Matematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado

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Teoria   —   Esercizi


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Si dicono equazioni polinomiali di secondo grado ad una incognita quelle riconducibili alla forma

Queste possono essere di tre tipi:

  • pure (quando , quindi del tipo )
  • spurie (quando , quindi del tipo )
  • complete ()

Equazioni di secondo grado pure[modifica]

Si dicono pure le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

, dove quindi scompare il termine di primo grado (quando cioè si ha che ).

Risoluzione delle equazioni di secondo grado pure[modifica]

L'equazione diventa quindi: .

Abbiamo due casi:

  • a e c sono discordi (hanno segno diversi)
  • a e c sono concordi (hanno lo stesso segno)

Se a e c sono discordi, allora la soluzione sarà quel numero il cui quadrato è uguale a , quindi .

Se e sono concordi invece si ha che è un numero positivo e quindi il suo opposto, , è negativo. Si ottiene quindi: <numero_negativo>, ma questa equazione non ha soluzione (in ) perché non esiste nessun numero reale che elevato alla seconda dia come risultato un numero negativo. Quindi se è positivo, l'equazione ha due soluzioni opposte, se è negativo non ha soluzioni nel campo reale.

Esempi[modifica]

Equazioni di secondo grado spurie[modifica]

Si dicono spurie le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

Risoluzione delle equazioni di secondo grado spurie[modifica]

L'equazione si può ricondurre alla forma .

Per la legge di annullamento del prodotto,

Le soluzioni sono quindi e

Esempio[modifica]

e

Equazioni di secondo grado complete[modifica]

Si dicono complete le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete[modifica]

Partiamo dall'equazione ridotta alla forma canonica:

con e

Moltiplichiamo entrambi i membri per :

Aggiungiamo quindi a entrambi i membri, dopo aver spostato il termine noto:

Il primo membro è quindi scomponibile come quadrato di un binomio:

Il secondo membro di questa equazione è chiamato discriminante, in quanto discrimina, differenza il procedimento di calcolo della soluzione. È indicato con la lettera greca (delta maiuscola). Analizziamo i tre casi:

L'equazione non ha soluzioni in , in quanto la quantità è sempre positiva o nulla, essendo elevata al quadrato.
In questo caso risolviamo normalmente l'equazione:
L'equazione ha quindi due soluzioni, una e una .
L'equazione diventa quindi , cioè ; quindi, per la legge dell'annullamento del prodotto, .

Esempio[modifica]

Calcoliamo il discriminante:

A questo punto risolviamo, con :

Relazione tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado[modifica]

Sussistono particolari relazioni tra le due soluzioni di un'equazione:


Applicazioni[modifica]

Prendiamo ora un'equazione di secondo grado completa ridotta a forma normale:

Dividiamo entrambi i membri per a:

Possiamo sostituire quindi e :

Cioè:

Questo può essere utile ad esempio se si vuole trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro prodotto:

Si procede quindi come una normale equazione di secondo grado completa.

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