Matematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche

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Teoria   —   Esercizi


  1. Primo anno
  2. Secondo anno
  3. Terzo anno
  4. Quarto anno
  5. Quinto anno
  6. Extra

Un insieme è una raccolta di elementi anche non uniformi.

Un insieme è indicato con una lettera, i suoi elementi (o icriteri per stabilirli) si trovano invece espressi in parentesi graffe separati da virgole; se invece è definito un criterio con cui selezionare i membri, la virgola significa "tale che":


L'insieme A è formato dai numeri 1, 2 e 3


L'insieme è formato dai numeri naturali inferiori di 10 (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Gli insiemi numerici hanno diverse proprietà:

  • La numerabilità di un insieme è data dalla possibilità di assegnare un posto ad ogni elemento dell'insieme.
  • Quando è formato da punti isolati, l'insieme si dice discreto, viceversa, quando è impossibile stabilire l'elemento successivo l'insieme si dice denso.

Sottoinsiemi[modifica]

Un sottoinsieme è un insieme formato da elementi tutti appartenenti ad un altro insieme più vasto.

L'esistenza di un sottoinsieme in un insieme implica l'eseisteza di:

  • Il 'sottoinsieme complementare' di , formato dagli elementi di non appartenenti a .
  • L'insieme delle parti P(A), formato da tutti i sottoinsiemi di .
  • L'insieme unione (U) (Se più di un sottoinsieme), sottoinsieme costituito dagli elementi appartenenti ad almeno uno degli altri sottoinsiemi.
  • L'insieme intersezione (Se più di un'intersezione), sottoinsieme costituito dagli elementi appartenenti ad entrambi i sottoinsiemi.
  • Il prodotto cartesiano (a·b), insieme delle coppie ordinate di e .

Insiemi numerici fondamentali[modifica]

Gli insiemi numerici fondamentali sono insiemi aventi le seguenti caratteristiche:

  • Sono infiniti
  • Sono rappresentabili su una retta
  • È possibile definirvi addizione e moltiplicazione e stabilire delle proprietà

Essi sono

  • L'insieme N dei numeri naturali, 'discreto'.
  • L'insieme Z, 'discreto' ma senza un primo elemento.
  • L'insieme Q dei numeri irrazionali, 'denso'.
  • L'insieme R dei numeri reali, 'denso'.

Strutture algebriche[modifica]

Le strutture algebriche sono particolari strutture che si ottengono associando almeno un'operazione ad un insieme.

Gruppi[modifica]

Un'operazione applicata ad un insieme può costituire un gruppo. Ciò avviene se:

  1. · è chiuso in A
  2. Vale la proprietà associativa
  3. Esiste un elemento neutro
  4. Esiste un inverso di un elemento rispetto a ·.

Nel caso valga anche la proprietà commutativa il gruppo si dice commutativo, o abeliano

Campi[modifica]

Per definire un campo sono necessari un insieme A e due operazioni · e ×. Questi costituiscono un campo se:

  • (A,·) è un gruppo
  • (A,×) è un gruppo
  • Vale la proprietà distributiva

Anelli[modifica]

Per definire un anello sono necessari un insieme A e due operazioni · e ×. Questi costituiscono un anello se:

  • (A,·) è un gruppo commutativo
  • (A,×) è un gruppo commutativo
  • Vale la proprietà distributiva

Principio di induzione[modifica]

Il principio di induzione è il quinto dei cinque assiomi di Peano, relativi all'insieme N dei numeri naturali:

  1. 0 è un numero naturale
  2. Ogni numero naturale ha un successivo
  3. Due numeri naturali diversi hanno successivi diversi
  4. 0 non è il successivo di nessun numero naturale
  5. Data una proprietà P, se essa si verifica per n=0 (o n=1) e, supposta vera per n, si dimostra vera per n+1 allora la proprietà è vera.

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