Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
Numeri non razionali[modifica]
Radicali quadratici[modifica]
Le condizioni di esistenza[modifica]
Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste. Per verificare le condizioni di esistenza bisogna prima guardare se l'indice del radicale è pari o dispari:
- se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
- se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi.
Per esempio sono calcolabili i seguenti radicali:
Non esistono invece numeri reali che risolvano queste espressioni:
Essi infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, i quali, sommati ai numeri reali, danno come risultato un numero appartenente all'insieme dei numeri complessi, indicato con C o .
Operazioni fondamentali[modifica]
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
- purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
- (Radicali quadratici doppi)
dove e sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che .
Per ogni numero complesso diverso da 0, ci sono diversi numeri complessi tali che , quindi il simbolo non può essere usato univocamente. Se , parliamo di radici n-esime dell'unità.
Casi particolari[modifica]
La radice -esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad , è uguale a 0; nel caso in cui però sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.
Radicale doppio[modifica]
I radicali doppi compaiono nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.
Proprietà[modifica]
Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare 2 numeri x e y tali che:
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:
Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:
cioè:
Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica
Risolvendo quest'equazione si ottiene
e quindi:
Si ottiene così l'identità cercata:
Analogamente si può ottenere:
D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che a, b ed a2 - b siano positivi).
Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se a2 - b è un quadrato perfetto. Ad esempio:
e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:
Invece il radicale doppio non si può semplificare, dal momento che 32 - 2 = 7 non è un quadrato perfetto.
Esempio "quadrato perfetto rationale" (notio: 5.52 - 10 = 4.52 et 5.5 + 4.5 = 10 et 5.5 - 4.5 = 1):
Potenze a esponente razionale[modifica]
Razionalizzazione del denominatore o del numeratore[modifica]