Matematica per le superiori/Integrali

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Teoria   —   Esercizi


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Gli integrali si dividono in due tipi, gli integrali indefiniti e gli integrali definiti.

Integrali indefiniti[modifica]

Consideriamo una funzione in un intervallo in cui esso è continua.

Essa può essere la derivata di una funzione? Se sì, di quale? Di quante? Esiste sempre una funzione di cui essa rappresenta la derivata?

Per rispondere a domande di questo tipo è nato l' integrale indefinito.

Definizione[modifica]

Si definisce integrale indefinito della funzione in , e si indica con , l' insieme di tutte le funzioni primitive di , cioè tutte quelle funzioni la cui derivata vale . Perciò, si può considerare l' integrale indefinito come l' operazione inversa della derivata, infatti:

.

La presenza del termine additivo C, che può assumere un qualunque valore reale, indica che le primitive di una funzione sono infinite. Questo è giustificato dalla considerazione che, nella derivazione, il termine additivo, in quanto costante, viene eliminato. Perciò:

.

Di conseguenza, la funzione f(x) contenuta nell'integrale, può rappresentare la derivata di una qualsiasi delle funzioni:

.

Interpretazione geometrica[modifica]

Le primitive della funzione integranda rappresentano, geometricamente, una famiglia di curve generata dalla traslazione verticale (secondo un vettore di modulo e direzione verticale) di una qualsiasi di esse. Se ne deduce facilmente che due curve, di cui una sia la traslazione dell'altra, hanno la stessa derivata (nei punti in cui esiste la derivata, ovvero nei punti in cui la curva ha una retta tangente ben definita) se e solo se la traslazione è verticale.

Proprietà[modifica]

Continuità e integrabilità[modifica]

Ogni funzione continua in un intervallo ammette, nell'intervallo stesso, una famiglia di primitive, cioè è integrabile in quell'intervallo. Perciò, la continuità è condizione sufficiente per l'integrazione della funzione stessa.

L' integrale indefinito come operatore lineare[modifica]

L' integrale è un operatore lineare, cioè:

.

Ciò significa che l' integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare degli integrali delle singole funzioni.

Calcolo di integrali indefiniti[modifica]

Ricordando che:

si ricavano tutte le formule di interazione:

,    con
ne seguono altre direttamente ricavabili dalle loro derivate prime.

Nell'integrale indefinito, il simbolo (che rappresenta il differenziale di ), indica la variabile rispetto alla quale si sta integrando la funzione. Nelle formule riportate sopra la variabile secondo cui si integra la funzione è . Esse rimangono comunque valide nel caso in cui si stia integrando la funzione rispetto ad una qualsiasi variabile o funzione della variabile.

Integrazione di funzioni composte[modifica]

Data una funzione , la sua derivata risulta essere:

.

Poiché rappresenta la derivata prima di x (cioè 1), la quantità rappresenta la derivata prima di . Quindi: . Da cui: .

Così facendo, si è effettuato un cambio di variabile, cioè si è posta come variabile secondo cui integrare la funzione , rendendo possibile l' applicazione di una delle formule riportate sopra (sostituendo ogni con ).

Esempio[modifica]

Integrazione di funzioni razionali fratte[modifica]

Nel caso di un integrale del tipo: , non risolvibile con una delle formule di cui sopra, e detto il grado di e il grado di , se , applicando la legge fondamentale della divisione, per la quale:

si riduce la frazione alla somma di un polinomio e di un'altra frazione in cui il grado del numeratore sia inferiore a quello del denominatore attraverso una divisione di polinomi. Qualsiasi caso, perciò, si riconduce al caso in cui . A questo punto, si distinguono tre casi, a seconda del determinante () del polinomio al denominatore (qui considerato al massimo di secondo grado).

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In questo caso, il polinomio al denominatore si può scrivere come: , dove e sono due radici (soluzioni) del polinomio. Perciò:

Per il principio di identità dei polinomi (due polinomi sono uguali quando hanno lo stesso grado e a termini di uguale grado corrispondono uguali coefficienti, cioè hanno termini ordinatamente uguali):

Ricavando e , si può scomporre il rapporto di due polinomi in due rapporti fra un numero ( e ) e un polinomio, riconducibili perciò all'integrale dell' inverso di una funzione (che risulta essere il logaritmo della funzione stessa).

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Si procede come nel caso precedente, con la sola differenza che: e si pone .

[modifica]

In questo caso il polinomio al denominatore non può essere scomposto e, perciò, si deve tentare di ricondurre l' integrale al caso:

Perciò, si deve portare nella forma . Spesso per farlo è necessario, al denominatore, completare un quadrato e/o raccogliere un valore. Ecco un esempio 'completo':

In questo caso, il valore del determinante della funzione risulta . Innanzitutto, si raccoglie il coefficiente del termine al quadrato:

A questo punto, è necessario ottenere al denominatore il quadrato di un binomio. Poiché il termine al quadrato ha coefficiente 1, il primo termine del binomio è necessariamente . Il termine in cui è presente l' incognita () al primo grado deve rappresentare il doppio (cioè , dove è il secondo termine del binomio cercato). Per ottenere un quadrato al denominatore, è sufficiente addizionare e sottrarre al denominatore stesso la quantità (in quanto, di fatto, si aggiunge zero al denominatore, lasciandolo invariato).

Integrazione per sostituzione[modifica]

Nel calcolo di integrali può risultare utile, in alcuni casi addirittura indispensabile, sostituire la variabile iniziale (solitamente ), con un'altra variabile, che rappresenti una funzione della variabile iniziale. Detto in altri termini, potremmo decidere di indicare con una qualsiasi variabile (ad esempio ) un funzione della variabile iniziale.

Poiché, però, come detto, il termine indica la derivata di , se questa variabile viene sostituita da un'altra che ne rappresenta una funzione, allora anche il termine deve essere sostituito dalla derivata di . Perciò:

La decisione della funzione da sostituire è sempre a discrezione di chi esegue i calcoli, ma esistono alcune sostituzioni 'standard':

  • , con
se , con soluzione dell' equazione
se

Integrazione per parti[modifica]

L'integrazione per parti deriva direttamente dalla formula della derivata del prodotto di due funzioni. Infatti, data

Ricordando che inizialmente si è posto :

Integrali definiti[modifica]

L' applicazione pratica, effettiva di un integrale si raggiunge con l' integrale definito, ed è il calcolo dell' estensione dell' area sottesa ad un curva di equazione nota.

Le riflessioni usate per calcolare l' area sottesa sono del tutto analoghe a quelle usate per la quadratura del cerchio. Cioè: l' area del cerchio è sempre compresa fra il valore dell' area del poligono circoscritto ed il valore dell' area del poligono inscritto. Inoltre. più il numero di lati dei due poligoni aumenta, più le loro aree si avvicineranno a quella effettiva del cerchio, 'raggiungendola' per un numero infinito di lati. Questo metodo, inventato da Eudosso di Cnido nel IV secolo a.C., è detto di esaustione. Si procede analogamente per quanto riguarda la 'costruzione' dell' integrale definito.

Innanzitutto, nel caso degli integrali definiti si deve considerare una curva solo in un suo intervallo (indicato solitamente con ) chiuso e limitato, e nel quale la funzione sia continua. Si definisce trapezoide la figura mistilinea formata da: il tratto di curva considerata, il tratto dell' asse ed i due segmenti e .

Definizione[modifica]

Proprietà[modifica]

Teorema della media[modifica]

Interpretazione geometrica[modifica]

La funzione integrale[modifica]

Teorema fondamentale del calcolo integrale[modifica]

Formula fondamentale del calcolo integrale[modifica]

Integrazione per sostituzione[modifica]

Integrazione di funzioni pari e dispari[modifica]

Calcolo dell'area sottesa da una curva[modifica]

Misura di un arco di curva[modifica]

Teorema di Archimede[modifica]

Volume di un solido di rotazione[modifica]

Integrali impropri[modifica]

Primo tipo[modifica]

Secondo tipo[modifica]

Continuità e integrabilità[modifica]