Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali

Matematica per le superiori

Copertina

Tutti i moduli · Sviluppo

Teoria   —   Esercizi

1. Primo anno
   • Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
   • Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
   • Insiemi numerici
     • Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
     • Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
     • Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
     • Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
     • Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
   • Algebra
     • RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
     • FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
     • Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
     • I monomiMatematica per le superiori/I monomi
     • I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
     • Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
     • Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
     • Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
     • EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
     • Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
     • Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
   • Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
     • Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
     • Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
     • Rette perpendicolari e rette parallele
     • Parallelogrammi e trapezi
2. Secondo anno
   • Algebra
     • Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
     • Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
     • RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
     • Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
     • Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
     • Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
     • Le equazioni di grado superiore al secondo
     • Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
   • Geometria
     • Isometrie
     • Circonferenza
     • Poligoni inscritti e circoscritti
     • Equivalenza dei poligoni
     • Omotetia
     • Similitudine
     • Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
     • Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
3. Terzo anno
   • Geometria analitica
     • La rettaMatematica per le superiori/La retta
     • La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
     • La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
     • L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
     • L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
     • SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
     • Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
   • Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
   • Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
   • Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
4. Quarto anno
   • TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
   • Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
   • Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
   • Statistica
5. Quinto anno
   • LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
   • Funzioni continue
   • DerivateMatematica per le superiori/Derivate
   • Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
   • Studio di funzioni →
   • IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
   • Calcolo numerico
6. Extra
   • Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
   • MatriciMatematica per le superiori/Matrici
   • Combinatoria
   • Probabilità

• Appendici
  • Tavola delle principali notazioni simboliche matematicheMatematica per le superiori/Tavola delle principali notazioni simboliche matematiche

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Le condizioni di esistenza

Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste. Per verificare le condizioni di esistenza bisogna prima guardare se l'indice del radicale è pari o dispari:

• se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
• se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi.

Per esempio sono calcolabili i seguenti radicali:

$+{\sqrt {9}}=3;\quad -{\sqrt {25}}=-5;\quad -{\sqrt[{3}]{8}}=-2;\quad -{\sqrt[{4}]{16}}=-2;\quad -{\sqrt[{3}]{27}}=-3;\quad {\sqrt {2}}=1,4142\dots$

Non esistono invece numeri reali che risolvano queste espressioni:

${\sqrt[{}]{-9}};\quad {\sqrt[{}]{-25}};\quad {\sqrt[{6}]{-8}};\quad {\sqrt[{4}]{-16}};\quad {\sqrt[{8}]{-27}}$

Essi infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, i quali, sommati ai numeri reali, danno come risultato un numero appartenente all'insieme dei numeri complessi, indicato con C o $\mathbb {C}$.

Operazioni fondamentali

Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:

• ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}$
• $({\sqrt[{n}]{a}})^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
• $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
• $a^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$
• ${\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$ (Radicali quadratici doppi)

dove $a$ e $b$ sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che $a^{2}>b$.

Per ogni numero complesso $a$ diverso da 0, ci sono $n$ diversi numeri complessi $b$ tali che $b^{n}=a$, quindi il simbolo ${\sqrt[{n}]{a}}$ non può essere usato univocamente. Se $a=1$, parliamo di radici n-esime dell'unità.

Casi particolari

La radice $n$-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad $n$, è uguale a 0; nel caso in cui però $n$ sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.

Radicale doppio

I radicali doppi compaiono nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

Proprietà

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare 2 numeri x e y tali che:

${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

$a+{\sqrt {b}}=x+y+{\sqrt {4xy}}$

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:

$\left\{{\begin{matrix}x+y=a\\4xy=b\end{matrix}}\right.$

cioè:

$\left\{{\begin{matrix}x+y=a\\xy={\frac {b}{4}}\end{matrix}}\right.$

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

$t^{2}-at+{\frac {b}{4}}=0$

Risolvendo quest'equazione si ottiene

$t={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}$

e quindi:

$x={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}\,,\,y={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}$

Si ottiene così l'identità cercata:

${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$

Analogamente si può ottenere:

${\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}-{\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che a, b ed a² - b siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se a² - b è un quadrato perfetto. Ad esempio:

${\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}-{\sqrt {\frac {3-{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}$

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

${\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}}{2}}$

Invece il radicale doppio ${\sqrt {3+{\sqrt {2}}}}$ non si può semplificare, dal momento che 3² - 2 = 7 non è un quadrato perfetto.

Esempio "quadrato perfetto rationale" (notio: 5.5² - 10 = 4.5² et 5.5 + 4.5 = 10 et 5.5 - 4.5 = 1):

${\sqrt {5.5-{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}}}={\sqrt {{\frac {11}{2}}-{\sqrt {10}}}}={\sqrt {\frac {11-2{\sqrt {10}}}{2}}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {10}}+1}}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {({\sqrt {10}}-1)^{2}}}{\sqrt {2}}}={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {5}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}=({\frac {{\sqrt {20}}-{\sqrt {2}}}{2}})$

Razionalizzazione del denominatore o del numeratore

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