Matematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado

Si dicono equazioni polinomiali di secondo grado ad una incognita quelle riconducibili alla forma

$ax^{2}+bx+c=0\,$

Queste possono essere di tre tipi:

• pure (quando $b=0$, quindi del tipo $ax^{2}+c=0\,$)
• spurie (quando $c=0$, quindi del tipo $ax^{2}+bx=0\,$)
• complete ($ax^{2}+bx+c=0\,$)

Equazioni di secondo grado pure

Si dicono pure le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

$ax^{2}+c=0\,$, dove quindi scompare il termine di primo grado $bx\,$ (quando cioè si ha che $b=0\,$).

Risoluzione delle equazioni di secondo grado pure

L'equazione diventa quindi: $x^{2}=-{c \over a}$.

Abbiamo due casi:

• a e c sono discordi (hanno segno diversi)
• a e c sono concordi (hanno lo stesso segno)

Se a e c sono discordi, allora la soluzione sarà quel numero il cui quadrato è uguale a $-{c \over a}$, quindi $x_{1,2}=\mp {\sqrt {-{c \over a}}}$.

Se $a\,$ e $c\,$ sono concordi invece si ha che ${c \over a}$ è un numero positivo e quindi il suo opposto, $-{c \over a}$, è negativo. Si ottiene quindi: $x^{2}=\,$<numero_negativo>, ma questa equazione non ha soluzione (in $\mathbb {R}$) perché non esiste nessun numero reale che elevato alla seconda dia come risultato un numero negativo. Quindi se $-{c \over a}$ è positivo, l'equazione ha due soluzioni opposte, se è negativo non ha soluzioni nel campo reale.

Esempi

$2x^{2}-5=0\,$

$x_{1,2}=\pm {\sqrt {5 \over 2}}$

$4x^{2}-3=0\,$

$x_{1,2}=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Equazioni di secondo grado spurie

Si dicono spurie le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma $ax^{2}+bx=0\,$

Risoluzione delle equazioni di secondo grado spurie

L'equazione si può ricondurre alla forma $x(ax+b)=0\,$.

Per la legge di annullamento del prodotto,

$x=0\vee ax+b=0$

$x=0\vee ax=-b$

$x=0\vee x=-{b \over a}$

Le soluzioni sono quindi $x_{1}=0\,$ e $x_{2}=-{b \over a}$

Esempio

$3x^{2}+8x=0\,$

$x_{1}=0\,$ e $x_{2}=-{8 \over 3}$

Equazioni di secondo grado complete

Si dicono complete le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

$ax^{2}+bx+c=0\,$

Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete

Partiamo dall'equazione ridotta alla forma canonica:

$ax^{2}+bx+c=0\,$ con $a,b,c\in \mathbb {R}$ e $a\not =0,b\not =0,c\not =0$

Moltiplichiamo entrambi i membri per $4a\,$:

$4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,$

Aggiungiamo quindi $b^{2}\,$ a entrambi i membri, dopo aver spostato il termine noto:

$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,$

Il primo membro è quindi scomponibile come quadrato di un binomio:

$(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,$

Il secondo membro di questa equazione è chiamato discriminante, in quanto discrimina, differenza il procedimento di calcolo della soluzione. È indicato con la lettera greca $\Delta$ (delta maiuscola). Analizziamo i tre casi:

• $\Delta <0$

L'equazione non ha soluzioni in $\mathbb {R}$, in quanto la quantità $(2ax+b)^{2}$ è sempre positiva o nulla, essendo elevata al quadrato.

• $\Delta >0$

In questo caso risolviamo normalmente l'equazione:

$(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,$

$2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}$

$2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

L'equazione ha quindi due soluzioni, una ${\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ e una ${\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

• $\Delta =0$

L'equazione diventa quindi $(2ax+b)^{2}=0\,$, cioè $(2ax+b)(2ax+b)=0\,$; quindi, per la legge dell'annullamento del prodotto, $x_{1,2}=-{b \over 2a}$.

Esempio

$x^{2}+3x-10=0\,$

Calcoliamo il discriminante:

$\Delta =3^{2}-(-40)=9+40=49\,$

A questo punto risolviamo, con $\Delta >0$:

$x_{1,2}={\frac {-3\pm {\sqrt {49}}}{2}}$

$x_{1}={\frac {-3+7}{2}}={\frac {4}{2}}=2$

$x_{2}={\frac {-3-7}{2}}={\frac {-10}{2}}=-5$

Relazione tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado

Sussistono particolari relazioni tra le due soluzioni di un'equazione:

$x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$

$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {(-b)^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac}})^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$

Applicazioni

Prendiamo ora un'equazione di secondo grado completa ridotta a forma normale:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

Dividiamo entrambi i membri per a:

${\frac {a}{a}}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

Possiamo sostituire quindi $-{\frac {b}{a}}$ e ${\frac {c}{a}}$:

$x^{2}-\left(-{\frac {b}{a}}x\right)+{\frac {c}{a}}=0$

Cioè: $x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+(x_{1}\cdot x_{2})=0$

Questo può essere utile ad esempio se si vuole trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro prodotto: $s=5\,$

$p=6\,$

$x^{2}-sx+p=0\,$

$\Delta =s^{2}-4p\,$

Si procede quindi come una normale equazione di secondo grado completa.

Torna al sommario