Matematica per le superiori/L'iperbole

Matematica per le superiori

Copertina

Tutti i moduli · Sviluppo

Teoria   —   Esercizi

1. Primo anno
   • Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
   • Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
   • Insiemi numerici
     • Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
     • Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
     • Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
     • Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
     • Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
   • Algebra
     • RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
     • FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
     • Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
     • I monomiMatematica per le superiori/I monomi
     • I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
     • Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
     • Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
     • Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
     • EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
     • Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
     • Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
   • Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
     • Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
     • Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
     • Rette perpendicolari e rette parallele
     • Parallelogrammi e trapezi
2. Secondo anno
   • Algebra
     • Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
     • Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
     • RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
     • Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
     • Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
     • Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
     • Le equazioni di grado superiore al secondo
     • Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
   • Geometria
     • Isometrie
     • Circonferenza
     • Poligoni inscritti e circoscritti
     • Equivalenza dei poligoni
     • Omotetia
     • Similitudine
     • Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
     • Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
3. Terzo anno
   • Geometria analitica
     • La rettaMatematica per le superiori/La retta
     • La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
     • La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
     • L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
     • L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
     • SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
     • Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
   • Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
   • Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
   • Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
4. Quarto anno
   • TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
   • Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
   • Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
   • Statistica
5. Quinto anno
   • LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
   • Funzioni continue
   • DerivateMatematica per le superiori/Derivate
   • Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
   • Studio di funzioni →
   • IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
   • Calcolo numerico
6. Extra
   • Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
   • MatriciMatematica per le superiori/Matrici
   • Combinatoria
   • Probabilità

• Appendici
  • Tavola delle principali notazioni simboliche matematicheMatematica per le superiori/Tavola delle principali notazioni simboliche matematiche

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L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione generica

Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:

$F_{1}(-c;0)\,$

$F_{2}(c;0)\,$

L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:

$\left|PF_{1}-PF_{2}\right|=2a$

Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo $2a$.

Sviluppando avremo:

$\left|{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\right|=2a$

${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x+c)^{2}+y^{2}+4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$x^{2}+c^{2}-2cx-4a^{2}-x^{2}-c^{2}-2cx=4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$-4cx-4a^{2}=4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$c^{2}x^{2}+a^{4}+2a^{2}cx=a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+2a^{2}cx+a^{2}y^{2}\,$

$x^{2}(c^{2}-a^{2})-a^{2}y^{2}=a^{2}c^{2}-a^{4}\,$

${\frac {x^{2}(c^{2}-a^{2})}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}-{\frac {a^{2}y^{2}}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}={\frac {a^{2}(c^{2}-a^{2})}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1$

Per comodità possiamo porre:

$b^{2}=c^{2}-a^{2}\,$

e avremo quindi:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Questa è detta equazione canonica dell'iperbole.

Centro e punti notevoli

Chiamiamo centro dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:

${\frac {(-x)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(-y)^{2}}{b^{2}}}=1$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Chiamiamo poi vertici dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\\&y=0\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$

$x^{2}=a^{2}$

$x=\pm a$

I vertici saranno pertanto: $V(a;0)$ e $V(-a;0)$

Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate

Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta $y=x$. L'equazione diventerà quindi:

${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$

Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:

${\frac {(x-x_{c})^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-y_{c})^{2}}{b^{2}}}=1$

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