Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali

Le condizioni di esistenza

Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste. Per verificare le condizioni di esistenza bisogna prima guardare se l'indice del radicale è pari o dispari:

• se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
• se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi.

Per esempio sono calcolabili i seguenti radicali:

$+{\sqrt {9}}=3;\quad -{\sqrt {25}}=-5;\quad -{\sqrt[{3}]{8}}=-2;\quad -{\sqrt[{4}]{16}}=-2;\quad -{\sqrt[{3}]{27}}=-3;\quad {\sqrt {2}}=1,4142\dots$

Non esistono invece numeri reali che risolvano queste espressioni:

${\sqrt[{}]{-9}};\quad {\sqrt[{}]{-25}};\quad {\sqrt[{6}]{-8}};\quad {\sqrt[{4}]{-16}};\quad {\sqrt[{8}]{-27}}$

Essi infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, i quali, sommati ai numeri reali, danno come risultato un numero appartenente all'insieme dei numeri complessi, indicato con C o $\mathbb {C}$.

Operazioni fondamentali

Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:

• ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}$
• $({\sqrt[{n}]{a}})^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
• $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
• $a^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$
• ${\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$ (Radicali quadratici doppi)

dove $a$ e $b$ sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che $a^{2}>b$.

Per ogni numero complesso $a$ diverso da 0, ci sono $n$ diversi numeri complessi $b$ tali che $b^{n}=a$, quindi il simbolo ${\sqrt[{n}]{a}}$ non può essere usato univocamente. Se $a=1$, parliamo di radici n-esime dell'unità.

Casi particolari

La radice $n$-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad $n$, è uguale a 0; nel caso in cui però $n$ sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.

Radicale doppio

I radicali doppi compaiono nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

Proprietà

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare 2 numeri x e y tali che:

${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

$a+{\sqrt {b}}=x+y+{\sqrt {4xy}}$

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:

$\left\{{\begin{matrix}x+y=a\\4xy=b\end{matrix}}\right.$

cioè:

$\left\{{\begin{matrix}x+y=a\\xy={\frac {b}{4}}\end{matrix}}\right.$

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

$t^{2}-at+{\frac {b}{4}}=0$

Risolvendo quest'equazione si ottiene

$t={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}$

e quindi:

$x={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}\,,\,y={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}$

Si ottiene così l'identità cercata:

${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$

Analogamente si può ottenere:

${\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}-{\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che a, b ed a² - b siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se a² - b è un quadrato perfetto. Ad esempio:

${\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}-{\sqrt {\frac {3-{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}$

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

${\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}}{2}}$

Invece il radicale doppio ${\sqrt {3+{\sqrt {2}}}}$ non si può semplificare, dal momento che 3² - 2 = 7 non è un quadrato perfetto.

Esempio "quadrato perfetto rationale" (notio: 5.5² - 10 = 4.5² et 5.5 + 4.5 = 10 et 5.5 - 4.5 = 1):

${\sqrt {5.5-{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}}}={\sqrt {{\frac {11}{2}}-{\sqrt {10}}}}={\sqrt {\frac {11-2{\sqrt {10}}}{2}}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {10}}+1}}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {({\sqrt {10}}-1)^{2}}}{\sqrt {2}}}={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {5}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}=({\frac {{\sqrt {20}}-{\sqrt {2}}}{2}})$

Razionalizzazione del denominatore o del numeratore

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