Matematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni

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Teoria   —   Esercizi


  1. Primo anno
  2. Secondo anno
  3. Terzo anno
  4. Quarto anno
  5. Quinto anno
  6. Extra

Dati due insiemi A e B, una funzione è una legge che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B (è tuttavia possibile che a più elementi di A corrisponda lo stesso elemento di B). In questo caso l'insieme A prende il nome di dominio, mentre B è il codominio. Nelle funzioni che siamo abituati a trattare, il dominio è l'insieme delle x (che tipicamente coincide con l'insieme dei numeri reali), mentre il codominio è l'insieme delle 'y' (anch'esso coincidente con ).

Determinazione grafica di una funzione[modifica]

La parabola è una funzione
La circonferenza non è una funzione

Attraverso la sua rappresentazione grafica si può stabilire se un'equazione sia una funzione o no: quando lo è ad ogni coordinata x corrisponde una sola y, come avviene nelle rette (esclusa quella verticale) o nelle parabole con asse verticale. Quando, al contrario, ad almeno una x corrispondono più y l'equazione non è una funzione: è il caso della circonferenza o delle parabole con asse orizzontale.

Dominio e codominio[modifica]

Il dominio nel grafico di una funzione è uguale all'insieme dei valori per i quali la funzione è calcolabile, si trova sull'asse x, ogni retta verticale passante per ciascun punto del dominio incontra il grafico esattamente in un punto. L'immagine è invece costituita dalle y corrispondenti, ogni retta orizzontale passante per ciascun punto dell'immagine incontra il grafico in almeno un punto. Come codominio puo' essere considerato un qualunque sovrainsieme dell'immagine (si trova, come l'immagine, sull'asse y ed è assegnato da chi introduce la funzione).

Funzioni pari e funzioni dispari[modifica]

Quando la funzione si dice pari. Quando invece la funzione è dispari. Una funzione esistente non deve necessariamente essere pari o dispari.

Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y, quelle dispari lo sono invece rispetto all'origine.

Asintoti[modifica]

Gli asintoti, presenti solo in alcune funzioni, sono le x per cui le y corrispondenti tendono a + o - infinito. Nel grafico questo si traduce in rapide ascese o discese della curva lungo rette verticali immaginarie (gli asintoti) che non vengono mai toccate.

Zeri[modifica]

Gli zeri sono le soluzioni che l'equazione ha per . Logicamente nella rappresentazione grafica sono le intersezioni della curva con l'asse delle ascisse (che è proprio ). Una funzione ha quindi tante soluzioni per quante sono le intersezioni con l'asse x.

Massimi e minimi[modifica]

I massimi e i minimi sono i punti rispettivamente più alti o più bassi di tutta la curva o rispetto ad un intervallo. Nel caso in cui un punto sia il più alto (o il più basso) di tutta la curva esso è detto massimo (o minimo) assoluto. Se invece è il più alto (o il più basso) solo in un intervallo il punto prende il nome di massimo (o minimo) relativo. L'intervallo in questione è detto intorno.

Funzione reciproca[modifica]

Per disegnare il reciproco di una funzione , partendo dal grafico della funzione, si applichino le seguenti regole:

  • In corrispondenza degli zeri di (), in () si trovano asintoti verticali.
  • Viceversa dove tende ad infinito tende a 0.
  • I punti di intersezione con la retta non variano (il reciproco di 1 è 1, quello di -1 è -1).
  • I massimi diventano minimi e viceversa

Valori assoluti[modifica]

Partendo dal grafico di f(x) è possibile tracciare quello di f(|x|) o di |f(x)| in modo non complesso:

  • f(|x|): si elimina la parte a sinistra dell'asse y e si esegue una simmetria su quest'asse. Si noti che la funzione risultante è pari.
  • |f(x)|: si esegue una simmetria della funzione rispetto all'asse x e si elimina la parte sottostante a quest'asse.