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Per limite si intende il valore,
, al quale una funzione
si avvicina quando la variabile indipendente si avvicina a un determinato valore
. Si scrive quindi:

e si legge: Il limite per
che tende a
di
è uguale a
.
Sia
sia
possono essere dei valori numerici oppure
.
Il valore
deve essere un punto di accumulazione per l'insieme di definizione della funzione
, non deve essere un punto isolato, cioè per quanto piccolo prenda un intorno di
questo deve contenere altri punti dell'insieme di definizione della funzione.
Sulla base del concetto di limite si possone definire la continuità, la derivata e gli asintoti di una funzione, aspetti fondamentali per studiarne l'andamento.
Se
è un punto di accumulazione per un insieme di esistenza della funzione
allora diremo che
se per qualunque intorno di
esiste un intorno di
tale che per ogni
appartenente all'intorno di
tranne
stesso,
appartiene all'intorno di
.
Quindi, chiamando
e
rispettivamente un intorno di
e un intorno di
:

Per verificare il limite bisogna verificare che:

Dalla precedente definizione si ricavano i casi in cui il valore a cui tende
o il limite siano finiti o infiniti:
Un limite finito per
che tende a un valore finito:
.
Un limite infinito per
che tende a un valore finito:
.
Un limite finito per
che tende a un valore infinito:
.
Un limite infinito per
che tende a un valore infinito:
.
La funzione
si dice un infinito per
che tende a
se
Dati due infiniti
e
si possono avere i seguenti casi:
con
allora gli infiniti sono dello stesso ordine.
allora
è un infinito di ordine superiore a 
allora
è un infinito di ordine superiore a 
La funzione
si dice un infinitesimo per
che tende a
se
Dati due infinitesimi
e
si possono avere i seguenti casi:
con
allora gli infinitesimi sono dello stesso ordine.
allora
è un infinitesimo di ordine superiore a 
allora
è un infinitesimo di ordine superiore a 
Limiti e infinitesimi[modifica]
teorema
Chiamando
un infinitesimo per
, se:

allora:

e viceversa.
dimostrazione
- .
- .
q.e.d.
Somma di infinitesimi[modifica]
Se
e
sono due infinitesimi allora
è un infinitesimo.
Prodotto di infinitesimi[modifica]
Se
e
sono due infinitesimi allora
è un infinitesimo.
Teoremi sui limiti[modifica]
Unicità del limite[modifica]
Permanenza del segno[modifica]
Calcolo con i limiti[modifica]
Limite di una costante[modifica]
Limite della funzione identità[modifica]
Somma di funzioni[modifica]
Prodotto di funzioni[modifica]
teorema
Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti.
Se
e
allora
Dimostrazione
Dobbiamo dimostrare che:
- 1.

Tenendo conto del teorema su limiti e infinitesimi e cioè che:
e
con
e
due infinitesimi per
.
L'espressione 1. diventa:
- 2.

Svolgendo i calcoli si ottiene:

e:
- 3.

Ora:
- i prodotto di valori finiti per infinitesimi (
e
) sono infinitesimi,
- il prodotto tra due infinitesimi (
) e un infinitesimo,
- la somma tra questi infinitesimi è un infinitesimo.
Quindi il contenuto del modulo è minore di qualunque
dato per
.
q.e.d.
Quoziente di funzioni[modifica]
Limite di una funzione polinomiale[modifica]
Risoluzione di alcune forme di indecisione[modifica]
Limiti notevoli[modifica]
Limiti notevoli di funzioni goniometriche[modifica]
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104f936475600f7aa5e5f48e0ca402cb047e99c6)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin {\epsilon (x)}}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8595323e8b4f3129f76348a3067db6c8182ba41)
- Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin {{\emph {a}}x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}{\emph {a}}}
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan {x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a318c630c80a44815080d5751fef031e4433e6a5)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos {x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbd8f0013905d168e3cc537587ff9b69e42558b)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos {x}}{x^{2}}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1de537e0b79ecd4e4cdcf8c9140b60c4894ef50)
Limiti notevoli di funzioni esponenziali[modifica]
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad97727f9c0e80cd465d12e0bf0cdfe11130a146)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{\epsilon (x)}}\right)^{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b21d5c91aa43cc5bc65a1c9bf8c3802de69a0cc)
- Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {\emph {a}}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e^{\emph {a}}}
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}{\frac {1}{e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f99b2e9d50731dfe5b027974bd629bacc75acbc)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}}{\stackrel {\left[1^{\infty }\right]}{=}}e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b13735a772b7fd778fe47b8c6fa13a63912517)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\left(1+\epsilon (x)\right)^{\frac {1}{\epsilon (x)}}}{\stackrel {\left[1^{\infty }\right]}{=}}e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba7f6d3fc7bc4c7531e61666801ac08f8ef8a53)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\left(1-x\right)^{\frac {1}{x}}}{\stackrel {\left[1^{\infty }\right]}{=}}{\frac {1}{e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a28f353cea8bd6c1de1d9317cff8fae64e09a04)

Limiti notevoli di funzioni contenenti logaritmi o esponenziali[modifica]
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln {(1+x)}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b2a0f123666616e6d9470e3a9d1eabbb444bac)
- Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{\emph {a}}{(1+x)}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\log _{a}{e}={\frac {1}{\ln {a}}}}
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln {(1+\epsilon (x))}}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8543da4bc35eb906bdb956db00a0167335ebcf30)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e403ca8b1e3d882ee1750f8c187a1db2df84d28d)
- Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\emph {a}}^{x}-1}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\ln {\emph {a}}}
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{\epsilon (x)}-1}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad1525143e6000402091fe64c8a54252831d50b)
- Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\emph {a}}^{\epsilon (x)}-1}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\ln {\emph {a}}}
I limiti nello studio di funzioni[modifica]
Lo studio dei limiti di una funzione consente di esaminarne il comportamento nei pressi di alcuni punti, detti punti notevoli, nei quali la funzione non è ben definita (discontinuità, zeri, estremi del dominio) o all'infinito (asintoti).
Particolare importanza riveste la risoluzione di forme di indeterminazione (
,
,
,
,
): laddove la funzione assuma una di queste forme, è necessario trasformarla opportunamente (ad esempio mediante scomposizione) per risolvere la forma indeterminata ed arrivare al calcolo del limite.