Matematica per le superiori/Equazioni

Si dice equazione l'uguaglianza tra due espressioni che contengono almeno un'incognita.

Le soluzioni di un'equazione sono quei valori che, sostituiti alle incognite, rendono vera l'uguaglianza.

Un'equazione che non ha soluzioni si dice impossibile.

Se qualunque valore è una soluzione l'equazione si dice indeterminata.

Se ha un limitato insieme di soluzioni si dice determinata.

Due equazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti.

Principi di equivalenza delle equazioni

Per risolvere le equazioni esistono due principi di equivalenza, chiamati rispettivamente primo e secondo principio di equivalenze delle equazioni.

Primo principio di equivalenza:

Definizione

Data un'equazione, aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero od una stessa espressione algebrica si ottiene un'equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un'espressione dipendente da un'incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza.

$x+2=3$ è equivalente a $x+2-2=3-2$, quindi $x=1$ Come conseguenze del primo principio di equivalenza ci sono la regola del trasporto e la regola si cancellazione.

Regola del trasporto

Data un'equazione, trasportando un termine da un membro all'altro e cambiandolo di segno si ottiene un'equazione equivalente.

$ax+b=0$ è equivalente a $ax=-b$

Regola di cancellazione

Data un'equazione, termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere cancellati, ottenendo un'equazione equivalente.

$x+2=2$, se trasportiamo '2' nel secondo membro, otteniamo $x=0$

Secondo principio di equivalenza

Definizione

Data un'equazione, moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero diverso da zero, o per un'espressione contenente l'incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell'incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un'equazione equivalente.

$3x=6$, se dividiamo entrambi i membri per '3' otteniamo come soluzione $x=2$ Conseguenze dirette del secondo principio di equivalenza sono la regola di divisione per un fattore comune diverso da zero e la regola del cambiamento di segno.

Regola del cambiamento di segno

Data un'equazione, cambiando segno a tutti i termini di entrambi i membri si ottiene un'equazione equivalente.

$-x=-2$, moltiplicando entrambi i membri per '-1', si ottiene $x=2$, equivalente all'equazione data.

Equazioni di primo grado numeriche intere

Risolvere un'equazione significa determinare l'insieme delle sue soluzioni. L'insieme viene indicato con S; ovviamente x ∈ R.

Possiamo avere più casi:

• L'insieme delle soluzioni è vuoto; S = ∅; in questo caso l'equazione si dice impossibile.
• L'insieme delle soluzioni contiene un numero finito di elementi; in questo caso l'equazione si dice determinata.
• L'insieme delle soluzioni contiene infiniti elementi; in questo caso l'equazione si dice indeterminata.

Sia da risolvere questa equazione: $-6x+2=10-10x$

otteniamo: $-6x+10x=10-2$

Quindi: $4x=8$ ⇒ $x=2$

La soluzione è $x=2$

Equazioni di primo grado numeriche fratte

Le equazioni di primo grado numeriche fratte hanno l'incognita al denominatore e si risolvono in cinque semplici passi:

1. Scomporre i denominatori in fattori irriducibili;
2. Trovare il denominatore comune (m.c.m);
3. Determinare la condizione di esistenza (C.E).(Poiché l'incognita compare a denominatore è necessario escludere i valori dell'incognita che annullano i denominatori. Per gli altri valori di $x\,$ non vi sono problemi nell'applicazione dei principi di equivalenza);
4. Eliminare i denominatori e risolvere l'equazione intera;
5. Confrontare il risultato ottenuto con le condizioni di esistenza (C.E).

Facciamo un esempio

${\frac {2x-6}{x^{2}-2x-15}}-{\frac {2}{x-5}}={\frac {1}{x+3}}$

A questo punto occorre imporre i denominatori diversi da 0.
Scriveremo: C.E.: x^2 - 2x - 15 ≠ 0 ∧ x - 5 ≠ 0 ∧ x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5 ∧ x ≠ -3.
(il primo lo fattorizziamo e diventa: $x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)$, che è contenuta nelle altre due disuguaglianze.)

Ora basta togliere i denominatori dall'equazione con il secondo principio di equivalenza:

${\frac {2x-6}{(x-5)(x+3)}}-{\frac {2(x+3)}{(x-5)(x+3)}}={\frac {1(x-5)}{(x-5)(x+3)}}$

$(2x-6)-2(x+3)=1(x-5)$

$2x-6-2x-6=x-5$

Adesso si risolve come una normale equazione:

$x=7$

La soluzione trovata è accettabile, in quanto diversa da 5 e -3.

Equazioni di primo grado letterali intere

Vediamo adesso alcune equazioni contenenti parametri, ossia lettere.

$2x+2a=ax+6$

Basterà mettere in evidenza la $x$ e poi discutere su alcune cose che ora andremo a vedere. La nostra equazione ridotta in Forma Canonica (FC) è:

$x(2-a)=6-2a$ (se vogliamo fattorizzare anche il secondo membro otteniamo: $x(2-a)=2(3-a)$)

Adesso dobbiamo discutere quando 2 - a è uguale a 0, poiché in quel caso non sarebbe possibile applicare il secondo principio di equivalenza.

Quindi questa è la discussione da fare:

• Se 2 - a = 0 ⇒ a = 2, non posso applicare il secondo principio di equivalenza, e l'equazione diventa: $0x=2$ ⇒ equazione impossibile.

• Se 2 - a ≠ 0 ⇒ a ≠ 2, posso applicare il secondo principio di equivalenza e l'equazione diventa:

${\frac {x(2-a)}{2-a}}={\frac {2(3-a)}{2-a}}$;
Ottenendo come soluzione $x={\frac {2(3-a)}{2-a}}$

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Sia da risolvere l'equazione $(2a+3)x+{\frac {3x}{a-1}}=a$, che è INTERA, perché l'incognita non si trova al denominatore.

Ora facciamo il campo di esistenza; C.E.: a - 1 ≠ 0 ⇒ a ≠ 1
Adesso moltiplichiamo per a - 1 entrambi i membri e risolviamo l'equazione così ottenuta:

$(2a+3)(a-1)x+3x=a(a-1)$
$2a^{2}x+ax-3x+3x=a^{2}-a$

Eseguendo tutti i calcoli otteniamo:

$a(2a+1)x=a(a-1)$

Adesso facciamo la discussione come nell'equazione precedente:

• Se a = 1, l'equazione perde di significato (vedi C.E.)

• Se a = 0, non posso applicare il secondo principio di equivalenza e l'equazione diventa: $0x=0$ ⇒ equazione indeterminata.

• Se a = $-{\frac {1}{2}}$, non posso applicare il secondo principio di equivalenza e l'equazione diventa: $0x={\frac {3}{4}}$ ⇒ equazione impossibile.ù

• Se a ≠ 1 ∧ a ≠ 0 ∧ a ≠ $-{\frac {1}{2}}$, posso applicare il secondo principio di equivalenza e l'equazione diventa:

$x(2a+1)=a-1$;
Ottenendo come soluzione $x={\frac {a-1}{2a+1}}$