Matematica per le superiori/Le equazioni irrazionali

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Teoria   —   Esercizi


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  6. Extra

Per equazioni irrazionali si intendono quelle equazioni in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. La forma più semplice è:

Risoluzione[modifica]

Nel caso n sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:

ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.

La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui n è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: se consideriamo ad esempio l'equazione , la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo , che ha invece infinite soluzioni.

Consideriamo ad esempio questa equazione:

Elevando entrambi i membri alla seconda per eliminare il radicale otteniamo:

Per verificare i risultati ottenuti utilizziamo la sostituzione:


L'unica soluzione accettabile è quindi

Condizioni di concordanza[modifica]

Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso:

con n pari

dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi ). Se il risultato di è un numero positivo o nullo, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche .

Tornando al nostro esempio

Le condizioni da porre saranno le seguenti:

Dovendo considerare entrambe le condizioni contemporaneamente la nostra condizione sarà: .

Svolgiamo ora l'equazione e otteniamo i due risultati:

Possiamo ora dire in base alle nostre condizioni, senza effettuare le sostituzioni, che l'unica soluzione accettabile è in quanto 3 è minore di 5.

Altri casi[modifica]

Il metodo delle condizioni è più veloce e più pulito, ma, con gli strumenti a nostra disposizione, non può essere sempre applicabile in modo corretto. Esamineremo pertanto di seguito i casi risolvibili tramite le condizioni che siamo in grado di risolvere.

Quando in una equazione compaiono più di una radice, la cosa più conveniente è riuscire ad ottenere solo somme e non differenze in modo che, una volta poste le condizioni di esistenza, si possa essere sicuri anche della concordanza del segno:

In questo caso potrei dopo aver posto delle condizioni di esistenza non potrei più ragionare sulla concordanza del segno, in quanto la differenza di quantità positive o nulle (cioè ) non si può sapere se sia positiva o nulla.

Portiamo quindi i membri dalle parti opportune in modo da ottenere solo delle somme:

Ora poniamo le condizioni di esistenza delle radici:

quindi

Ora passiamo ai segni: sappiamo che è sempre positivo o nullo così come lo è e a sua volta dunque sarà positivo.

Eleviamo entrambi i membri al quadrato:

Siamo quindi ricaduti in un caso precedente. Poniamo di nuovo la condizione che è ancora e procediamo:

che è la nostra soluzione.

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