Matematica per le superiori/Limiti

Per limite si intende il valore, $l\,$, al quale una funzione $f(x)$ si avvicina quando la variabile indipendente si avvicina a un determinato valore $a\,$. Si scrive quindi:

$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=l$

e si legge: Il limite per $x$ che tende a $a\,$ di $f(x)$ è uguale a $l\,$.

Sia $a\,$ sia $l\,$ possono essere dei valori numerici oppure $\infty$.

Il valore $a\,$ deve essere un punto di accumulazione per l'insieme di definizione della funzione $f(x)\,$, non deve essere un punto isolato, cioè per quanto piccolo prenda un intorno di $a\,$ questo deve contenere altri punti dell'insieme di definizione della funzione.

Sulla base del concetto di limite si possone definire la continuità, la derivata e gli asintoti di una funzione, aspetti fondamentali per studiarne l'andamento.

Definizione

Se $a\,$ è un punto di accumulazione per un insieme di esistenza della funzione $f(x)\,$ allora diremo che $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=l$ se per qualunque intorno di $l\,$ esiste un intorno di $a\,$ tale che per ogni $x\,$ appartenente all'intorno di $a\,$ tranne $a\,$ stesso, $f(x)\,$ appartiene all'intorno di $l\,$.

Quindi, chiamando $I_{l}\,$ e $I_{a}\,$ rispettivamente un intorno di $l\,$ e un intorno di $a\,$:

$\forall I_{l}\ \exists I_{a}\ |\ \forall x\in (I_{a}-a)\rightarrow f(x)\in I_{l}$

Per verificare il limite bisogna verificare che:

$\forall \epsilon >0\ \exists \delta \ |\ \forall x\ |x-a|<\delta \land x\neq x_{0}\rightarrow |f(x)-l|<\epsilon$

Dalla precedente definizione si ricavano i casi in cui il valore a cui tende $x\,$ o il limite siano finiti o infiniti:

Un limite finito per $x\,$ che tende a un valore finito:

$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=l$.

Un limite infinito per $x\,$ che tende a un valore finito:

$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=\infty$.

Un limite finito per $x\,$ che tende a un valore infinito:

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=l$.

Un limite infinito per $x\,$ che tende a un valore infinito:

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$.

Infiniti

La funzione $f(x)\,$ si dice un infinito per $x\,$ che tende a $c\,$ se $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty$

Dati due infiniti $f(x)\,$ e $g(x)\,$ si possono avere i seguenti casi:

• $\lim _{x\rightarrow \infty }$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=n\,$ con $n\neq 0\,$ allora gli infiniti sono dello stesso ordine.
• $\lim _{x\rightarrow \infty }$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=0\,$ allora $g(x)\,$ è un infinito di ordine superiore a $f(x)\,$
• $\lim _{x\rightarrow \infty }$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=\infty \,$ allora $f(x)\,$ è un infinito di ordine superiore a $g(x)\,$

Infinitesimi

La funzione $f(x)\,$ si dice un infinitesimo per $x\,$ che tende a $c,$ se $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=0$

Dati due infinitesimi $f(x)\,$ e $g(x)\,$ si possono avere i seguenti casi:

• $\lim _{x\rightarrow 0}$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=n\,$ con $n\neq 0\,$ allora gli infinitesimi sono dello stesso ordine.
• $\lim _{x\rightarrow 0}$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=0\,$ allora $f(x)\,$ è un infinitesimo di ordine superiore a $g(x)\,$
• $\lim _{x\rightarrow 0}$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=\infty \,$ allora $g(x)\,$ è un infinitesimo di ordine superiore a $f(x)\,$

Limiti e infinitesimi

teorema

Chiamando $\alpha (x)\,$ un infinitesimo per $x\rightarrow c$, se:

$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=l$

allora:

$f(x)=l+\alpha (x)\,$

e viceversa.

dimostrazione

1. .
2. .

q.e.d.

Somma di infinitesimi

Se $\alpha (x)\,$ e $\beta (x)\,$ sono due infinitesimi allora $\alpha (x)+\beta (x)\,$ è un infinitesimo.

Prodotto di infinitesimi

Se $\alpha (x)\,$ e $\beta (x)\,$ sono due infinitesimi allora $\alpha (x)\cdot \beta (x)\,$ è un infinitesimo.

Calcolo con i limiti

Prodotto di funzioni

teorema

Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti.

Se $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=l$ e $\lim _{x\rightarrow a}g(x)=m$ allora $\lim _{x\rightarrow a}(f(x)\cdot g(x))=l\cdot m$

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che:

1. $\left|f(x)\cdot g(x)-l\cdot m\right|<\epsilon$

Tenendo conto del teorema su limiti e infinitesimi e cioè che:

$f(x)=l+\alpha (x)\,$

e

$g(x)=m+\beta (x)\,$

con $\alpha (x)\,$ e $\beta (x)\,$ due infinitesimi per $x\rightarrow a$.

L'espressione 1. diventa:

2. $\left|(l+\alpha (x))\cdot (m+\beta (x))-l\cdot m\right|<\epsilon$

Svolgendo i calcoli si ottiene:

$\left|l\cdot m+l\cdot \alpha (x)+m\cdot \beta (x)+\alpha (x)\cdot \beta (x)-l\cdot m\right|<\epsilon$

e:

3. $\left|l\cdot \alpha (x)+m\cdot \beta (x)+\alpha (x)\cdot \beta (x)\right|<\epsilon$

Ora:

• i prodotto di valori finiti per infinitesimi ($l\cdot \alpha (x)$ e $m\cdot \beta (x)$) sono infinitesimi,
• il prodotto tra due infinitesimi ($\alpha (x)\cdot \beta (x)$) e un infinitesimo,
• la somma tra questi infinitesimi è un infinitesimo.

Quindi il contenuto del modulo è minore di qualunque $\epsilon$ dato per $x\rightarrow a$.

q.e.d.

Limiti notevoli

Limiti notevoli di funzioni goniometriche

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {\epsilon (x)}}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$

Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin {{\emph {a}}x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}{\emph {a}}}

$\lim _{x\to 0}{\frac {\tan {x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos {x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos {x}}{x^{2}}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}{\frac {1}{2}}$

Limiti notevoli di funzioni esponenziali

$\lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e$

$\lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{\epsilon (x)}}\right)^{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e$

Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {\emph {a}}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e^{\emph {a}}}

$\lim _{x\to \infty }{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}{\frac {1}{e}}$

$\lim _{x\to 0}{\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}}{\stackrel {\left[1^{\infty }\right]}{=}}e$

$\lim _{x\to 0}{\left(1+\epsilon (x)\right)^{\frac {1}{\epsilon (x)}}}{\stackrel {\left[1^{\infty }\right]}{=}}e$

$\lim _{x\to 0}{\left(1-x\right)^{\frac {1}{x}}}{\stackrel {\left[1^{\infty }\right]}{=}}{\frac {1}{e}}$

$\lim {f(x)^{g(x)}}=\lim {e^{g(x)\cdot \ln {f(x)}}}$

Limiti notevoli di funzioni contenenti logaritmi o esponenziali

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln {(1+x)}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$

Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{\emph {a}}{(1+x)}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\log _{a}{e}={\frac {1}{\ln {a}}}}

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln {(1+\epsilon (x))}}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$

Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\emph {a}}^{x}-1}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\ln {\emph {a}}}

$\lim _{x\to 0}{\frac {e^{\epsilon (x)}-1}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$

Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\emph {a}}^{\epsilon (x)}-1}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\ln {\emph {a}}}

I limiti nello studio di funzioni

Lo studio dei limiti di una funzione consente di esaminarne il comportamento nei pressi di alcuni punti, detti punti notevoli, nei quali la funzione non è ben definita (discontinuità, zeri, estremi del dominio) o all'infinito (asintoti).

Particolare importanza riveste la risoluzione di forme di indeterminazione ($+\infty -\infty$, ${\frac {0}{0}}$, ${\frac {\infty }{\infty }}$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$): laddove la funzione assuma una di queste forme, è necessario trasformarla opportunamente (ad esempio mediante scomposizione) per risolvere la forma indeterminata ed arrivare al calcolo del limite.