Matematica per le superiori/Numeri reali

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.
Jump to navigation Jump to search
Teoria   —   Esercizi


  1. Primo anno
  2. Secondo anno
  3. Terzo anno
  4. Quarto anno
  5. Quinto anno
  6. Extra

I numeri reali[modifica]

I numeri reali possono essere positivi,negativi o nulli;e possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta,detta numerica o reale. I numeri reali non formano un insieme numerabile,infatti non esiste una corrispondenza biunivoca fra i numeri reali e numeri naturali.

Rappresentazione e uso dei numeri reali[modifica]

i numeri naturali possono rappresentare qualsiasi grandezza fisica.gran parte dei numeri reali è usata quotidianamente per esempio in economia,informatica,matematica,fisica o ingegneria.

Metrica e topologia[modifica]

i numeri reali formano uno spazio metrico la distanza tra x e y è definita come valore assoluto.R risulta essere uno spazio metrico completo,la metrica appena definita induce su R una struttura di spazio topologico.

Struttura lineare[modifica]

i numeri reali sono il prototipo di spazio vettoriale reale di dimensione uno: la moltiplicazione per uno scalare non è altro che la moltiplicazione usuale. La struttura lineare è compatibile con la topologia sopra descritta, dunque R è uno spazio vettoriale topologico.

Misura[modifica]

I numeri reali sono dotati di una misura canonica, la misura di Lebesgue. La misura dell'intervallo (a, b) si definisce come b − a. Qualsiasi sottoinsieme numerabile (come ad esempio quello dei numeri razionali), ha misura nulla. Esistono anche sottoinsiemi di misura nulla non numerabili, come l'insieme di Cantor.

Algebra[modifica]

ogni numero reale negativo,a differenza di un numero reale positivo,non possiede una sua radice quadrata in R.Questo mostra che l'ordinamento in R è determinato dalla sua struttura algebrica. Ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice. Esistono comunque polinomi senza radici reali, e questo fa di R un campo non algebricamente chiuso. La chiusura algebrica di R (ovvero il più piccolo campo algebricamente chiuso che lo contiene) è il campo dei numeri complessi. Generalizzazioni ed estensioni [modifica] I numeri reali possono essere generalizzati ed estesi in numerose direzioni. Forse l'estensione più naturale è quella dei numeri complessi. I numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso, che perde (rispetto ai reali) la struttura di ordinamento (i numeri complessi non sono un campo ordinato).

Valore assoluto di un numero reale[modifica]

Valore assoluto di un numero reale Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero reale non negativo, che indichiamo con |a|. |a| = a se a >= 0, |a| = a se a < 0.