Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali

La leggenda di Pitagora e la scoperta di un numero inquietante

La vita e l'opera di Pitagora hanno costituito oggetto di approfondite ricerche da parte degli storici di tutti i tempi. Nonostante le indagini più accurate, i fatti della vita di Pitagora realmente accertati sono veramente pochi. Si dice sia nato a Samo nel 572  dove vi regnava il tiranno Policrate; non sopportando la tirannia, si trasferì in Egitto con un incarico di lavoro presso il faraone Amasi. Sembra che poi abbia viaggiato in Babilonia prima di approdare a Crotone dove fondò una Scuola che accolse numerosi discepoli. Pitagora propose un sistema matematico della natura: la spiegazione dei fenomeni naturali doveva avvenire attraverso la ricerca di relazioni tra numeri. Pensava che tutti i corpi fossero formati da punti materiali o monadi combinate in modo da formare le varie figure geometriche e il numero totale di tali unità rappresentava l'oggetto materiale. Da qui nasceva la dottrina secondo la quale tutte le cose che si conoscono hanno un numero; senza questo nulla sarebbe possibile pensare, né conoscere; la spiegazione dei fenomeni naturali può essere raggiunta solo attraverso l'aritmetica.

Per i pitagorici esistono due soli tipi di numeri: gli interi e le frazioni. Ogni numero aveva sia una rappresentazione simbolica che un significato simbolico: il numero 5 veniva assunto a rappresentare il matrimonio, essendo la somma del primo numero dispari, il 3, con il primo numero pari, il 2.

Fu dunque terribile la scoperta di un nuovo tipo di numero che non è né intero né frazionario, questo numero si ottiene calcolando per mezzo del teorema di Pitagora la misura della diagonale di un quadrato di lato uno. Questo nuovo numero, che oggi scriviamo ${\sqrt {2}}$, non poteva essere espresso in nessun modo come frazione, cioè rapporto di numeri interi. Ad esso i pitagorici diedero il nome di arreton, cioè indicibile, inesprimibile. La scoperta fu mantenuta segreta. La leggenda narra che Ippaso, discepolo della Scuola, morì affogato perché violò il giuramento che aveva fatto di non diffondere questa terribile verità.

Oggi questi numeri li chiamiamo numeri irrazionali, termine che riflette la stessa idea di inesprimibilità attribuita loro dai pitagorici .

I numeri irrazionali

Applicando il teorema di Pitagora a un quadrato di lato unitario per calcolare la misura della diagonale i pitagorici individuarono un nuovo tipo di numero, oggi indicato con ${\sqrt {2}}$.

Fissiamo sulla retta orientata $r$ l'unità di misura e disegniamo il quadrato di lato 1. Ci proponiamo di calcolare la misura della sua diagonale $OB$.

Il triangolo $OAB$ è retto in $A$, quindi per il teorema di Pitagora ${\overline {OB}}^{2}={\overline {OA}}^{2}+{\overline {AB}}^{2}$. Sostituiamo le misure: ${\overline {OB}}^{2}=1^{2}+1^{2}=2$. Per ottenere ${\overline {OB}}$ dobbiamo estrarre la radice quadrata e quindi ${\overline {OB}}={\sqrt {2}}$.

Sappiamo che ‘estrarre la radice quadrata' di un numero significa trovare quel numero che elevato al quadrato dà 2. Questo numero deve esistere, nel senso che esiste un punto sulla retta $r$ che lo rappresenta, per costruirlo graficamente si può tracciare l'arco di circonferenza di centro $O$ e raggio $OB$ e determinando su $r$ il punto $K$ estremo del segmento con $OK=OB$.

Dalla posizione del punto $K$ possiamo dire che $1<{\sqrt {2}}<2$. Il valore cercato evidentemente non è un numero intero. Può essere un numero decimale finito? Compiliamo una tabella che contenga nella prima riga i numeri con una sola cifra decimale compresi tra 1 e 2 e nella seconda riga i rispettivi quadrati:

$x$	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
$x^{2}$	1,21	1,44	1,69	1,96	2,25	2,89

Osserviamo che il numero 2 è compreso tra $1,4^{2}$ e $1,5^{2}$, di conseguenza $1,4<{\sqrt {2}}<1,5$, ma ancora non possiamo precisare il suo valore, anche se abbiamo ristretto l'intervallo in cui si trova il punto $K$. Diciamo che 1,4 è un valore approssimato per difetto di ${\sqrt {2}}$ mentre 1,5 è un valore approssimato per eccesso; scrivendo ${\sqrt {2}}=1,4$ oppure ${\sqrt {2}}=1,5$ commettiamo un errore minore di 1/10.

Per migliorare l'approssimazione e tentare di ottenere ${\sqrt {2}}$ come numero razionale costruiamo la tabella dei numeri decimali con due cifre compresi tra 1,4 e 1,5:

$x$	1,41	1,42	1,43	1,44
$x^{2}$	1,9881	2,0164	2,0049	2,0776

Ora possiamo dire che 1,41 è un valore approssimato per difetto di ${\sqrt {2}}$ mentre 1,42 è un valore approssimato per eccesso, con un errore dell'ordine di 1/100. Abbiamo quindi migliorato l'approssimazione e di conseguenza abbiamo ristretto l'intervallo in cui cade il punto $K$. Ma ancora non abbiamo trovato un numero razionale che sia uguale a ${\sqrt {2}}$.

Continuando con lo stesso procedimento costruiamo due classi di numeri razionali che approssimano una per difetto e una per eccesso il numero cercato, restringendo ogni volta l'ampiezza dell'intervallo in cui cade il punto $K$. Il procedimento continua all'infinito e le cifre decimali che troviamo non si ripetono periodicamente.

Valore per difetto	Numero	Valore per eccesso	Ordine dell'errore
1	${\sqrt {2}}$	2	1
1,4	${\sqrt {2}}$	1,5	$10^{-1}$
1,41	${\sqrt {2}}$	1,42	$10^{-2}$
1,414	${\sqrt {2}}$	1,415	$10^{-3}$
1,4142	${\sqrt {2}}$	1,4143	$10^{-4}$
…	${\sqrt {2}}$	…	…

Per arrivare a concludere che ${\sqrt {2}}$ non è un numero razionale, possiamo ragionare nel seguente modo. Supponiamo per assurdo che ${\sqrt {2}}$ sia un numero razionale e precisamente ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ con $a$ e $b$ primi tra loro; si avrebbe, elevando al quadrato, $2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$.

Se si eleva un numero al quadrato significa elevare al quadrato le singole potenze dei fattori primi in cui questo si scompone. I fattori primi di $a^{2}$ e di $b^{2}$ sono gli stessi di $a$ e di $b$ con gli esponenti raddoppiati. Quindi anche $a^{2}$ e $b^{2}$ sono primi tra di loro e $a^{2}$ non può essere il doppio di $b^{2}$. Se lo fosse dovrebbe essere almeno il quadruplo. Quindi $2\neq {\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ e ${\sqrt {2}}\neq {\frac {a}{b}}$.

Oltre a ${\sqrt {2}}$ vi sono altri infiniti numeri che non possono essere scritti come frazione. Per esempio tutte le radici quadrate di numeri naturali che non sono quadrati perfetti e tutte le radici quadrate di frazioni che non sono il quadrato di alcuna frazione.

Le radici quadrate dei numeri che non sono quadrati perfetti e che non sono il quadrato di alcuna frazione sono numeri decimali con infinite cifre decimali non periodiche; essi perciò possono essere scritti solo in maniera approssimata. Questi numeri sono detti numeri irrazionali e insieme ad altri, che conoscerete in seguito, costituiscono l'insieme $\mathbb {J}$ dei numeri irrazionali.

Le condizioni di esistenza

Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste. Per verificare le condizioni di esistenza bisogna prima guardare se l'indice del radicale è pari o dispari:

• se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
• se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi.

Per esempio sono calcolabili i seguenti radicali:

$+{\sqrt {9}}=3;\quad -{\sqrt {25}}=-5;\quad -{\sqrt[{3}]{8}}=-2;\quad -{\sqrt[{4}]{16}}=-2;\quad -{\sqrt[{3}]{27}}=-3;\quad {\sqrt {2}}=1,4142\dots$

Non esistono invece numeri reali che risolvano queste espressioni:

${\sqrt[{}]{-9}};\quad {\sqrt[{}]{-25}};\quad {\sqrt[{6}]{-8}};\quad {\sqrt[{4}]{-16}};\quad {\sqrt[{8}]{-27}}$

Essi infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, i quali, sommati ai numeri reali, danno come risultato un numero appartenente all'insieme dei numeri complessi, indicato con C o $\mathbb {C}$.

Proprietà fondamentali

Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:

• ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}$
• $({\sqrt[{n}]{a}})^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
• $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
• $a^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$
• ${\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$ (Radicali quadratici doppi)

dove $a$ e $b$ sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che $a^{2}>b$.

Per ogni numero complesso $a$ diverso da 0, ci sono $n$ diversi numeri complessi $b$ tali che $b^{n}=a$, quindi il simbolo ${\sqrt[{n}]{a}}$ non può essere usato univocamente. Se $a=1$, parliamo di radici n-esime dell'unità.

Casi particolari

La radice $n$-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad $n$, è uguale a 0; nel caso in cui però $n$ sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.

Operazioni con le radici quadrate

Definizione:

Si chiama radice quadrata del numero razionale non negativo $a$, il numero non negativo $b$ che elevato al quadrato è uguale ad $a$. In simboli ${\sqrt {a}}=b\ \Leftrightarrow b^{2}=a.$

In particolare si ha $({\sqrt {a}})^{2}=a$ per ogni a ${\geq }$ 0. ${\sqrt {0}}=0$ infatti $0^{2}=0$; ${\sqrt {1}}=1$ infatti $1^{2}=1$.

Il simbolo ${\sqrt {a}}$ si chiama radicale quadratico e $a$ si chiama radicando.

Osservazione:

Il radicando di un radicale quadratico deve essere non negativo. Infatti dalla definizione di radice quadrata ${\sqrt {a}}=b\ \Leftrightarrow b^{2}=a$ ogni numero elevato al quadrato dà un numero positivo.

Dato che $({\sqrt {a}})^{2}=a$ possiamo scrivere ${\sqrt {a}}$ come $a^{\frac {1}{2}}$ in quanto per le regole delle potenze anche $\displaystyle {\left(a^{\frac {1}{2}}\right)^{2}=a}$.

Esempio: Radicali quadratici.

${\sqrt {2}}=2^{\frac {1}{2}};\qquad {\sqrt {3}}=3^{\frac {1}{2}};\qquad {\sqrt {\frac {2}{3}}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{2}}.$

Quindi un radicale quadratico si può scrivere come una potenza che ha per base il radicando e come esponente ${\frac {1}{2}}$. Naturalmente la base della potenza deve essere maggiore o uguale a 0.

Prodotto di radicali quadratici

Esempio: Determina l'area del triangolo rettangolo avente un cateto di $8{m}$ e l'ipotenusa di $12{m}$.

Per calcolare l'area del triangolo rettangolo applicola formula $A={\frac {1}{2}}\cdot c_{1}\cdot c_{2}$, occorre allora calcolare l'altro cateto per mezzo del Teorema di Pitagora: $c_{2}={\sqrt {i^{2}-c_{1}^{2}}}={\sqrt {12^{2}-8^{2}}}={\sqrt {144-64}}={\sqrt {80}}{m}.$ Si è ottenuto un numero irrazionale. L'area è $A={\frac {1}{2}}\cdot c_{1}\cdot c_{2}={\frac {1}{2}}\cdot 8\cdot {\sqrt {80}}{m^{2}}.$

Come si fa ora a moltiplicare dei numeri razionali come ${\frac {1}{2}}$ e 8 per ${\sqrt {80}}$? Si moltiplicano tra di loro i numeri razionali e si mette il risultato davanti alla radice omettendo il segno di moltiplicazione che resta sotto inteso. $A=\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot 8\cdot {\sqrt {80}}{m^{2}}=4{\sqrt {80}}{m^{2}}.$

Osservazione:

Per moltiplicare un numero razionale per un radicale si riscrive il numero davanti alla radice, omettendo il segno della moltiplicazione, che resta sottinteso.

Esempio: Determina l'area del rettangolo avente base e altezza rispettivamente di $5{\sqrt {7}}{cm}$ e $2{\sqrt {3}}{cm}$.

Calcoliamo l'area $A=b\cdot h=5{\sqrt {7}}\cdot 2{\sqrt {3}}{m^{2}}$. Per ottenere il risultato moltiplichiamo tra di loro i numeri razionali fuori dalle radici e subito dopo riportiamo una radice avente per radicando il prodotto dei radicandi. $A=b\cdot h=5{\sqrt {7}}\cdot 2{\sqrt {3}}{m^{2}}=10{\sqrt {21}}{m^{2}}.$

Osservazione:

Il prodotto di due radicali quadratici è il radicale quadratico avente per radicando il prodotto dei radicandi.

Possiamo sempre eseguire la moltiplicazione tra radicali quadratici. Infatti se applichiamo le regole delle potenze abbiamo: ${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}=a^{\frac {1}{2}}\cdot b^{\frac {1}{2}}=(ab)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {ab}}.$

Trasporto di un fattore fuori dalla radice

Consideriamo il numero ${\sqrt {12}}$, se scomponiamo in fattori primi il 12 possiamo scrivere ${\sqrt {12}}={\sqrt {3\cdot 2^{2}}}$, applicando al contrario la regola precedente sul prodotto dei radicali quadratici possiamo scrivere ${\sqrt {12}}={\sqrt {3\cdot 2^{2}}}={\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {2^{2}}}={\sqrt {3}}\cdot 2=2{\sqrt {3}}$.

Osservazione:

Scomponendo in fattori il radicando di un radicale quadratico, se uno o più fattori compaiono con esponente pari, questi fattori possono essere trasportati fuori dalla radice dividendo per 2 il loro esponente.

In generale dato il radicale quadratico ${\sqrt {a^{n}}}$ con $n\geq ~2$ abbiamo:

• $n$ pari ${\sqrt {a^{n}}}=a^{\frac {n}{2}}$;
• se $n$ è dispari ${\sqrt {a^{n}}}=a^{\frac {n-1}{2}}\cdot {\sqrt {a}}$.

Esempio: Scomposzione in fattori.

• ${\sqrt {16}}={\sqrt {2^{4}}}=2^{2}$;
• ${\sqrt {32}}={\sqrt {2^{5}}}=2^{2}\cdot {\sqrt {2}}$;
• ${\sqrt {12}}\cdot {\sqrt {21}}$ scompongo in fattori i radicandi: ${\sqrt {12}}\cdot {\sqrt {21}}={\sqrt {3\cdot 2^{2}}}\cdot {\sqrt {3\cdot 7}}={\sqrt {3^{2}\cdot 2^{2}\cdot 7}}=3\cdot 2\cdot {\sqrt {7}}=6{\sqrt {7}}.$

Potenza di un radicale quadratico

Esempio: Calcola il volume di un cubo il cui lato misura ${\sqrt {5}}{cm}$.

Il volume di un cubo di lato noto si ottiene elevando alla terza potenza la misura del lato, quindi $V=l^{3}=({\sqrt {5}})^{3}{cm}^{3}$.

Per calcolare la potenza di un radicale possiamo applicare la definizione di potenza e cioè moltiplicare il radicale per se stesso tante volte quanto indica l'esponente: $V=({\sqrt {5}})^{3}{cm}^{3}={\sqrt {5}}\cdot {\sqrt {5}}\cdot {\sqrt {5}}{cm}^{3}=5{\sqrt {5}}{cm}^{3}.$

Osservazione:

La potenza di un radicale quadratico è il radicale quadratico avente per radicando la potenza del radicando. In simboli $({\sqrt {a}})^{n}={\sqrt {a^{n}}}$.

Se trasformiamo il radicale quadratico in potenza con esponente ${\frac {1}{2}}$ per la regola delle potenze abbiamo: $({\sqrt {a}})^{n}=\left(a^{\frac {1}{2}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{2}}=\left(a^{n}\right)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {a^{n}}}.$

Quoziente di radicali quadratici

Il quoziente di due radicali quadratici è il radicale quadratico avente per radicando il quoziente dei radicandi.

Esempio: Calcolare il quoziente di ${\sqrt {15}}:{\sqrt {12}}$.

Applichiamo la regola precedente, otteniamo: ${\sqrt {15}}:{\sqrt {12}}={\sqrt {\frac {3\cdot 5}{3\cdot 4}}}={\sqrt {\frac {5}{4}}}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {4}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}.$

Possiamo sempre eseguire la divisione tra radicali quadratici se ${\sqrt {b}}\neq 0$. Infatti se applichiamo le regole delle potenze abbiamo: ${\sqrt {a}}:{\sqrt {b}}=a^{\frac {1}{2}}:b^{\frac {1}{2}}=(a:b)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {a}{b}}}.$

Somma algebrica di radicali quadratici

Non esistono regole per sommare un numero razionale ad uno irrazionale. Per sommare, per esempio $7+{\sqrt {50}}$ possiamo sostituire la radice con un suo valore approssimato ${\sqrt {50}}\approx 7,07107$, sommando ora i due numeri razionali avremo un valore approssimato della somma cercata: $7+{\sqrt {50}}\approx ~7+7,07107=17,07107$. Oppure, se vogliamo conservare il valore esatto dobbiamo lasciare indicata la somma e scrivere $7+{\sqrt {50}}$.

Esempio:

Calcola il perimetro del triangolo rettangolo avente i cateti che misurano rispettivamente $1{m}$ e $7{m}$. Per calcolare il perimetro devo conoscere le misure dei tre lati del triangolo. Applico il teorema di Pitagora per ottenere la misura dell'ipotenusa: $i={\sqrt {7^{2}+1^{2}}}m={\sqrt {49+1}}m={\sqrt {50}}{m}.$

Per calcolare il perimetro sommo le misure dei lati $2p=1{m}+7{m}+{\sqrt {50}}{m}=(8+{\sqrt {50}}){m}.$

Oppure ne calcolo un valore approssimato $2p=1{m}+7{m}+{\sqrt {50}}{m}\approx ~1{m}+7{m}+7,07107{m}=15,07107{m}.$

Osservazione:

Non esistono regole per sommare due radicali quadratici con radicandi diversi. Il valore esatto si scrive lasciando indicate le somme delle radici con i loro simboli. Un valore approssimato si ottiene sostituendo i radicali con valori approssimati.

Non esistono regole delle potenze per sommare due potenze con basi diverse. Per esempio $3^{2}+8^{2}$ è diverso da $(3+8)^{2}$; infatti $3^{2}+8^{2}=9+64=73$, mentre $(3+8)^{2}=11^{2}=121$. In generale quindi $a^{2}+b^{2}\neq (a+b)^{2}$ e ${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\neq {\sqrt {a+b}}$.

Esempio: Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo avente i cateti che misurano rispettivamente ${\sqrt {2}}{m}$ e ${\sqrt {3}}{m}$.

Applichiamo il teorema di Pitagora per calcolare la misura dell'ipotenusa: $i={\sqrt {({\sqrt {3}})^{2}+({\sqrt {2}})^{2}}}{m}={\sqrt {3+2}}{m}={\sqrt {5}}{m}.$ Il valore esatto del perimetro è dato da: $2p=({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}){m}$.

Un valore approssimato è $2p={\sqrt {2}}{m}+{\sqrt {3}}{m}+{\sqrt {5}}{m}\approx 1,4142{m}+1,7320{m}+2,2361{m}=5,3823{m}.$

Osservazione:

Per sommare due radicali con lo stesso radicando si sommano i coefficienti delle radici e si moltiplica quanto ottenuto per il radicale stesso, lasciando indicata la moltiplicazione.

Esempio: Calcola il perimetro di un rettangolo che ha la base di $5{\sqrt {3}}{m}$ e l'altezza di $2{\sqrt {3}}{m}$.

Il perimetro si ottiene sommando le due misure e moltiplicando il risultato per 2: $2p=2\cdot (b+h)=2\cdot (5{\sqrt {3}}+2{\sqrt {3}}){m}=2\cdot (5+2){\sqrt {3}}{m}=2\cdot 7{\sqrt {3}}{m}=14{\sqrt {3}}{m}.$

Razionalizzazione del denominatore di una frazione

In alcune situazioni è utile trasformare una frazione che ha un radicale al denominatore in una ad essa equivalente che ha per denominatore un numero intero.

Osservazione:

Per razionalizzare il denominatore irrazionale di una frazione, si moltiplica numeratore e denominatore per il denominatore stesso.

Esempio: Razionalizzare i seguenti numeri: ${\sqrt {\dfrac {3}{5}}}$; ${\dfrac {34}{\sqrt {2}}}$; ${\dfrac {\sqrt {3}}{3\cdot {\sqrt {2}}}}.$

• ${\sqrt {\dfrac {3}{5}}}={\dfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {5}}}={\dfrac {{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}\cdot {\sqrt {5}}}}={\dfrac {\sqrt {15}}{5}}$;
• ${\dfrac {34}{\sqrt {2}}}={\dfrac {34\cdot {\sqrt {2}}}{2}}=17{\sqrt {2}}$;
• ${\dfrac {\sqrt {3}}{3\cdot {\sqrt {2}}}}={\dfrac {{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {2}}}{3\cdot 2}}={\dfrac {\sqrt {6}}{6}}$.

Espressioni con i radicali quadratici

{{Algebra1/Esempio| title=Espressioni con i radicali quadratici.|

• ${\sqrt {2+{\dfrac {1}{2}}}}\cdot {\sqrt {3-{\dfrac {1}{3}}}}+3{\sqrt {\dfrac {5}{3}}}$;

${\begin{aligned}{\sqrt {2+{\frac {1}{2}}}}\cdot {\sqrt {3-{\frac {1}{3}}}}+3{\sqrt {\frac {5}{3}}}&={\sqrt {\frac {5}{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {8}{3}}}+3{\sqrt {\frac {5}{3}}}={\sqrt {{\frac {5}{2}}\cdot {\frac {8}{3}}}}+3{\sqrt {\frac {5}{3}}}\\&={\sqrt {\frac {5\cdot 4}{3}}}+3{\sqrt {\frac {5}{3}}}={\sqrt {\frac {5\cdot 2^{2}}{3}}}+3{\sqrt {\frac {5}{3}}}\\&=2{\sqrt {\frac {5}{3}}}+3{\sqrt {\frac {5}{3}}}=5{\sqrt {\frac {5}{3}}}.\end{aligned}}$

• $\left({\sqrt {4+{\dfrac {1}{2}}}}:{\sqrt {\dfrac {36}{2}}}\right):\left(-{\dfrac {3}{8}}\right)^{2}$.

${\begin{aligned}\left({\sqrt {4+{\frac {1}{2}}}}:{\sqrt {\frac {36}{2}}}\right):\left(-{\frac {3}{8}}\right)^{2}&=\left({\sqrt {\frac {9}{2}}}:{\sqrt {\frac {36}{2}}}\right):{\frac {9}{64}}\\&={\sqrt {{\frac {9}{2}}\cdot {\frac {2}{36}}}}:{\frac {9}{64}}={\sqrt {\frac {1}{4}}}\cdot {\frac {64}{9}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {64}{9}}={\frac {32}{9}}.\end{aligned}}$

Esempio: Sommare ${\sqrt {12}}-2{\sqrt {27}}+8{\sqrt {75}}$.

Ricordiamo che possiamo sommare solo radicali con lo stesso radicando e possiamo portare fuori dalla radice i fattori che hanno esponente pari. Scomponiamo in fattori radicandi.

${\begin{aligned}{\sqrt {12}}-2{\sqrt {27}}+8{\sqrt {75}}&={\sqrt {2^{2}\cdot 3}}-2{\sqrt {3^{3}}}+8{\sqrt {5^{2}\cdot 3}}\\&=2{\sqrt {3}}-2\cdot 3{\sqrt {3}}+8\cdot 5{\sqrt {3}}\\&=2{\sqrt {3}}-6{\sqrt {3}}+40{\sqrt {3}}\\&=36{\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

Possiamo concludere questa breve rassegna sui numeri irrazionali osservando che la retta geometrica sembra avere "più punti" di quanti siano i numeri razionali; gli infiniti punti lasciati scoperti dai razionali sono immagine di numeri irrazionali. L'insieme che si ottiene dall'unione dell'insieme $\mathbb {Q}$ con l'insieme $\mathbb {J}$ degli irrazionali è l'insieme $\mathbb {R}$ dei numeri reali. La retta geometrica orientata è l'immagine di tale insieme: ogni suo punto è immagine o di un numero razionale o di un numero irrazionale.

Radicale doppio

I radicali doppi compaiono nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare 2 numeri x e y tali che:

${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

$a+{\sqrt {b}}=x+y+{\sqrt {4xy}}$

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:

$\left\{{\begin{matrix}x+y=a\\4xy=b\end{matrix}}\right.$

cioè:

$\left\{{\begin{matrix}x+y=a\\xy={\frac {b}{4}}\end{matrix}}\right.$

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

$t^{2}-at+{\frac {b}{4}}=0$

Risolvendo quest'equazione si ottiene

$t={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}$

e quindi:

$x={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}\,,\,y={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}$

Si ottiene così l'identità cercata:

${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$

Analogamente si può ottenere:

${\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}-{\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che a, b ed a² - b siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se a² - b è un quadrato perfetto. Ad esempio:

${\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}-{\sqrt {\frac {3-{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}$

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

${\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}}{2}}$

Invece il radicale doppio ${\sqrt {3+{\sqrt {2}}}}$ non si può semplificare, dal momento che 3² - 2 = 7 non è un quadrato perfetto.

Esempio "quadrato perfetto rationale" (notio: 5.5² - 10 = 4.5² et 5.5 + 4.5 = 10 et 5.5 - 4.5 = 1):

${\sqrt {5.5-{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}}}={\sqrt {{\frac {11}{2}}-{\sqrt {10}}}}={\sqrt {\frac {11-2{\sqrt {10}}}{2}}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {10}}+1}}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {({\sqrt {10}}-1)^{2}}}{\sqrt {2}}}={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {5}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}=({\frac {{\sqrt {20}}-{\sqrt {2}}}{2}})$