Matematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado è una disequazione ad una incognita che presenta l'incognita con esponente pari a due, ed eventualmente anche a uno. Ogni disequazione di secondo grado si può scrivere nella forma:

$ax^{2}+bx+c>0$

Risoluzione algebrica

Partendo dalla nostra disequazione:

$ax^{2}+bx+c>0$

poniamo una limitazione non restrittiva $a>0\,$ (se $a<0$ basta moltiplicare entrambi i membri per -1)

Raccogliamo $a$:

$a\left(x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}\right)>0$

$a\left(x^{2}+{b \over a}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{c \over a}\right)>0$

$a\left[\left({x+{\frac {b}{2a}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right]>0$

$a\left({x+{\frac {b}{2a}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}>0$

$b^{2}-4ac$ è la discriminante dell'equazione $ax^{2}+bx+c=0$, quindi scriviamo:

$a\left({x+{\frac {b}{2a}}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a}}>0$

A questo punto abbiamo tre casi, a seconda del valore della discriminante:

• $\Delta <0\,$

${x+{\frac {b}{2a}}}^{2}$ è una quantità sempre positiva e $-{\frac {\Delta }{4a}}$ è sempre positivo (sappiamo infatti che a è positivo e che il discriminante è negativo). Dunque la disequazione è verificata per ogni valore di x.

• $\Delta =0\,$

$-{\frac {\Delta }{4a}}$ è uguale a zero, quindi possiamo scrivere: ${x+{\frac {b}{2a}}}^{2}>0$. Questo valore è sempre positivo o nullo, quindi l'equazione è verificata per ogni valore della x tranne che per $x=-{\frac {b}{2a}}$, che invece rende il primo membro uguale a zero.

• $\Delta >0\,$

In questo caso significa che l'equazione $ax^{2}+bx+c=0$ ha due soluzioni e il trinomio $ax^{2}+bx+c$ è quindi scomponibile in $a(x-x_{1})(x-x_{2})$; la nostra disequazione diventa quindi:

$a(x-x_{1})(x-x_{2})>0$

Abbiamo posto a maggiore di zero, quindi:

$(x-x_{1})(x-x_{2})>0$

Scriviamo il quadro dei segni:

$f_{1}>0x>x_{1}$

$f_{2}>0x>x_{2}$

		$x_{1}\,$		$x_{2}\,$
$f_{1}\,$	–		+		+
$f_{2}\,$	–		–		+
$f_{1}\cdot f_{2}\,$	+		–		+

A noi interessano i valori positivi, dunque la soluzione sarà:

$x<x_{1}\lor x>x_{2}$

Se consideriamo invece la disequazione:

$ax^{2}+bx+c<0$

i nostri risultati saranno invece:

• $\Delta <0\,$

La disequazione non è verificata per alcun valore di x

• $\Delta =0\,$

La disequazione non è soddisfatta per nessun valore di x

• $\Delta >0\,$

Il procedimento è lo stesso che per il segno >, ma alla fine dobbiamo considerare i valori negativi anziché quelli positivi, quindi:

$x_{1}<x<x_{2}\,$

(x è compreso tra le due soluzioni).

Se anziché essere $>\,$ o $<\,$ il nostro segno fosse $\geq$ o $\leq$ dovremmo aggiungere alle nostre soluzioni i valori che rendono il trinomio nullo: