Matematica per le superiori/Le equazioni irrazionali

Per equazioni irrazionali si intendono quelle equazioni in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. La forma più semplice è:

${\sqrt[{n}]{A(x)}}=B(x)\,$

Risoluzione

Nel caso n sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:

$A(x)=\left[B(x)\right]^{n}\,$

ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.

La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui n è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: se consideriamo ad esempio l'equazione $x=-x\,$, la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo $x^{2}=x^{2}\,$, che ha invece infinite soluzioni.

Consideriamo ad esempio questa equazione:

${\sqrt {x+1}}=x-5\,$

Elevando entrambi i membri alla seconda per eliminare il radicale otteniamo:

$x+1=x^{2}-10x+25\,$

$x^{2}-11x+24=0\,$

$\Delta =11^{2}-24\cdot 4=25\,$

$x={\frac {11\pm 5}{2}}\,$

$x_{1}=8;x_{2}=3\,$

Per verificare i risultati ottenuti utilizziamo la sostituzione:

$x=8\,$

${\sqrt {8+1}}=8-5\,$

$3=3\,$

$x=3\,$

${\sqrt {3+1}}=3-5\,$

$2=-2\,$

L'unica soluzione accettabile è quindi $x=8$

Condizioni di concordanza

Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso:

${\sqrt[{n}]{A(x)}}=B(x)\,$ con n pari

dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi $A(x)\geq 0\,$). Se il risultato di ${\sqrt[{n}]{A(x)}}$ è un numero positivo o nullo, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche $B(x)\geq 0\,$.

Tornando al nostro esempio

${\sqrt {x+1}}=x-5\,$

Le condizioni da porre saranno le seguenti:

$x+1\geq 0\rightarrow x\geq -1\,$

$x-5\geq 0\rightarrow x\geq 5\,$

Dovendo considerare entrambe le condizioni contemporaneamente la nostra condizione sarà: $x\geq 5\,$.

Svolgiamo ora l'equazione e otteniamo i due risultati:

$x_{1}=8;x_{2}=3\,$

Possiamo ora dire in base alle nostre condizioni, senza effettuare le sostituzioni, che l'unica soluzione accettabile è $x=8$ in quanto 3 è minore di 5.

Altri casi

Il metodo delle condizioni è più veloce e più pulito, ma, con gli strumenti a nostra disposizione, non può essere sempre applicabile in modo corretto. Esamineremo pertanto di seguito i casi risolvibili tramite le condizioni che siamo in grado di risolvere.

Quando in una equazione compaiono più di una radice, la cosa più conveniente è riuscire ad ottenere solo somme e non differenze in modo che, una volta poste le condizioni di esistenza, si possa essere sicuri anche della concordanza del segno:

${\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x+6}}=-1\,$

In questo caso potrei dopo aver posto delle condizioni di esistenza non potrei più ragionare sulla concordanza del segno, in quanto la differenza di quantità positive o nulle (cioè ${\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x+6}}$) non si può sapere se sia positiva o nulla.

Portiamo quindi i membri dalle parti opportune in modo da ottenere solo delle somme:

${\sqrt {x+1}}+1={\sqrt {x+6}}\,$

Ora poniamo le condizioni di esistenza delle radici:

$x+1\geq 0\rightarrow x\geq -1\,$

$x+6\geq 0\rightarrow x\geq -6\,$

quindi $x\geq -1$

Ora passiamo ai segni: sappiamo che ${\sqrt {x+6}}$ è sempre positivo o nullo così come lo è ${\sqrt {x+1}}$ e a sua volta dunque ${\sqrt {x+1}}+1$ sarà positivo.

Eleviamo entrambi i membri al quadrato:

$({\sqrt {x+1}}+1)^{2}={\sqrt {x+6}}^{2}\,$

$x+1+2{\sqrt {x+1}}+1=x+6\,$

$2{\sqrt {x+1}}=x+6-x-2\,$

$2{\sqrt {x+1}}=4\,$

${\sqrt {x+1}}=2\,$

Siamo quindi ricaduti in un caso precedente. Poniamo di nuovo la condizione che è ancora $x\geq -1$ e procediamo:

$x+1=4\,$

$x=3\,$

che è la nostra soluzione.

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