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Dato un qualsiasi esperimento casuale, i suoi possibili risultati costituiscono gli elementi di un insieme non vuoto, detto spazio campionario che indichiamo con
, e ciascun evento è un sottoinsieme di
, in pratica un evento è un insieme dei possibili risultati dell'esperimento casuale, ed un risultato dell'esperimento, è un evento elementare.
La probabilità è nella sostanza una misura, cioè una funzione che indichiamo con
che associa a ciascun sottoinsieme di eventi un numero reale non negativo tale che la somma delle probabilità di tutti gli eventi sia pari a
.
In merito agli eventi possiamo dire che:
- - lo spazio campionario
si verifica ad ogni prova e viene detto quindi evento certo
- -
chiamato insieme vuoto, non si verifica mai e viene quindi detto evento impossibile
- - l'evento
si verifica se si verificano
o entrambi.
- - l'evento
si verifica se e solo se si verificano sia
che 
- - se
si verifica e
allora anche
si verifica.
Definiamo classe degli eventi
l'insieme di tutti gli eventi. Tutte le operazioni fatte fra eventi danno come risultato ancora un evento quindi
è un campo, o algebra. E poiché sono possibili anche infinite unioni e intersezioni di sequenze infinite di eventi il cui risultato è ancora un evento, allora la classe
è una
-algebra.
Se noi ad esempio consideriamo l'esperimento aleatorio consistente nel lancio di un dado, i possibili risultati saranno i numeri riportati sulle sei facce del dado e tutti insieme costituiranno un insieme non vuoto
, in questo esempio i possibili risultati sono anche gli eventi e la somma delle probabilità dei singoli eventi sarà pari ad uno.
Se noi ripetiamo un esperimento per un numero
di volte ed indichiamo con
il numero di volte per cui si verifica l'evento
, possiamo definire:
come la frequenza relativa di
su
prove.
Tale frequenza è una funzione reale definita come:
che gode delle seguenti proprietà:


- se
sono mutuamente esclusivi
allora 
Dalla definizione di frequenza relativa possiamo quindi passare alla definizione assiomatica della probabilità.


- se
sono mutuamente esclusivi (
se
) allora 
Vediamo come applicare quanto visto fino ad ora all'esempio del lancio del dado, indichiamo con:
la probabilità che si verifichi l'evento uscita della faccia
del dado e come funzione
di probabilità quella che assegna uguale probabilità ad ogni evento.
Applicando quindi gli assiomi della definizione assiomatica della probabilità si ricava che:
da cui si desume che
Nella sostanza, negli spazi finiti o negli spazi di infiniti numerabili è sufficiente determinare la probabilità degli eventi elementari. Il valore della probabilità di qualsiasi altro evento lo si ricava dalla somma delle probabilità degli eventi elementari.
(1)

- da cui desumiamo che
difatti
per cui 
(2)
- se
e
sono due eventi

- considerato che
allora 
(3)
- Se
e
sono due eventi con
allora 
Gli spazi campione uniformi, sono quegli spazi per cui la probabilità dei singoli eventi è uniforme, ossia sono equiprobabili.
Se
e
Dato che
questo vuol dire che
quindi
Negli spazi uniformi si può definire la probabilità come:
sia
un evento formato da
punti di
allora
Ad esempio, in un dado sono presenti 6 facce, numerabili da 1 a 6
se
allora
Dato un evento
, con probabilità maggiore di zero
per ogni evento
definiamo probabilità condizionata:
a cui possiamo dare la seguente interpretazione in frequenza relativa.
Effettuate
prove e posti
come il numero di occorrenze degli eventi
Approssimati
otteniamo che:
Il cui significato è che la probabilità condizionata è uguale alla frequenza relativa dell'evento
considerata solo nella sequenza di prove in cui l'evento
si è verificato.
Il diagramma di Venn (nome completo diagramma di Eulero-Venn) è una rappresentazione grafica che ha lo scopo di illustrare le operazioni fra insiemi.
Consiste in una linea chiusa racchiudente una superficie di forma qualsiasi al cui interno possono sussistere singoli elementi consistenti anche in altri diagrammi di Venn.
Questi ultimi possono a loro volta sovrapporsi al fine di racchiudere elementi comuni.
Sia
un elemento e
un insieme, la notazione
ha come significato che
appartiene ad
ossia ne è un suo elemento.
Per contro la notazione
ha come significato che
non appartiene ad
ossia non ne è un suo elemento.
ha come significato che ogni elemento di
è anche un elemento di
, in pratica
è un sottoinsieme di
.
Gli insiemi
e
sono uguali se e solo se ogni elemento dell'insieme
è un elemento dell'insieme
e viceversa.
Ossia deve essere contemporaneamente verificato che:
Definiamo l'unione di due insiemi
oppure
l'insieme i cui elementi appartengono ad
a
o a entrambi.
Definiamo intersezione di due insiemi
oppure
l'insieme i cui elementi appartengono sia ad
che a
.
e
sono disgiunti se
Nella notazione corrente è usuale adoperare anche
al posto di
e
al posto di
Unione e intersezione godono delle seguenti proprietà:
Commutativa


Associativa


Distributiva


Dato
definiamo complemento di
rispetto ad
e lo indichiamo con
, l'insieme composto da tutti gli elementi di
che non fanno parte di
.
Per il complemento valgono le seguenti proprietà:



Una partizione di un insieme
, che non sia
, una classe di sottoinsiemi diversi da
, finita o infinita numerabile, che ricopra per intero
senza che vi siano sovrapposizioni.
Deve verificarsi nella sostanza che:




Per disposizione semplice di lunghezza
di elementi di un insieme
di
oggetti, con
, si intende una presentazione ordinata di
' elementi di
nella quale non ci possono essere ripetizioni di uno stesso oggetto.

Ad esempio le disposizioni semplici di lunghezza
degli elementi dell'insieme
sono
e sono
se
le disposizioni semplici si chiameranno permutazioni

Ad esempio le permutazioni di lunghezza
elementi dell'insieme
sono
e sono
Una disposizione con ripetizioni di
oggetti distinguibili è il numero di possibili sequenze ordinate differenti di
oggetti.

Ad esempio le disposizioni con ripetizione di lunghezza
degli elementi di
sono

Dove può essere anche
.
Una combinazione semplice è una disposizione di elementi che contengono senza ripetizioni gli stessi oggetti presi a gruppi ma in posizioni differenti.

Ad esempio le combinazioni semplici di lunghezza 4 degli elementi di {1,2,3,4,5,6} sono 6!/(4!2!) = 15: 1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456.