trasformazioni geometriche del piano applicate al punto P, ad esempio R e T, si ottiene applicando prima la trasformazione R e successivamente la trasformazione T :

$P'=R(P)$ $P''=T(R(P))$

Da notare che per la composizione di trasformazioni geometriche non vale la proprietà commutativa,infatti il corrispondente punto nella trasformazione T*R è diverso dal corrispondente punto nelle trasformazioni R*T

$T(R(P))$« » $R(T(P))$

Matrici associate alle trasformazioni composte

Come abbiamo già visto nel penultimo argomento una trasformazione affine è completamente descritta da una matrice quadrata di ordine due. Indicando con Af la matrice associata alla trasformazione F si ha: dato un punto P:

$P(x;y)\,$

le coordinate del punto P' nella trasformazione F si trovano secondo la seguente equazione matriciale:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}=A_{f}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Applicando una seconda trasformazione K, indicando con Ak la matrice associata le coordinate del punto P si trovano nel modo analogo al precedente, ovvero:

${\begin{bmatrix}x''\\y''\end{bmatrix}}=A_{k}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Sostituendo alle coordinate (x';y0) quanto si ricava dalla prima equazione matriciale, si ottengono direttamente le coordinate del punto P a partire dal punto P:

${\begin{bmatrix}x''\\y''\end{bmatrix}}=A_{k}\cdot A_{f}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

IL prodotto tra le matrici Ak*Af è a sua volta una matrice quadrata di ordine due. Questa permette di trovare le coordinate di P,quindi la matrice associata alla trasformazione composta K*F,che possiamo indicare anche con Ak*f.In formula:

$A_{k*f}=A_{k}\cdot A_{f}\,$

Quindi possiamo affermare che la matrice Ak*f associata alla trasformazione composta è la matrice prodotto delle matrice delle due trasformazioni date.

Vettori

Definizione

Un vettore è un segmento orientato caratterizzato da una direzione, un verso e un modulo.

La direzione è rappresentata dalla retta su cui giace il segmento orientato. Il verso rappresenta l'orientamento del vettore (due vettori possono avere la stessa direzione ma verso opposto). Il modulo è la lunghezza del segmento.

Vettori nello spazio euclideo

Il piano cartesiano è un esempio fondamentale di spazio vettoriale: un vettore è un punto del piano, determinato da una coppia di numeri reali (x, y).

Disegnando una freccia che parte nell'origine (0, 0) e arriva in (x, y), si ottiene il significato fisico di vettore applicato nell'origine. La nozione matematica di vettore corrisponde totalmente alla nozione fisica di vettore applicato nell'origine; questi oggetti infatti si sommano e vengono moltiplicati per scalari allo stesso modo in entrambi i contesti: la regola del parallelogramma usata in fisica corrisponde ad esempio alla somma termine a termine descritta più sotto.

Analogamente, nello spazio tridimensionale un vettore è una terna di numeri reali (x, y, z).

Questa nozione si estende naturalmente in dimensione n arbitraria, tramite la definizione dello spazio euclideo

$\mathbb {R} ^{n}=\{(v_{1},\ldots ,v_{n})\ |\ v_{i}\in \mathbb {R} \}$

Questo è uno spazio vettoriale di dimensione n, i cui elementi sono ennuple di numeri reali: ogni ennupla

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})\,\!$

è quindi un vettore in questo contesto. In particolare, $R^{2}$ è il piano cartesiano e $R^{3}$ lo spazio tridimensionale (dotato di un sistema di coordinate cartesiano).

Vettori paralleli e perpendicolari

Due vettori sono paralleli se presentano la stessa direzione, di conseguenza la rette a cui appartengono devono avere lo stesso coefficiente angolare dato da

${y_{2} \over x_{2}}={y_{1} \over x_{1}}=m$

Due vettori sono perpendicolari quando le rette su cui giacciono hanno l'una il coefficciente angolare opposto e inverso all'altra.

${y_{2} \over x_{2}}=-{x_{1} \over y_{1}}=m$

Operazioni tra vettori

Somma

La somma tra vettori è definita con la regola del parallelogramma: dati due vettori u e v, con lo stesso punto di applicazione, la loro somma w è rappresentata dalla diagonale del parallelogramma di lati u e v.

${w={(u_{x}+v_{x};u_{y}+v_{y})}}\,$

La somma è associativa, commutativa e possiede l'elemento neutro che è il vettore nullo; inoltre ogni elemento ha un opposto. In altre parole, i vettori con la somma formano un gruppo abeliano.

rappresentazione della proprietà associativa:

L'immagine seguente rappresenta il vettore (v) e il suo inverso (-v).

Moltiplicazione per uno scalare

La moltiplicazione per uno scalare si esegue moltiplicando un vettore per un numero reale; dato un numero k il risultato del prodotto k x v è il vettore di componenti

${w={(kv_{x};kv_{y})}}\,$

I versori

Fra i vettori sono fondamentali i vettori unitari degli assi x,y del piano cartesiano, essi vengono indicati con le lettere i e j:

$i\,$ = (+1,0) per l'asse x

$j\,$ = (0,+1) per l'asse y

Tali vettori unitari sono chiamati versori

Rappresentando i vettori in forma matriciale si ha:

$i={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$

$j={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

Ai due versori i, j corrispondono rispettivamente i vettori i' , j' .

Nella matrice di una qualsiasi trasformazione ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$, le due colonne sono le componenti dei vettori che corrispondono a i e j, quindi:

$i'={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.$ ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}$

$j'={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.$ ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}$

Quindi:

$i'=(a;c)\,$

$j'=(b;d)\,$

Determinante

• In algebra lineare, il determinante è una funzione che associa ad ogni matrice quadrata M uno scalare che ne sintetizza alcune proprietà algebriche. Esso viene generalmente indicato con det(M) e a volte con | M |, notazione compatta ma ambigua, in quanto utilizzata talvolta per descrivere una norma della matrice.

Il calcolo dei determinanti cambia modo a seconda dell'ordine della matrice, infatti se l'ordine di quest'ultima è 1 il suo determinante sarà costituito dall'unico elemento presente. In simboli:

$M={\begin{bmatrix}a\\\end{bmatrix}}\;\;det(M)=a$

In particolare:

$M={\begin{bmatrix}5\\\end{bmatrix}}\;\;det(M)=5$

Ordini delle Matrici

• Le matrici quadrate possiedono un ordine che corrisponde numero di righe che possiedono, se possiedono, come sopra, un solo elemento e quindi hanno una riga sono di ordine uno, però possiamo avere ordini di matrici fino al valore $n\,$ =infinito. Con l'incremento l'ordine matriciale si complicano anche i calcoli per trovare il determinante, fino al quarto ordine comunque è ancora relativamente semplice trovarlo, l'ordine vale solamente per le matrici quadrate che hanno quindi lo stesso numero di righe e colonne.

Matrici di ordine Due

• Il calcolo del determinante di una matrice di ordine 2, costituita quindi da due righe e due colonne, è pari alla differenza dei prodotti dei coefficienti che si trovano sulla diagonale principale e di quelli posti sulla diagonale secondaria:

$M={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\;det(M)=ad-cb$

In particolare:

$M={\begin{bmatrix}5&3\\1&1\end{bmatrix}}\;det(M)=(5\cdot 1)-(1\cdot 3)=5-3=2$

Matrici di ordine Tre

• Il determinante di una matrice quadrata di ordine 3, costituita quindi da tre righe e tre colonne, si ottiene da una formula che è un caso particolare dello sviluppo di Laplace, infatti in questo caso prendiamo in considerazione la prima riga di elementi e moltiplichiamo ogni uno per la sua matrice complemento, nel caso dell'elemento a consideriamo quella matrice che si ottiene non considerando gli elementi che stanno sulla riga e sulla colonna di a, in questo caso specifico sono gli elementi e,f,h,i. Il complemento di b è la matrice data dagli elementi d,f,g,i mentre per l'elemento c abbiamo la matrice data da d,e,g,h. La formula è la seguente:

$M={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}\;det(M)=a\cdot (e\cdot i-h\cdot f)-b\cdot (d\cdot i-g\cdot f)+c\cdot (d\cdot h-g\cdot e)$

Ad esempio:

$M={\begin{bmatrix}1&3&0\\2&1&-1\\5&0&1\\\end{bmatrix}}\;det(M)=1\cdot (1\cdot 1-0\cdot (-1))-3\cdot (2\cdot 1-5\cdot (-1))+0\cdot (2\cdot 0-5\cdot 1)$

$=1\cdot 1-3\cdot 7+0\cdot (-5)=1-21+0=-20$

Metodo di Sarrus per le matrici di ordine Tre

• Con l'utilizzo della regola di Sarrus è possibile risolvere il determinante di una matrice di ordine 3 molto velocemente. Inizialmente si ricopiano, a destra della matrice, le prime due colonne:

$Det(M)={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{vmatrix}}$ = ${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{vmatrix}}$ $\left.{\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\\\end{matrix}}\right|$ = ...

Il secondo passo è quello di sommare il prodotto dei numeri che sono sulla diagonale che parte dall'angolo in alto a sinistra con il prodotto dei numeri che si trovano sulle due diagonali a essa parallele e sottrarre invece in prodotto dei numeri che si trovano sulle altre 3 diagonali.

$Det(M)={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{vmatrix}}$ $\left.{\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\\\end{matrix}}\right|$ $=(a\cdot e\cdot i)+(b\cdot f\cdot g)+(c\cdot d\cdot h)-(g\cdot e\cdot c)-(h\cdot f\cdot a)-(i\cdot d\cdot b)=...$

Eccone un esempio:

$Det(M)={\begin{vmatrix}1&3&0\\2&1&-1\\5&0&1\\\end{vmatrix}}\left.{\begin{matrix}1&3\\2&1\\5&0\\\end{matrix}}\right|$ $=(1\cdot 1\cdot 1)+(3\cdot (-1)\cdot 5)+(0\cdot 2\cdot 0)-(5\cdot 1\cdot 0)-(0\cdot (-1)\cdot 1)-(1\cdot 2\cdot 3)=$

$=1-15+0-0-0-6=-20\,$

Sviluppo di Laplace

• Tramite l'utilizzo di questo metodo è possibile eliminare la riga e la colonna corrispondenti all'elemento della riga scelto, in questo modo si può moltiplicare il numero per la nuova matrice presa in esame, che rappresenta il complemento dell'elemento scelto. Sono positivi gli elementi la cui somma di indice è pari mentre negativi quelli la cui somma è dispari. Questo sviluppo è applicabile anche per le matrici di ordine 3 come visto in precedenza in alternativa al metodo di Sarrus, ma anche alle matrici di ordine 2, esso però risulta più efficace per le matrici di ordine $n>3\,$ in quanto è l'unico da potersi applicare.

$NB:si\;deve\;tenere\;comunque\;presente\;il\;segno\;del\;numero\;scelto.\,$

$Det(M)={\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\4&-2&2&1\\-1&3&0&0\\1&2&-8&0\\\end{vmatrix}}=1\cdot {\begin{vmatrix}-2&2&1\\3&0&0\\2&-8&0\\\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&2&1\\-1&0&0\\1&-8&0\\\end{vmatrix}}+(-1)\cdot {\begin{vmatrix}4&-2&1\\-1&3&0\\1&2&0\\\end{vmatrix}}-(+3)\cdot {\begin{vmatrix}4&-2&2\\-1&3&0\\1&2&-8\\\end{vmatrix}}=$

sviluppando ancora otteniamo:

$Det(M)=1\cdot (-2)\cdot {\begin{vmatrix}0&0\\-8&0\\\end{vmatrix}}-1\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}3&0\\2&0\\\end{vmatrix}}+1\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}3&0\\2&-8\\\end{vmatrix}}-2\cdot 4\cdot {\begin{vmatrix}0&0\\-8&0\\\end{vmatrix}}+2\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}-1&0\\1&0\\\end{vmatrix}}-2\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}-1&0\\1&-8\\\end{vmatrix}}-1\cdot 4\cdot {\begin{vmatrix}3&0\\2&0\\\end{vmatrix}}=$

$=+1\cdot (-2)\cdot {\begin{vmatrix}-1&0\\1&0\\\end{vmatrix}}-1\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}-1&3\\1&2\\\end{vmatrix}}-3\cdot 4\cdot {\begin{vmatrix}3&0\\2&-8\\\end{vmatrix}}+3\cdot (-2)\cdot {\begin{vmatrix}-1&0\\1&-8\\\end{vmatrix}}-3\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}-1&3\\1&2\\\end{vmatrix}}=$

calcoliamo velocemente i determinanti per le matrici di ordine 2 e procediamo alla risoluzione:

$Det(M)=1\cdot ((-2)\cdot 0)+1\cdot (2\cdot 0)+1\cdot (1\cdot (-24))-2\cdot (4\cdot 0)+2\cdot (2\cdot 0)-2\cdot (1\cdot 8)$

$-1\cdot (4\cdot 0)-1\cdot ((-2)\cdot 0)-1\cdot (1\cdot 5)-3\cdot (4\cdot (+24))-3\cdot ((-2)\cdot (-8))-3\cdot (2\cdot 5)=$

$=-0+0-24-0+0-16-0+0-5-288-48-30=-411\,$

Tutto questo processo può essere eseguito $n\,$ volte al fine di ottenere una matrice di ordine 3 per poi applicare il metodo di Sarrus oppure una matrice di ordine 2, che dopo quella di ordine 1, ha il metodo maggiormente rapido per calcolare il determinante.

Proprietà

• In una matrice abbiamo un determinante pari a zero quando una riga oppure una colonna della matrice stessa è composta da zeri, questo perché quando andiamo a moltiplicare i coefficienti avremo due zeri da sottrarre, nel caso di una matrice di ordine due.

$A={\begin{bmatrix}1&0\\5&0\\\end{bmatrix}}\;det(A)=(1\cdot 0)-(5\cdot 0)=0-0=0$

$B={\begin{bmatrix}1&0&-1\\2&0&5\\-4&0&7\\\end{bmatrix}}\;det(B)=(1\cdot 0\cdot 7)+(0\cdot 5\cdot (-4))+((-1)\cdot 2\cdot 0)-((-1)\cdot 0\cdot (-4))-(1\cdot 5\cdot 0)-(0\cdot 2\cdot 7)=$

$=0+0-0-0-0-0=ZERO\,$

$NB:\;Lo\;stesso\;vale\;avento\;una\;riga\;composta\;da\;zeri.\,$

• Il determinante di una matrice che possiede due colonne o due righe uguali, possiede quindi un determinante nullo.

$A={\begin{bmatrix}1&1\\5&5\\\end{bmatrix}}\;det(A)=(1\cdot 5)-(5\cdot 1)=5-5=0$

• Il determinante di una matrice è uguale a quello della sua trasposta (per la matrice trasposta vedi Matrici [1], nello specifico Definizioni, matrice trasposta)

$A={\begin{bmatrix}2&3\\1&5\\\end{bmatrix}}\;det(A)=(2\cdot 5)-(3\cdot 1)=10-3=7$

$At={\begin{bmatrix}2&1\\3&5\\\end{bmatrix}}\;det(At)=(2\cdot 5)-(1\cdot 3)=10-3=7$

• Il calcolo del determinante risulta molto semplice quando parliamo di matrici triangolari, queste particolari matrici si distinguono in triangolare superiore, triangolare inferiore ed in matrice diagonale. Queste particolari matrici possiedono tre zeri sotto la diagonale principale, tre zeri sopra la diagonale principale, oppure numeri <> 0 sulla stessa diagonale. In questi casi il calcolo del determinante risulta uguale al prodotto delle tra cifre presenti sulla diagonale, (stiamo sempre parlando di matrici di ordine 3, ma possiamo avere matrici triangolari di ordine n superio a ordine 2).

Esempi:

$A={\begin{bmatrix}1&2&-5\\0&2&7\\0&0&7\\\end{bmatrix}}\;det(A)=(1\cdot 2\cdot 7)=14$

$B={\begin{bmatrix}-1&0&0\\-8&7&0\\4&-9&1\\\end{bmatrix}}\;det(B)=((-1)\cdot 7\cdot 1)=-7$

$C={\begin{bmatrix}3&0&0\\0&1&0\\0&0&-9\\\end{bmatrix}}\;det(C)=(3\cdot 1\cdot (-9))=-27$

• Per il Teorema di Binet il determinante del prodotto di due matrici è identico al prodotto dei due determinanti delle matrici.

Esempio:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\0&2\\\end{bmatrix}}\;det(A)=(1\cdot 2-2\cdot 0)=2$

$B={\begin{bmatrix}-5&2\\1&2\\\end{bmatrix}}\;det(B)=((-5)\cdot 2-1\cdot 2)=-9$

$Prodotto\;dei\;determinanti=2\cdot -9=-18$

Ora calcoliamo il determinante del prodotto delle due matrici, (per saperne di più su come fare il prodotto di due matrici vedi Matrici [2] Operazioni, nello specifico moltiplicazione matrice riga per colonna).

$A\cdot B={\begin{bmatrix}1&2\\0&2\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-5&2\\1&2\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-3&6\\1&4\\\end{bmatrix}}\;det(A\cdot B)=((-3)\cdot 4-6\cdot 1)=-18$

$Come\;vediamo\;abbiamo\;ottenuto\;il\;medesimo\;risultato:\;Teorema\;di\;Binet\;verificato.\,$

• Per semplificare i calcoli da dover eseguire in una matrice di ordine 4 per esempio possiamo sostituire ad riga o una colonna quella che si genera dall'addizionare o dalla sottrazione di questa riga/colonna con un'altra (possiamo anche moltiplicarle per costanti) al fine di ottenere una riga oppure una colonna di soli zeri così da trovarci con un unico elemento moltiplicato per la matrice ad esso associata con la regola sfruttando la regola di Laplace (per saperne maggiormente su questa regola e la sua applicazione vai su Matrici [3] nello specifico Determinante, Sviluppo di Laplace).

Esempio:

$A={\begin{bmatrix}1&2&2&-3\\1&2&6&1\\3&-1&-1&3\\6&1&4&7\end{bmatrix}}$

Sostituisco alla riga 1 la differenza tra la prima riga e la seconda riga ottenendo:

$A={\begin{bmatrix}0&0&-4&-4\\1&2&6&1\\3&-1&-1&3\\6&1&4&7\end{bmatrix}}$

Come vediamo i primi due elementi della matrice sono passati a zero ora alla 4 colonna sostituiamo la differenza tra la quarta colonna e la terza colonna ottenendo:

$A={\begin{bmatrix}0&0&-4&0\\1&2&6&-5\\3&-1&-1&4\\6&1&4&3\end{bmatrix}}$

Ora il calcolo del determinante risulta molto semplice.

NB: sono comunque da tenere in corsidetazione gli indici per determinare il segno del valore, il questo caso -4 è in posizione 1,3 (1+3=4, numero pari) e quindi il problema non si pone prendiamo -4così com'è avendo +(-4).

$Det(A)=-4\cdot {\begin{bmatrix}1&2&-5\\3&-1&4\\6&1&3\\\end{bmatrix}}\;=\;(-4)\cdot (-22)\;=+88$

• Per il calcolo della matrice di ordine 3 è stato utilizzato il metodo di Sarrus (lo potete trovare in Matrici [4] Determinante, nello specifico Metodo di Sarrus per matrici di ordine tre), i calcoli di questo esempio sono stati semplificati, sono espressi infatti solo i risultati.

Sistemi lineari

I sistemi lineari sono sistemi di n equazioni in n incognite di primo grado; ciò significa che le incognite hanno tutte esponente uguale ad uno e il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&a_{1,1}x+a_{1,2}y=b_{1}\\&a_{2,1}x+a_{2,2}y=b_{2}\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Con le matrici e i determinanti si possono risolvere questi sistemi . Il sistema lo trasformiamo in forma matriciale :

${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\end{bmatrix}}$

LA SOLUZIONE E' UNICA SE E SOLO SE : Det ${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}$ ≠ 0

Metodo di Cramer

La regola di Cramer è un teorema di algebra lineare, che prende il nome dal matematico Gabriel Cramer, utile per risolvere un sistema di equazioni lineari usando il determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente una soluzione.

2 equazioni e 2 incognite

Consideriamo il sistema lineare 2 equazioni e 2 incognite:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&ax+by=c\\&a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

In base al metodo di Cramer si considerano 3 matrici:

$A{\begin{bmatrix}a&b\\a_{1}&b_{1}\\\end{bmatrix}}B{\begin{bmatrix}c&b\\c_{1}&b_{1}\\\end{bmatrix}}C{\begin{bmatrix}a&c\\a_{1}&c_{1}\\\end{bmatrix}}$

Le soluzioni sono date da :

$x={\det(B) \over \det(A)}{\color {white}eee}y={\det(C) \over \det(A)}$

3 equazioni e 3 incognite

Nel caso di un sistema lineare 3 equazioni e 3 incognite

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&ax+by+cy=d\\&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}y=d_{1}\\&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}y=d_{2}\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

si considerano:

$A{\begin{bmatrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\\end{bmatrix}}\;\;B{\begin{bmatrix}d&b&c\\d_{1}&b_{1}&c_{1}\\d_{2}&b_{2}&c_{2}\\\end{bmatrix}}\;\;C{\begin{bmatrix}a&d&c\\a_{1}&d_{1}&c_{1}\\a_{2}&d_{2}&c_{2}\\\end{bmatrix}}\;\;D{\begin{bmatrix}a&b&d\\a_{1}&b_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&d_{2}\\\end{bmatrix}}$

Le soluzioni sono date da :

$x={\det(B) \over \det(A)}{\color {white}eee}y={\det(C) \over \det(A)}{\color {white}eee}z={\det(D) \over \det(A)}$

N equazioni – N incognite

Per N equazioni – N incognite si procede analogamente usando la matrice A ed N matrici i A , calcolandone i determinanti e quindi le soluzioni con i rapporti

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Algoritmo di Gauss

Con l'algoritmo di Gauss è possibile risolvere sistemi lineari di n incognite e n equazioni.

• scambiando due righe;
• moltiplicando una riga per un numero diverso da zero;
• sommando una riga ad un'altra.

Esempio :

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&3x+13y+9z=17/2\\&2x+8y+2z=1\\&6x+22y+6z=7\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Moltiplicando la 2° equazione per 3/2 e la 3° per 3/6 risulta : $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&3x+13y+9z=17/2\\&3x+12y+3z=3/2\\&3x+11y+3z=7/2\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Sottraiamo la 2° e la 3° equazione dalla prima e otteniamo :$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&3x+13y+9z=17/2\\&y+6z=7\\&2y+6z=5\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Moltiplichiamo la 3° equazione per 1/2

Sottraiamo la 3° equazione dalla 2° e calcolando risulta :

$z={3 \over 2}$

E quindi :

$y=-2\,$

$x=7\,$