Matematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi

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Teoria   —   Esercizi


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  6. Extra

Gli assiomi enunciati di seguito costituiscono la base di tutta la geometria euclidea e si basano sugli enti primitivi punto, retta e piano.

Gli assiomi di appartenenza ed alcune definizioni derivate[modifica]

Questi assiomi sono così chiamati perché determinano le relazioni di appartenenza fra punti e rette, punti e piani, rette e piani e di punti, rette e piani con lo spazio.

Si fissino due punti su un foglio di carta. Si provi quindi a far passare alcuni fili ben tesi per questi due punti. Ci si accorge, intuitivamente, che i vari fili si sovrappongono. Si può, quindi, enunciare il seguente assioma, ricordando dell'analogia tra retta e filo teso e tra foglio e piano (Figura 1):

Figura 1

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Assioma 1
Ogni coppia di punti A e B distinti dello spazio appartiene ad una e una sola retta.
Figura 2

Supponendo che nel piano ci siano altri punti che non appartengono alla retta (è sufficiente fissare sul foglio altri punti con una matita per rendersene conto) si ottiene il seguente assioma (Figura 2):

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Assioma 2
Data una retta r, esiste almeno un punto che non appartiene ad r.
Figura 3

Quando tre punti appartengono ad una stessa retta si dicono allineati. Per esempio, i punti A, B e C della figura 3 sono allineati perché appartengono alla stessa retta a, i punti D, E ed F no, così come non lo sono i punti A, B, C e D.

Si prendano ora tre matite affilate, di diversa altezza, e le si pongano verticalmente su un tavolo. Un ipotetico foglio rigido poggerà su tutte e tre le matite, comunque siano disposte sotto il foglio. Se si aggiunge una quarta matita, però, il foglio non poggerà in generale su tutte e quattro le matite. Si può quindi dedurre il seguente assioma:

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Assioma 3
Tre punti non allineati appartengono ad uno ed un solo piano

È intuitivo verificare, poi, sempre con "fili e foglio", che: Viewmag.png Definizione

Assioma 4
Se due punti di una retta appartengono ad un piano, la retta giace interamente sul piano.

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Assioma 5
Il piano contiene infiniti punti ed infinite rette.

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Assioma 6
Dato un piano α, esiste almeno un punto che non appartiene ad α.

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Lo spazio è l'insieme di tutti i punti.

Alla luce della precedente definizione, scaturisce naturalmente il seguente assioma:

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Assioma 7
Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette ed infiniti piani.

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Una figura geometrica è un qualunque sottoinsieme dello spazio, ossia un qualunque insieme di punti.

Dato che i punti, le rette ed i piani sono insiemi di punti, quindi, sono figure geometriche.

La geometria del piano studia solo le figure geometriche che appartengono allo stesso piano.

La geometria dello spazio a 3 dimensioni studia solo le figure geometriche che appartengono allo stesso spazio a 3 dimensioni. D'ora in poi parlando di spazio sarà sottinteso a 3 dimensioni. N.B. Ai fini della trattazione non è indispensabile sapere cosa significhi spazio a n dimensioni.

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Due rette si dicono complanari quando appartengono allo stesso piano.
Figura 4

Considerando due rette complanari, in base all'assioma A1 è evidente che due rette che hanno almeno due punti in comune si dicono coincidenti.

In caso contrario (sempre considerando due rette complanari) si possono avere due situazioni:

  1. Rette incidenti: le rette hanno un solo punto in comune, detto di intersezione.
  2. Rette parallele: le rette non hanno alcun punto in comune.

Per esempio, le rette a e b della figura 4 sono coincidenti in quanto passano per dei punti (A e D, B ed E) che sono coincidenti. Le rette a e d sono incidenti, così come le rette d e c, mentre le rette a e c, così come le rette b e c, sono parallele.

Gli assiomi di ordinamento ed alcune definizioni e teoremi derivati[modifica]

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Una retta si dice orientata quando su di essa è stato fissato un verso di percorrenza.
Figura 5

Si immagini di camminare sulla retta orientata della figura 5 nel verso indicato dalla freccia: si incontrerà prima il punto A, poi il punto B ed, infine, C.

Considerati due punti distinti A e B sulla retta se, percorrendo la retta nella direzione stabilita, si incontra prima A e poi B, si dice che A precede B e si scrive A < B.

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La relazione "A precede B", definita come sopra, è una relazione d'ordine stretto perché

  • è antiriflessiva: ∀ A ∈ r, A non precede se stesso.
  • è antisimmetrica: se A precede B, allora B non precede A.
  • è transitiva: se A precede B e B precede C anche A precede C.

Da ciò deriva la:

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Legge di tricotomia

Dati due punti A e B su una retta r, si verifica una sola delle seguenti possibilità:
  • A coincide con B
  • A precede B
  • B precede A

Ciò comporta che la relazione "precedere" tra i punti di una retta orientata è una relazione di ordine totale. Da questo scaturisce il seguente assioma:

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Assioma 8

La retta è un insieme di punti totalmente ordinato.

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