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Il grado è la 360ª parte dell'angolo giro e a sua volta viene diviso in 60 parti, formando un primo che a sua volta può ulteriormente venire diviso in altre 60 parti, formando il secondo.
Ad esempio, con 43°15'22" indichiamo un angolo di 43 gradi, 15 primi e 22 secondi.
Consideriamo un angolo α l'arco sotteso corrispondente sulla circonferenza. L'angolo misura un radiante se la lunghezza di quest'arco è uguale al raggio.
Se ad esempio consideriamo un angolo arbitrario β e r il raggio, abbiamo la proporzione
ne deriva che
semplificando il tutto considerando la circonferenza goniometrica con r=1
Si riportano qui alcuni valori in radianti dei corrispondenti gradi sessagesimali.
Gradi |
0 |
18 |
30 |
45 |
60 |
90 |
135 |
150 |
180 |
270 |
360
|
Radianti |
0 |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52fc11d8c9888e924b8e6ae934e13f90831b2ec4) |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da430867901fd359c000b52f2bd70b36cf5e2182) |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f89d7c88c1c93dce69a46052a8e276e231063de) |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c83c684a603005cda4feb8eea0254143ffb0e16) |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) |
![{\displaystyle {\frac {3}{4}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5edfd3356b4c30b6ad09dd9b886cead851563e7) |
![{\displaystyle {\frac {5}{6}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4786d51cda622ceb2b24a66f2cda0ffd173f724e) |
![{\displaystyle \pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a) |
![{\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fe218b9a7bd778bc894d3b52c3803e7296d353) |
|
Per definire le funzioni goniometriche, consideriamo il seguente grafico, rappresentate una circonferenza goniometrica, cioè una circonferenza di equazione x2+y2=1, vale a dire una circonferenza avente raggio pari a 1.
anche se ovviamente valgono anche per qualsiasi valore del raggio.
Osservando il triangolo rettangolo POP', il coseno di un generico angolo
è dato dal rapporto tra il lato OP' e il raggio (nel nostro esempio 1).
nel caso della circonferenza goniometrica,
.
La funzione coseno è di tipo sinusoidale, cioè che si ripete ciclicamente. Il coseno inizia con valore 1 per l'angolo giro (o nullo), diminuendo progressivamente fino ad essere 0 quando l'angolo è 90º. Superato l'angolo retto diventa negativo assumendo -1, il suo massimo valore negativo a 180º. Superati i tali risale e diventa 0 a 270º per poi ritornare 1 raggiunti i 360º.
Considerando lo stesso triangolo, il seno dell'angolo
è dato dal rapporto fra il segmento PP' e il raggio;
nel caso della circonferenza goniometrica di raggio=1,
La funzione seno è di tipo sinusoidale. Il seno inizia con valore 0 per l'angolo giro (o nullo), aumentando progressivamente fino ad essere 1 quando l'angolo è 90º. Superato l'angolo retto si avvia a ritornare nullo, assumento nuovamente il valore 0 a 180º. Superati i tali diventa negativo e raggiunge -1 a 270º, tornando poi 0 a 360º.
La tangente di un angolo è definita come il rapporto tra il seno ed il coseno del medesimo angolo, quindi
Possiamo dare anche un'interpretazione geometrica alla funzione tangente. Consideriamo infatti il grafico di una retta
L'equazione di questa retta è, come ben noto,
, dove m è il coefficiente angolare. In realtà la tangente è uguale al coefficiente angolare.
Infatti, se
, allora abbiamo che
e quindi, per la definizione data all'inizio di tangente,
.
Osservando la circonferenza goniometrica, la tangente è il segmento AT. La tangente non può esistere quando
dal momento che la retta tangente e il raggio vettore sono paralleli e non hanno quindi punti in comune.
La cotangente, come dice la seconda relazione fondamentale, è invece il reciproco della tangente:
Da ciò deriva che la cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo e nel grafico della circonferenza goniometrica è rappresentato dal segmento BC
Il campo di esistenza della cotangente invece è
A differenza del seno e del coseno, il grafico delle funzioni tangente e cotangente non formano una sinusoide, ma una tangentoide, pur essendo anch'esse cicliche. Il motivo di questa differenza risiede nel fatto che in alcuni punti la tangente non è definita, e più precisamente nei punti 90º e 270º, dove la funzione assume valori infinitamente grandi.
Il medesimo discorso vale anche per la cotangente, dove assume valore infinito nei punti 0 e 180º.
Per comodità, si riportano i valori delle funzioni goniometriche in alcuni angoli notevoli.
Gradi |
Radianti |
seno |
coseno |
tangente |
cotangente
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
15º |
![{\displaystyle {\frac {1}{12}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95e699c8c45b8e6213efe10c13513ab532fbd48) |
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c627f0ebe511a980e4f73e69210a111a36bda0) |
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b490d0765455c4d35af5b84445852edea3f2a0) |
![{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3c5bc3d7b3e1148963e3279582cc8f07a4b789) |
|
18º |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52fc11d8c9888e924b8e6ae934e13f90831b2ec4) |
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ea89b3e5e635411b248c5dff65bf41db3b1280) |
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146b4054b8aa9a3555f66bc7f66904172960a5bf) |
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8cffa4644316ccf7913bb42ca3a074104758e0) |
|
30º |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da430867901fd359c000b52f2bd70b36cf5e2182) |
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55) |
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4864a0c173339d1d88e89ca3c943f016744c879a) |
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d772a07a833dc01b7dec1aaea164b6accc2b68e) |
|
45º |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f89d7c88c1c93dce69a46052a8e276e231063de) |
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb9b5960bf5eae3065db9c23495e465f5fef61e) |
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb9b5960bf5eae3065db9c23495e465f5fef61e) |
1 |
1
|
60º |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c83c684a603005cda4feb8eea0254143ffb0e16) |
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4864a0c173339d1d88e89ca3c943f016744c879a) |
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55) |
![{\displaystyle {\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b19c09494138b5082459afac7f9a8d99c546fcd) |
|
75º |
![{\displaystyle {\frac {5}{12}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297c15bebe3c321c02678068e0f0e8e37d412672) |
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b490d0765455c4d35af5b84445852edea3f2a0) |
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c627f0ebe511a980e4f73e69210a111a36bda0) |
![{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442e3ac1b93fc34af6ec2955a62d030e4f818df5) |
|
90º |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) |
1 |
0 |
![{\displaystyle \varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00595c5e33692e724937fdcc8870496acce1ac74) |
0
|
Con l'uso di questi valori e con le formule che vedremo in seguito, è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.
Abbiamo già visto che il seno ed il coseno assumono valori da -1 a 1 ciclicamente (ovviamente sempre nel caso della circonferenza goniometrica di raggio 1).
In questa sezione vediamo come il seno ed il coseno si ripetono e si scambiano al variare dell'angolo e dei quadranti, rendendo quindi così possibile ridurre tutti i valori delle due funzioni al primo quadrante.
Consideriamo l'angolo
e l'angolo
;
I due triangoli OHP e OH'P' sono uguali (essendo gli angoli uguali) e uguali sono i loro lati, ovvero seno e coseno. Allora:
Consideriamo ora l'angolo
e l'angolo
;
Anche in questo caso i triangoli sono uguali (OHP e OH'P' hanno il medesimo angolo
), e osservando la figura si deduce che
Se invece consideriamo l'angolo
, otteniamo un angolo che differisce di un angolo retto da
e la relazione tra seno e coseno è identica a quella di
e
.
Sono due modi di vedere lo stesso angolo, come ad esempio, possiamo vedere un angolo di 110º sia come 180º-70º sia come 90º+20º.
Consideriamo l'angolo
e
;
Anche in questo caso i triangoli sono uguali e osservando la figura si deduce che
Possiamo anche vedere la situazione come angoli che differiscono di un angolo piatto, ed in tal caso considerare
e
e arrivare ai precedenti risultati nel medesimo modo, ossia osservando il grafico.
Consideriamo la differenza tra l'angolo giro e un angolo
, ossia
;
Al solito, anche questi triangoli sono uguali e possiamo notare che
Anche qui possiamo vedere le cose in modo diverso, ossia sommando un angolo
a 270°, facendo però attenzione perché il risultato è diverso.
Infatti, osservando il grafico
abbiamo che
Infine consideriamo due angoli opposti
e
, ovvero l'angolo
;
Ovviamente i trinagoli sono uguali e abbiamo che:
Osserviamo la figura, dove vengono rappresentati un angolo
,
e la loro differenza
:
Con le funzioni goniometriche abbiamo che
e per rendersene conto è sufficiente un semplice esempio:
il cui seno vale
.
È ovvio che
perché i rispettivi risultati sono
e 1.
Per avere il coseno e il seno dell'angolo
, è necessario utilizzare delle formule fondamentali da ricordare.
Queste formule permettono di ottenere il seno e il coseno di una somma algebrica di due angoli tramite il seno e il coseno dei singoli addendi.
Non mi metto a scrivere tutti i calcoli che bisogna fare per arrivare a queste formule (potete ad esempio trovarli nella pagina http://ripmat.it/mate/i/ic/icaaa.html), mi limito a scrivere le formule cosicché puoi memorizzarle e consultarle velocemente.
Riguardo tangente e cotangente:
Sono formule che derivano dalle formule precedenti, ponendo
.
Il motivo di queste formule deriva dal fatto che in generale:
ecc...
Valgono allora le seguenti formule che permettono di ottenere il seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo doppio rispetto a quello dato.
Le formule di bisezione consentono di ottenere il seno, coseno, tangente e cotangente della metà di un generico angolo
, avendo il coseno di
.
Le formule di prostaferesi permettono di trasformare una somma o sottrazione di seni, coseni, ecc... in un prodotto.
Queste formule sono un po' l'inverso delle formule di prostaferesi, ovvero le formule di Werner consentono di trasformare il prodotto di due seni, coseni o un prodotto di seno per un coseno, nelle rispettive somme o differenze.
Le formule parametriche consentono di ricavare seno, coseno e cotangente mediante la tangente dell'angolo metà.
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