Matematica per le superiori/Scomposizione di polinomi

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Teoria   —   Esercizi


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Quando si affrontano le operazioni tra frazioni algebriche è necessario lavorare con minimi comuni multipli, per cui è indispensabile avere una tecnica per scomporre dei denominatori formati da polinomi esattamente come si scompongono i denominatori numerici in prodotti.

Ci sono varie tecniche di scomposizione in fattori di polinomi.

Raccoglimento totale[modifica]

Per usare questo metodo bisogna verificare, innanzitutto, che ci siano 4 fattori con un divisore uguale a tutti e 4.

Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, vale la seguente uguaglianza:

Per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza vale anche:

È possibile usare quindi l'inversa della proprietà distributiva per scomporre in fattori un polinomio. Scomponiamo ad esempio questo polinomio:

Mettiamo in evidenza, in ogni monomio il fattore massimo comun divisore:

Poi lo raccogliamo usando la proprietà inversa della distributiva:

Raccoglimento parziale[modifica]

Consideriamo il polinomio:

per usare questo metodo devono esserci 4 o piu fattori per eseguirlo. Si raggruppano 2 a 2 i monomi e si trascrive quello più piccolo. Nella prima parententesi si raggruppa la parte uguale, nella seconda quello fuori dalle parentesi.

in questo caso non è possibile individuare un elemento comune a tutti i monomi appartenenti al polinomio, tuttavia è possibile ottenere comunque un prodotto tra polinomi utilizzando una tecnica di raccoglimento che si sviluppa in due momenti diversi:

Prima su porzioni del polinomio:

Poi su tutto il polinomio:


Differenza di due quadrati[modifica]

Consideriamo questo polinomio:

In questo caso notiamo che ogni monomio è un quadrato perfetto. Riscriviamo dunque il polinomio in un'altra forma:

Notiamo quindi che questo polinomio non è altro che il prodotto notevole della differenza di due quadrati.

Facciamo un altro esempio:

Quadrato di un binomio[modifica]

Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di 2 termini, aumenta (o diminuita) del loro prodotto è uguale al quadrato della somma (o differenza) dei 2 termini Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

Consideriamo questo trinomio:

poiché si possono individuare i quadrati di due monomi e il loro doppio prodotto:

il trinomio di partenza è equivalente a:

Cubo di un binomio[modifica]

Questo metodo viene utilizzato quando ci sono 4 fattori, i quali devono esserci 2 quadrati pefetti. Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

Consideriamo questo quadrinomio:

poiché si possono individuare i due cubi e i due tripli prodotti:


il quadrinomio di partenza è equivalente a:

Analogamente:

Scomposizione di trinomi di secondo grado[modifica]

Se il trinomio è in questa forma:

se cioè il coefficiente del termine di 2° grado è uno, in alcuni casi il trinomio è facilmente scomponibile.

Bisogna cercare due numeri che moltiplicati diano come risultato e sommati diano . Se riusciamo a trovarli, chiamando e questi due numeri, il trinomio si può scomporre nel seguente prodotto:

Ad esempio:

dato che e si ottiene:

Somma o differenza di due cubi[modifica]

Come svolgerlo: prima parentesi: - somma/differenza delle basi; seconda parentesi: -quadrato della prima base -prodotto delle basi (ricorda di cambiare segno) -quadrato della seconda base.

Consideriamo un polinomio formato dalla somma di due cubi:

è scomponible in:

Infatti:

Facciamo un esempio:

In modo simile si ottiene:

Lasciamo ai lettori volenterosi la semplice dimostrazione.

Collegamenti esterni[modifica]