Matematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi

Cos'è un insieme

Un qualsiasi raggruppamento, raccolta o collezione di oggetti prende il nome di insieme, e gli oggetti si dicono elementi dell'insieme.
Un insieme può essere finito, quando è possibile elencare tutti i suoi elementi; un insieme è infinito, invece, quando non è possibile elencarli tutti.
Un insieme può anche essere vuoto, se non ha elementi. Un insieme vuoto si rappresenta con uno dei seguenti simboli:

Ø oppure { }

Due insiemi sono uguali quando hanno gli stessi elementi, nello stesso numero.

Rappresentazione di un insieme

Un insieme si può rappresentare in diversi modi, ma i metodi principali di rappresentazione sono: la rappresentazione tabulare, o per elencazione; la rappresentazione mediante proprietà caratteristica; i diagrammi di Eulero-Venn.

Rappresentazione tabulare o per elencazione

In questo tipo di rappresentazione, bisogna elencare tutti gli elementi dell'insieme, separandoli con una virgola, e racchiudendoli fra una coppia di parentesi graffe, ad esempio:

• A = {cane, gatto, volpe, lupo}
• B = {1, 2, 4, 6, 8, 10 }

Rappresentazione mediante proprietà caratteristica

In questo tipo di rappresentazione, bisogna individuare innanzitutto una proprietà che caratterizza gli elementi del nostro insieme, e che prende il nome di caratteristica dell'insieme, poi si sceglie un nome generico per gli elementi del nostro insieme, di solito una lettera minuscola dell'alfabeto, e si scrivono entrambe le cose in una coppia di parentesi graffe, separate da una barra verticale, ad esempio:

• A = {x | x è una razza di cane}

x è il nome generico dato agli elementi dell'insieme, e la frase x è una razza di cane esprime la nostra proprietà caratteristica. Il tutto si legge "x tale che x è una razza di cane"

Spesso, si ricorre all'utilizzo anche di un insieme ambiente, e sarebbe l'insieme dal quale andiamo a prendere gli elementi che costituiranno il nostro insieme. Esso si indica nella prima parte della rappresentazione, prima della barra verticale, ad esempio:

• A = {x ∈ C | x è un pitbull}

L'insieme C in questo caso sarebbe:

C = {x | x è una razza di cane}

Diagrammi di Eulero-Venn

Questo tipo di rappresentazione, consiste nel racchiudere gli elementi del nostro insieme in una linea chiusa non intrecciata, indicando all'esterno di essa il nome del nostro insieme, ad esempio:

Diagramma di Eulero-Venn

Predicati e operazioni con gli insiemi

Un predicato è una frase che esprime una proprietà caratteristica che soddisfano alcuni elementi di un insieme, o tutti. Esso si indica di solito con una lettera minuscola dell'alfabeto, ad esempio p.

La negazione e l'insieme complementare

Dato un predicato p in un insieme U, la negazione di p si indica in uno dei seguenti modi:

Negazione di un predicato

e si legge non p.
Inoltre, se A è il sottoinsieme di U individuato dal predicato p eB il sottoinsieme di U individuato dal predicato ¬p, si dice che B sia l'insieme complementare di A rispetto ad U. In simboli:

Insieme complementare

Negli ultimi due casi non si hanno dubbi su quale sia l'insieme U.

Elementi di teoria degli insiemi

Simbolo Significato

N Insieme dei numeri naturali

Z Insieme dei numeri interi

Q Insieme dei numeri razionali

R Campo dei numeri reali

C Campo dei numeri complessi

∪ unione degli elementi di un insieme A e quelli di un insieme B

∩ (intersezione) indica gli elementi comuni in due o più insiemi

⊂ (inclusione propria) gli elementi del primo insieme sono presenti anche nel secondo

⊆ (inclusione impropria) gli stessi elementi sono presenti in entrambi gli insiemi e questi possono essere uguali

∈ indica che l'elemento appartiene ad un determinato insieme

∉ indica che l'elemento non appartiene ad un determinato insieme

∅ indica che l'insieme è vuoto, privo di qualsiasi elemento

∃ indica l' esistenza di un determinato insieme o elemento

∀ indica che l'operazione verra svolta su tutti gli elementi dell' insieme