Matematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado

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Teoria   —   Esercizi


  1. Primo anno
  2. Secondo anno
  3. Terzo anno
  4. Quarto anno
  5. Quinto anno
  6. Extra

Una disequazione di secondo grado è una disequazione ad una incognita che presenta l'incognita con esponente pari a due, ed eventualmente anche a uno. Ogni disequazione di secondo grado si può scrivere nella forma:

Risoluzione algebrica[modifica]

Partendo dalla nostra disequazione:

poniamo una limitazione non restrittiva (se basta moltiplicare entrambi i membri per -1)

Raccogliamo :

è la discriminante dell'equazione , quindi scriviamo:

A questo punto abbiamo tre casi, a seconda del valore della discriminante:

è una quantità sempre positiva e è sempre positivo (sappiamo infatti che a è positivo e che il discriminante è negativo). Dunque la disequazione è verificata per ogni valore di x.
è uguale a zero, quindi possiamo scrivere: . Questo valore è sempre positivo o nullo, quindi l'equazione è verificata per ogni valore della x tranne che per , che invece rende il primo membro uguale a zero.
In questo caso significa che l'equazione ha due soluzioni e il trinomio è quindi scomponibile in ; la nostra disequazione diventa quindi:
Abbiamo posto a maggiore di zero, quindi:
Scriviamo il quadro dei segni:
+ +
+
+ +
A noi interessano i valori positivi, dunque la soluzione sarà:

Se consideriamo invece la disequazione:

i nostri risultati saranno invece:

La disequazione non è verificata per alcun valore di x
La disequazione non è soddisfatta per nessun valore di x
Il procedimento è lo stesso che per il segno >, ma alla fine dobbiamo considerare i valori negativi anziché quelli positivi, quindi:
(x è compreso tra le due soluzioni).

Se anziché essere o il nostro segno fosse o dovremmo aggiungere alle nostre soluzioni i valori che rendono il trinomio nullo: