Matematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo

Sistemi di 2° grado

I sistemi di 2° grado sono composti da una equazione di 2° grado e da una di 1° grado (N.B. il grado di un sistema è il PRODOTTO dei gradi di ogni equazione che compone il sistema)

Risoluzione

È consigliabile risolvere questi sistemi con il METODO DI SOSTITUZIONE (N.B. in casi particolari anche con la RIDUZIONE o CONFRONTO): si ricava un'incognita dall'equazione di 1° grado e si sostituisce in quella di 2° grado. Si ottiene un'equazione, detta EQUAZIONE RISOLVENTE IL SISTEMA.

A seconda del Δ si possono presentare tre possibili casi:

• $\mathrm{\Delta }>0$ (delta positivo) L'equazione risolvente il sistema ha due soluzioni reali distinte. Ciascuno dei due valori va sostituito nel sistema e si ottengono così due coppie ordinate distinte di soluzioni.
• $\mathrm{\Delta }=0$ (delta uguale a zero) L'equazione risolvente ha due soluzioni reali coincidenti, anche il sistema quindi risulta avere due coppie ordinate di valori coincidenti.
• $\mathrm{\Delta }<0$ (delta negativo) L'equazione risolvente non ha soluzioni reali, quindi il sistema è impossibile.

Un esempio di esercizio

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& y-2x=0\\ & 2x^2-y^2+3x=3(y-9)\\ \end{array}\end{array}$ ⇒ $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& y=2x\\ & 2x^2-(2x{)}^2+3x=3(2x-9)\\ \end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& y=2x\\ & 2x^2-4x^2+3x=6x-27\\ \end{array}\end{array}$ ⇒ $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& y=2x\\ & -2x^2+3x=6x-27\\ \end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& y=2x\\ & -2x^2-3x+27=0\\ \end{array}\end{array}$ ⇒ $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& y=2x\\ & 2x^2+3x-27=0\\ \end{array}\end{array}$

Si risolve l'equazione di 2° grado (Questa equazione è definita come "EQUAZIONE ASSOCIATA AL SISTEMA").
$2x^2+3x-27=0$

$\mathrm{\Delta }=3^2-4(2)(-27)=9+216=225$

$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{225}}{2(2)}$

da cui si deduce che le soluzioni sono: $x_1=3o{x}_2=-\frac{9}{2}$

    \end{align}
 \end{matrix}\right.

</math> ∨ $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& x=-\frac{9}{2}\\ & y=-9\\ \end{array}\end{array}$