Matematica per le superiori/L'ellisse

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione generica

Fig. 1

L'equazione generica dell'ellisse può essere dedotta dal suo significato geometrico:
$PF_{1}=a-(-c)=a+c$
$PF_{1}={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
$PF_{2}=a-(c)=a-c$
$PF_{2}={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$
$PF_{1}+PF_{2}=a+c+a-c=2a$

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a$
${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
$(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x+c)^{2}+y^{2}-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
$x^{2}+c^{2}-2cx=4a^{2}+x^{2}+c^{2}+2cx-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
$-4cx-4a^{2}=-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
$-cx-a^{2}=-a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
$c^{2}x^{2}+a^{4}+2a^{2}cx=a^{2}((x+c)^{2}+y^{2})$
$c^{2}x^{2}+a^{4}+2a^{2}cx=+a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+2a^{2}cx+a^{2}y^{2}$
$c^{2}x^{2}+a^{4}=a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}$
$x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2}$
$x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$
Ponendo:

$b^{2}=a^{2}-c^{2}$

si ha: $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$

${\frac {b^{2}x^{2}}{a^{2}b^{2}}}+{\frac {a^{2}y^{2}}{a^{2}b^{2}}}={\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}}}$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

È quindi possibile operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:

${\frac {(x-x_{c})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{c})^{2}}{b^{2}}}=1$

Fig. 2

• Nel grafico il valore di a corrisponde a metà dell'estensione orizzontale dell'ellisse, mentre il valore di b a metà di quella verticale.
• c può essere ricavato dall'equazione $se(a>b)allora:c^{2}=a^{2}-b^{2}quindi:c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$.

$se(a<b)allora:c^{2}=b^{2}-a^{2}quindi:c={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}$.

• Un altro valore chiamato eccentricità indica quanto l'ellisse è allungata.

Se i fuochi sono sull'asse x allora $e={\frac {c}{a}}$.

Se invece i fuochi sono sull'asse y allora $e={\frac {c}{b}}$.

Completamento del quadrato

A volte capita che l'equazione si trovi espressa in forma implicita, come nel caso seguente:
$x^{2}-2xx_{c}+y^{2}-2yy_{c}=0$
Bisogna allora ricostruire i quadrati aggiungendo i termini mancanti:
$x^{2}-2xx_{c}+x_{c}^{2}+y^{2}-2yy_{c}+y_{c}^{2}=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}$
Occorre prestare attenzione a portare fuori dalle parentesi eventuali coefficienti di x e y, che determinano il valore di a e b, e quindi dividere il tutto per il valore a destra.

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