Matematica per le superiori/L'iperbole

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Teoria   —   Esercizi


  1. Primo anno
  2. Secondo anno
  3. Terzo anno
  4. Quarto anno
  5. Quinto anno
  6. Extra

L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione generica[modifica]

Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:

L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:

Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo .

Sviluppando avremo:

Per comodità possiamo porre:

e avremo quindi:

Questa è detta equazione canonica dell'iperbole.

Centro e punti notevoli[modifica]

Chiamiamo centro dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:

Chiamiamo poi vertici dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:

I vertici saranno pertanto: e

Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate[modifica]

Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta . L'equazione diventerà quindi:

Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:


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