Matematica per le superiori/La parabola

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Teoria   —   Esercizi


  1. Primo anno
  2. Secondo anno
  3. Terzo anno
  4. Quarto anno
  5. Quinto anno
  6. Extra

La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuoco ed una retta detta direttrice.

Equazione generica[modifica]

Una parabola con vertice nell'origine ha equazione:

  • Il valore di a nella rappresentazione grafica corrisponde all'ampiezza della parabola: più a è grande più stretta sarà la parabola, più è piccolo più la parabola sarà aperta e somigliante ad una retta orizzontale (infatti con a=0 si ottiene y=0, l'asse delle x). Quando a è positivo il vertice è il punto più basso della parabola, quando è negativo il più alto.

Per spostare il vertice dall'origine si può immaginare una traslazione, ottenendo l'equazione generica esplicita della parabola:

Spesso tuttavia l'equazione si trova in forma implicita (con i calcoli sviluppati):



in cui

  • c rappresenta l'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate (infatti quando x=0 y=c).

È comunque possibile ricostruire le coordinate del vertice anche a partire dalla forma implicita:


Per trovare il fuoco e la direttrice si utilizzano invece le seguenti formule:

Rette tangenti alla parabola[modifica]

Una tangente è una retta che incrocia la curva in un punto solo. La si può trovare partendo da un punto della retta esterno o appartenente alla parabola (da un punto interno non possono passare tangenti).

  • Punto esterno, due tangenti: l'unico metodo per trovare le tangenti che passano per un punto esterno alla parabola è mettere a sistema la parabola ed il fascio per P imponendo che il delta sia ugualea 0 (un'unica soluzione comune alle due equazioni, che nel grafico corrisponde ad una sola intersezione tra le due funzioni)
  • Punto appartenente alla parabola: per trovare le rette tangenti in un punto appartenente alla parabola si può usare una formula apposita, ricavata in questo modo:

(sistema tra una parabola generica ed una retta generica)

(L'equazione ha due soluzioni coincidenti con )

In questo modo si ottiene il coefficiente angolare della retta tangente; per trovare il valore di q sarà sufficiente sostituire le coordinate del punto di tangenza nell'equazione generica e ricavare q ().

Parabole con asse di simmetria parallelo all'asse x[modifica]

Le parabole con asse orizzontale hanno:

  • Equazione generica o . a rappresenta sempre l'apertura e l'orientamento, c l'intersezione con l'asse delle ascisse.

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