Matematica per le superiori/Numeri reali

I numeri reali

I numeri reali possono essere positivi,negativi o nulli;e possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta,detta numerica o reale. I numeri reali non formano un insieme numerabile,infatti non esiste una corrispondenza biunivoca fra i numeri reali e numeri naturali.

Rappresentazione e uso dei numeri reali

i numeri naturali possono rappresentare qualsiasi grandezza fisica.gran parte dei numeri reali è usata quotidianamente per esempio in economia,informatica,matematica,fisica o ingegneria.

Metrica e topologia

i numeri reali formano uno spazio metrico la distanza tra x e y è definita come valore assoluto.R risulta essere uno spazio metrico completo,la metrica appena definita induce su R una struttura di spazio topologico.

Struttura lineare

i numeri reali sono il prototipo di spazio vettoriale reale di dimensione uno: la moltiplicazione per uno scalare non è altro che la moltiplicazione usuale. La struttura lineare è compatibile con la topologia sopra descritta, dunque R è uno spazio vettoriale topologico.

Misura

I numeri reali sono dotati di una misura canonica, la misura di Lebesgue. La misura dell'intervallo (a, b) si definisce come b − a. Qualsiasi sottoinsieme numerabile (come ad esempio quello dei numeri razionali), ha misura nulla. Esistono anche sottoinsiemi di misura nulla non numerabili, come l'insieme di Cantor.

Algebra

ogni numero reale negativo,a differenza di un numero reale positivo,non possiede una sua radice quadrata in R.Questo mostra che l'ordinamento in R è determinato dalla sua struttura algebrica. Ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice. Esistono comunque polinomi senza radici reali, e questo fa di R un campo non algebricamente chiuso. La chiusura algebrica di R (ovvero il più piccolo campo algebricamente chiuso che lo contiene) è il campo dei numeri complessi. Generalizzazioni ed estensioni [modifica] I numeri reali possono essere generalizzati ed estesi in numerose direzioni. Forse l'estensione più naturale è quella dei numeri complessi. I numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso, che perde (rispetto ai reali) la struttura di ordinamento (i numeri complessi non sono un campo ordinato).

Valore assoluto di un numero reale

Valore assoluto di un numero reale Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero reale non negativo, che indichiamo con |a|. |a| = a se a >= 0, |a| = -a se a < 0.