Matematica per le superiori/Numeri razionali

A cosa servono

In matematica, un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0.
Ed è possibile effettuare le operazioni fondamentali dell'aritmetica (somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione). Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione $a/b$, di cui a è detto il numeratore e b il denominatore. Sono ad esempio numeri razionali i seguenti:

$4,-30,{\frac {4}{5}}...$

Definizione

Una frazione è un oggetto matematico che indica un quoziente di due numeri interi. I due numeri interi vengono separati da un trattino, detto linea di frazione, che può essere orizzontale,oppure diagonale, come in 3⁄4. Nell'esempio delle fette di torta di cui sopra, nella rappresentazione numerica come 1⁄4 il numero in basso, detto denominatore, indica il numero totale di parti uguali che compone la torta intera, e il numero in alto, il numeratore, è il numero di parti che è stato preso. I due termini hanno un'origine dal latino. Numeratore ha la stessa radice di enumerare, vale a dire "contare"; quindi indica quante parti frazionali per così dire "minimali" abbiamo nella frazione. Denominatore deriva ovviamente da denominare, cioè dare un nome; il nome è quello del tipo di parti che sono state fatte (metà, terzi, quarti...). Il denominatore deve essere sempre diverso da zero: non è infatti possibile effettuare una divisione per zero.

Tipi particolari di frazioni

Una frazione può essere:

ridotta ai minimi termini – o irriducibile – se il numeratore e il denominatore sono numeri primi fra loro (cioè il loro M.C.D. è 1); propria se il numeratore è minore del denominatore; impropria se il numeratore è maggiore del denominatore; apparente se il numeratore è multiplo o uguale al denominatore; unitaria se ha numeratore 1; decimale se il denominatore è una potenza di 10; diadica se il denominatore è una potenza di due. Inoltre una frazione egizia è la scrittura di un numero razionale come somma di frazioni unitarie.

Numeri razionali e addizione

Definizione

I numeri razionali formano un campo indicato con il simbolo $\mathbb {Q}$, che sta per quoziente.

Per eseguire la somma di due o più frazioni aventi lo stesso denominatore si sommano i numeratori e si mantiene lo stesso denominatore.

Data l' addizione: ${3 \over 4}+{5 \over 4}$ si può scriver la somma ${\frac {3+5}{4}}$ $=$ ${8 \over 4}$ $=$ $2$

Per eseguire la somma di due o più frazioni aventi denominatore diverso si riducono a frazioni equivalenti con la stessa unità frazionaria e poi eseguire l'addizione sommando i numeratori e mantenendo lo stesso denominatore.

Data l' addizione: ${3 \over 4}+{5 \over 7}$ si può scriver la somma ${\frac {3\cdot 7+5\cdot 4}{4\cdot 7}}$ $=$ ${\frac {21+20}{28}}$ $=$ ${41 \over 28}$

Gli elementi neutri per la somma ed il prodotto sono rispettivamente 0 ed 1. La caratteristica del campo è 0.

Numeri razionali e moltiplicazione

Definizione

Un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione a/b, di cui "a" è detto il numeratore e "b" il denominatore. Quindi si chiama numero razionale l’insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione.Per indicare un numero razionale si utilizza una frazione ridotta ai minimi termini. L’insieme dei numeri razionali si indica con il simbolo Q.

REGOLA: Per calcolare il prodotto di due o più frazioni, si procede così: A. si riducono ai minimi termini quei fattori che eventualmente non lo siano; B. si determina il segno del prodotto ricordando la regola dei segni: se il numero dei fattori negativi è pari il prodotto è positivo, se tale numero è dispari il prodotto è negativo; la frazione prodotto ha per segno il segno così determinato, per numeratore il prodotto dei numeratori dei fattori e per denominatore il prodotto dei loro denominatori; C. se possibile, si semplifica il risultato riducendolo ai minimi termini.

E' possibile, in molti casi, eseguire le semplificazioni in croce prima di calcolare il prodotto dei numeratori e quello dei denominatori. In tal modo e` possibile ottenere il risultato già ridotto ai minimi termini.

Proprietà

La moltiplicazione, che indichiamo con il simbolo "." oppure "x", è un’operazione che si esegue tra due numeri, detti fattori. Il risultato della moltiplicazione si chiama prodotto.

DEFINIZIONE DI PRODOTTO DI FRAZIONI: Il prodotto di due frazioni è la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. ESEMPIO:

m\n . p/q= m.p

          n.q

Il segno del prodotto è determinato dalla consueta regola dei segni. La moltiplicazione nell’insieme dei numeri razionali consente di alcune proprietà:

1. Proprietà commutativa: a . b = b . a

2. Proprietà associativa: a . b . c = ( a . b) . c = a . ( b. c )

3.Proprietà distributiva rispetto all’addizione o alla sottrazione: a . ( b +/- c)= a . b +/- a . b

ELEMENTO NEUTRO: a . 1= 1 . a= a ELEMENTO ANNULLATORE: a . 0= 0 . a= 0 LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO: se a . b=0 allora a=0 oppure b=0 o anche a . b=0

Numeri razionali e divisione

Definizione

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione per l'inverso della seconda frazione. La divisione è la proprietà inversa della moltiplicazione. Dato che nell'insieme dei numeri razionali esiste sempre l'inverso di una frazione rispetto alla moltiplicazione,esclusa la frazione "zero",si può sempre eseguire la divisione di due qualsiasi frazioni.

Esempio:

${\frac {2}{3}}:{\frac {7}{4}}$

il reciproco di

${\frac {7}{4}}$ è ${\frac {4}{7}}$ pertanto

${\frac {2}{3}}:{\frac {7}{4}}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{7}}={\frac {8}{21}}$

Numeri razionali e potenza

Definizione

Si dice POTENZA di un numero, il prodotto di più fattori ugualia quel numero. Dati due numeri naturali 'a' e 'b', con 'b'>1 il primo detto BASE, il secondo ESPONENTE, la POTENZA di 'a' con esponente 'b' è il numero 'p' che si ottiene moltiplicando fra loro 'b' fattori uguali ad 'a'. Si scrive: a^b =p e si legge "a elevato a b è uguale a p" esempio: 2³=2x2x2=8

Esistono poi casi particolari che completano la definizione:

1) a¹=a

2) a⁰=1, se a è diverso da 0

3) 0⁰ non ha significato

Come per ogni numero, anche per le frazioni, la potenza di una frazione non è altro che un prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quante volte è il valore dell'esponente, pertanto si trova elevando il numeratore e il denominatore della frazione all'esponente della potenza.

$\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}$ = ${\frac {2}{3}}$ × ${\frac {2}{3}}$ × ${\frac {2}{3}}$ = ${\frac {8}{27}}$

Potenza con esponente uguale a 0

La definizione di potenza si estende anche al caso in cui l'esponente è zero. Dividendo due potenze con la stessa base e con lo stesso esponente, si ha 1. D'altra parte, applicando le proprietà delle potenze, possiamo concludere che per ogni frazione o numero razionale a​, diverso da zero, a elevato alla 0 = 1. Non è invece possibile la potenza 0 elevato allo 0.

Proprietà

1) aⁿxa^m=a^n+m

il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

esempio: 2⁵x2⁶=2⁵⁺⁶=2¹¹

2) aⁿ:a^m=a^n-m

il quoziente di due potenze con la stessa base (la prima con esponente maggiore o uguale all'esponente della seconda) è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

esempio: 4⁵:4³=4^5-3=4²

3) (aⁿ)^m=a^nxm

la potenza di una potenza è uguale a una potenza che ha la base della prima potenza e per esponente il prodotto degli esponenti.

esempio: (6²)⁵=6^2x5=6¹⁰

4) (axb)ⁿ=aⁿxbⁿ

la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori.

esempio: (2x5)⁸=2⁸x5⁸

5) (a:b)ⁿ=a^n:bn

la potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenza dei singoli fattori.

esempio: (4:2)⁸=4⁸:2⁸

La definizione di potenza si può estendere anche al caso in cui l'esponente sia uguale a un numero intero negativo:

$a^{-n}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{n}={\frac {1}{a^{n}}}$

La potenza di un numero diverso da zero elevato a un esponente intero negativo è uguale a una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente l'opposto dell'esponente. Non è definita invece la potenza con esponente negativo di 0, il numero 0 infatti non ha il reciproco.

Notazione scientifica

La notazione scientifica è un modo conciso di esprimere i numeri razionali utilizzando le potenze intere di dieci, ed è usata, in particolare, per numeri molto grandi o molto piccoli.

Un numero α è scritto in notazione scientifica se si presenta nella forma:

$\alpha =k\cdot 10^{n}$

dove $1\leq k<10$

e $n$ è un numero intero.

$3.500.000.000=3,5\cdot 10^{9}$

Percentuale

La percentuale è uno strumento matematico che descrive la grandezza di una quantità rispetto ad un'altra.
il suo simbolo è %.
Esempi:
- il 15% di 40 è dato dal prodotto di 0.15 (cioè 15/100) che moltiplica 40, quindi 6.
- lo 0.2% di 7 è dato da 0.002 (0.2/100) che moltiplica 7, quindi 0.014.

Problemi con le frazioni

Possiamo riconoscere alcuni tipi di problemi con le frazioni:

• L'operatore diretto

Es. bisogna calcolare i 2/3 di 18 unità.
L'intero è conosciuto (18u), si chiede una sua frazione: 18 : 3 = 6u che rappresentano il valore di 1/3 ,
6u * 2 = 12u che rappresentano i 2/3 cercati.

• L'operatore inverso

Es. i 3/4 di un percorso equivalgono a 27 km, quanto è lungo il percorso?
L'intero è sconosciuto, ma so che sotto forma di frazione è 4/4,
ne conosco una sua frazione (3/4) :
27 : 3 = 9 km che rappresentano il valore 1/4
9 km * 4 = 36 km, che rappresentano 4/4, cioè l'intero sconosciuto (intero percorso).

• Concetto di rapporto

Es. Di un rettangolo so che la somma della base e dell’altezza è di 25 cm.
La base è 2/3 dell’altezza. Quanto misura la base? Quanto l’altezza?
DATI b + h = 25cm
b = 2/3 di h
RICHIESTE
b = ?
h = ?

E' presente il rapporto che tra la base e l’altezza è di 2:3 quindi :
3 + 2 = 5
Le 5 parti misurano 25 cm (somma base + altezza)
Così i 25 cm si dividono per 5 parti
25 : 5 = 5 cm è la misura di ciascuna parte
5 * 3 = 15 cm = h perché l'h è costituita da 3 parti
5 * 2 = 10 cm = b perché la base è costituita da 2 parti