Matematica per le superiori/Limiti

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Teoria   —   Esercizi


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  6. Extra

Per limite si intende il valore, , al quale una funzione si avvicina quando la variabile indipendente si avvicina a un determinato valore . Si scrive quindi:

e si legge: Il limite per che tende a di è uguale a .

Sia sia possono essere dei valori numerici oppure .

Il valore deve essere un punto di accumulazione per l'insieme di definizione della funzione , non deve essere un punto isolato, cioè per quanto piccolo prenda un intorno di questo deve contenere altri punti dell'insieme di definizione della funzione.

Sulla base del concetto di limite si possone definire la continuità, la derivata e gli asintoti di una funzione, aspetti fondamentali per studiarne l'andamento.

Definizione[modifica]

Se è un punto di accumulazione per un insieme di esistenza della funzione allora diremo che se per qualunque intorno di esiste un intorno di tale che per ogni appartenente all'intorno di tranne stesso, appartiene all'intorno di .

Quindi, chiamando e rispettivamente un intorno di e un intorno di :

Per verificare il limite bisogna verificare che:

Dalla precedente definizione si ricavano i casi in cui il valore a cui tende o il limite siano finiti o infiniti:

Un limite finito per che tende a un valore finito:

.

Un limite infinito per che tende a un valore finito:

.

Un limite finito per che tende a un valore infinito:

.

Un limite infinito per che tende a un valore infinito:

.

Infiniti[modifica]

La funzione si dice un infinito per che tende a se

Dati due infiniti e si possono avere i seguenti casi:

  • con allora gli infiniti sono dello stesso ordine.
  • allora è un infinito di ordine superiore a
  • allora è un infinito di ordine superiore a

Infinitesimi[modifica]

La funzione si dice un infinitesimo per che tende a se

Dati due infinitesimi e si possono avere i seguenti casi:

  • con allora gli infinitesimi sono dello stesso ordine.
  • allora è un infinitesimo di ordine superiore a
  • allora è un infinitesimo di ordine superiore a

Limiti e infinitesimi[modifica]

teorema

Chiamando un infinitesimo per , se:

allora:

e viceversa.

dimostrazione

  1. .
  2. .

q.e.d.

Somma di infinitesimi[modifica]

Se e sono due infinitesimi allora è un infinitesimo.

Prodotto di infinitesimi[modifica]

Se e sono due infinitesimi allora è un infinitesimo.

Teoremi sui limiti[modifica]

Unicità del limite[modifica]

Permanenza del segno[modifica]

Calcolo con i limiti[modifica]

Limite di una costante[modifica]

Limite della funzione identità[modifica]

Somma di funzioni[modifica]

Prodotto di funzioni[modifica]

teorema

Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti.

Se e allora

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che:

1.

Tenendo conto del teorema su limiti e infinitesimi e cioè che:

e

con e due infinitesimi per .

L'espressione 1. diventa:

2.

Svolgendo i calcoli si ottiene:

e:

3.

Ora:

  • i prodotto di valori finiti per infinitesimi ( e ) sono infinitesimi,
  • il prodotto tra due infinitesimi () e un infinitesimo,
  • la somma tra questi infinitesimi è un infinitesimo.

Quindi il contenuto del modulo è minore di qualunque dato per .

q.e.d.

Quoziente di funzioni[modifica]

Limite di una funzione polinomiale[modifica]

Risoluzione di alcune forme di indecisione[modifica]

Limiti notevoli[modifica]

Limiti notevoli di funzioni goniometriche[modifica]

Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin {{\emph {a}}x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}{\emph {a}}}

Limiti notevoli di funzioni esponenziali[modifica]

Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {\emph {a}}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e^{\emph {a}}}

Limiti notevoli di funzioni contenenti logaritmi o esponenziali[modifica]

Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{\emph {a}}{(1+x)}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\log _{a}{e}={\frac {1}{\ln {a}}}}
Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\emph {a}}^{x}-1}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\ln {\emph {a}}}
Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\emph {a}}^{\epsilon (x)}-1}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\ln {\emph {a}}}

I limiti nello studio di funzioni[modifica]

Lo studio dei limiti di una funzione consente di esaminarne il comportamento nei pressi di alcuni punti, detti punti notevoli, nei quali la funzione non è ben definita (discontinuità, zeri, estremi del dominio) o all'infinito (asintoti).

Particolare importanza riveste la risoluzione di forme di indeterminazione (, , , , ): laddove la funzione assuma una di queste forme, è necessario trasformarla opportunamente (ad esempio mediante scomposizione) per risolvere la forma indeterminata ed arrivare al calcolo del limite.