Matematica per le superiori/Numeri naturali

I numeri naturali sono alla base dell'aritmetica, tutti gli altri numeri si possono costruire a partire da questi. Chiederci cosa sono i numeri naturali non è una domanda da poco, è domandarsi che cosa sono quegli oggetti su cui poggia una gran parte della matematica.

Per definire i numeri naturali dobbiamo partire da alcuni concetti primitivi. I concetti primitivi sono dei concetti che decidiamo di non definire e che siamo tutti d'accordo di ritenere conosciuti.

I concetti primitivi per definire i numeri naturali sono:

• lo zero.
• il successore di un numero.

Lo zero è il numero che serve per contare gli elementi di un insieme con il minore numero di elementi possibile: l'insieme vuoto.

Il successore di un numero naturale n è quel numero che viene subito dopo n.

Quindi se siamo d'accordo su questi due concetti di base, possiamo definire i numeri naturali nel seguente modo:

L'insieme dei numeri naturali è un insieme che:

1. Contiene lo zero.
2. Per ogni numero che contiene, contiene anche il suo successore.
3. Numeri diversi hanno successori diversi.
4. Lo zero non è successore di nessun numero dell'insieme.
5. Se una proprietà vale per lo zero e, valendo per un numero qualsiasi, vale anche per il suo successore allora vale per ogni numero naturale.

In pratica i numeri naturali sono la sequenza:

 zero, uno, due, tre, ... centoventitré, centoventiquattro, ...

Un modo comodo per esprimere qualunque numero naturale è usare dei segni appositi, le cifre, e un sistema per rappresentarli:

 0, 1, 2, 3, ... 123, 124, ...

L'origine dei numeri

L'origine del sistema dei numeri naturali è ancora incerta, non abbiamo documenti sufficienti per capire come l'uomo li abbia costruiti o scoperti; è possibile, però, che il nostro sistema di numerazione sia nato contemporaneamente al linguaggio stesso della specie umana.

Prime testimonianze

Le prime testimonianze dell'uso di una tecnica per rappresentare quantità risalgono a circa 40.000 anni fa: si tratta di un osso, la tibia di un giovane lupo,con cinquantacinque tacche, trovato nel 1937 a Vestonice, nella repubblica Ceca. Le cinquantacinque tacche sono disposte a gruppi di cinque. Le prime venticinque sono seguite da un'intaccatura lunga il doppio delle altre. Sebbene gli esperti non siano d'accordo sullo scopo delle tacche, senza dubbio in questo reperto è presente una rappresentazione simbolica di qualche oggetto.

Risale poi al 35.000 a.C. una piccola sezione di fibula di babbuino con 29 tacche ben visibili, scoperta durante alcuni scavi in una grotta con reperti del periodo Paleolitico che si trova sui Monti Lebombo, in Africa meridionale al confine con lo Swaziland. Certamente l'osso di Lebombo assomiglia ai bastoni da calcolo ancora oggi usati come calendari dai Boscimani della Namibia.

Os d'Ishango IRSNB

Anche gli scavi archeologici a Ishango, situato presso il lago Edoardo, ai confini fra Uganda e Zaire, hanno portato alla luce l'impugnatura di un attrezzo in osso che riporta delle tacche disposte in modo tale da farci pensare che rappresentino nei numeri o dei calcoli. L'osso di Ishango risale al Paleolitico superiore, e precisamente tra il 20.000 a.C e il 18.000 a.C.

L'origine dei numeri naturali sembra dunque essere dovuta alla necessità di assegnare ad un insieme di oggetti un simbolo che ne definisca la quantità; non si contano del resto i ritrovamenti di tacche sulle pareti rocciose di grotte preistoriche a lato di profili di animali: gli uomini, fin dall'immemorabile, inventarono i primi rudimenti della contabilità. I numeri, il loro nome, il loro uso sono però assai più recenti, legati forse alle origini della scrittura o di poco anteriori e quindi collocati tra il VI e il IV millennio a.C.

Rappresentazione dei numeri sulla retta

La retta dei numeri è la rappresentazione grafica dei numeri naturali. Ponendo il valore zero come punto di partenza, partendo da destra ci sono i numeri cosiddetti positivi. Per definizione, il limite destro della retta sarà rispettivamente più infinito (con il simbolo + $\infty$ )

Numeri naturali e addizione

Definizione

L'addizione è un'operazione aritmetica mediante cui si sommano di due o più numeri, detti addendi. L’addizione gode di alcune proprietà: 1) commutativa; 2) associativa; 3) esistenza dell'elemento neutro.

Proprietà

Proprietà Commutativa:

La somma di un'addizione non cambia se si muta l'ordine degli addendi.

Ad esempio, in un'addizione con due addendi, la somma del primo numero e del secondo numero è uguale alla somma del secondo numero con il primo. Per esempio, 2+3 e 3+2 fa sempre 5.

Proprietà Associativa:

Se si sommano 3 o più numeri e al posto di due o più addendi sostituiamo la loro somma il risultato non cambia

Per esempio,

3+2+4 è uguale 3+6=9;

2+3+4 è uguale a 2 + 7=9;

4+3+2 è uguale a 4+5=9

Elemento neutro:

0 è l’elemento neutro della addizione, perché qualsiasi numero addizionato a 0 dà sempre il numero di partenza

Per esempio: 0+n=n oppure n+0=n

Numeri naturali e sottrazione

Definizione

La sottrazione è una operazione sui numeri naturali. E' l'operazione inversa rispetto all'addizione. Il primo operando è detto minuendo, il secondo sottraendo. Il risultato è chiamato differenza e si ottiene togliendo dal minuendo il sottraendo . Il simbolo dell'operazione è il trattino meno - . La sottrazione non è un’operazione interna all'insieme N. Infatti se il minuendo è più piccolo del sottraendo, il risultato è negativo ed i numeri negativi non appartengono all'insieme N.

                                          minuendo - sottraendo = differenza

Lo zero nella sottrazione

1) E’ uguale a zero la differenza tra due numeri naturali, se il minuendo e il sottraendo sono uguali tra loro, cioè:

                                                 n-n=0

2) Lo zero lascia inalterato un numero naturale, se si trova nella posizione di sottraendo, ovvero:

                                                 n-0=n

3) Se lo zero si trova al posto del minuendo, si ha:

                                                 0-n ∉ N

Per tale ragione lo zero non è elemento neutro per la sottrazione.

Proprietà

Esiste solo una proprietà.

Proprietà Invariantiva

Sottraendo o aggiungendo ad entrambi i termini la stessa quantità, il risultato non cambia.

Esempio

Partendo dalla sottrazione:

$148-18=130$

se aggiungo 2 ad entrambi gli operandi ottengo lo stesso risultato:

$(148+2)-(18+2)=150-20=130$

se sottraggo 1 ad entrambi gli operandi ottengo ancora:

$(148-1)-(18-1)=147-17=130$

Numeri naturali e moltiplicazione

Definizione di moltiplicazione

La moltiplicazione fa parte delle operazioni. Con il termine di moltiplicazione si vuole intendere il procedimento con cui si addiziona tanti addendi uguali al primo numero, quante sono le unità del secondo numero. Esempio:

                               $3+3+3+3+3=15\;$
                                         

Alla coppia ordinata di numeri 3 e 5 la moltiplicazione associa quindi come risultato il numero 15.

L'operazione di moltiplicazione si indica con due diversi simboli:

                            $3\times 5=15,oppure,3\cdot 5=15\;$

I termini della moltiplicazione:

                                   $3\cdot 5=15\;$
                                      ↓     ↓
                                 fattori   prodotto

Se si osserva una qualsiasi tabella della moltiplicazione di numeri naturali, si nota che nessuna casella risulta vuota: ciò significa che la moltiplicazione di due numeri naturali è sempre possibile e che il risultato è ancora un numero naturale.

x	0	1	2	3	4
o	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	6	8
3	0	3	6	9	12
4	0	4	8	12	16

Per questo motivo si dice che:

• la moltiplicazione è un'operazione interna all'insieme N
• l'insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione

Se si indicano con le lettere a e b due numeri qualsiasi, questa proprietà della moltiplicazione si esprime, utilizzando il linguaggio insiemistico, con la scrittura:

                                 a,b;∈ N → axb∈N

Proprietà della moltiplicazione

La proprietà commutativa

Cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia.

Esempio:

        $a\cdot b=ab\;$
        $b\cdot a=ba=ab\;$
        
        $5\cdot 25=125\;$
        $25\cdot 5=125\;$

Proprietà associativa

Se al posto di alcuni fattori si mette il loro prodotto il risultato non cambia.

Esempio:

     $(a\cdot b)\cdot (c\cdot d)=abcd\;$
          ↓    ↓
         $ab\cdot cd=abcd\;$

      $(5\cdot 2)\cdot (3\cdot 9)=270\;$
          ↓    ↓
         $10\cdot 27=270\;$

Proprietà dissociativa

Se a uno o a più fattori se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito il prodotto non cambia.

Esempio

             $a\cdot bc=abc\;$
                   ↓
            $a\cdot b\cdot c=abc\;$

             $25\cdot 14=350\;$
                   ↓
            $25\cdot 7\cdot 2=350\;$

Proprietà distributiva

Scomponendo un fattore nella somma di più addendi si può moltiplicare l'altro fattore per ciascun termine dell'addizione (o della sottrazione) ed addizionare poi i prodotti parziali ottenuti.

Esempio

         $2a\cdot 2b=4ab\;$
         $2a\cdot (b+b)=4ab\;$
         $(2a\cdot b)+(2a\cdot b)=4ab\;$
         
         
         $6\cdot 14=84\;$
         $6\cdot (10+4)=84\;$
         $(6\cdot 10)+(6\cdot 4)=84\;$

Elemento neutro

L'elemento neutro della moltiplicazione è il numero 1 perché moltiplicando qualsiasi numero per 1 si ottiene come risultato il numero stesso.

Esempio

       $1\cdot a=a$
       $a\cdot 1=a$
        
       $16\cdot 1=16$
       $1\cdot 16=16$

Elemento assorbente

Lo zero è l'elemento assorbente della moltiplicazione perché la moltiplicazione di qualsiasi numero per zero da come risultato zero.

Esempio

       $0\cdot a=0$
       $a\cdot 0=0$
        
       $16\cdot 0=0$
       $0\cdot 16=0$

Numeri naturali e divisione

Definizione

La divisione è l'operazione aritmetica inversa della moltiplicazione. Più specificamente, se a × b = c, dove b è diverso da zero, allora a = c : b.

Ad esempio, 6 : 3 = 2 , 2 × 3 = 6.

La divisione per zero non viene definita. Nell'espressione sopra, a rappresenta il quoziente (quoto nel caso di divisione senza resto), b il divisore (cioè la quantità che divide) e c il dividendo (cioè la quantità da dividere).

Dati due numeri naturali, dei quali il secondo è diverso da zero, si dice quoziente del primo per il secondo, il numero che moltiplicato per il secondo dà per prodotto il primo.

Esempio:

63 : 7 = 9.

9 x 7 = 63.

L'operazione mediante la quale, dati due numeri, se ne calcola il quoziente si chiama divisione.

Proprietà

Proprietà invariantiva

Moltiplicando (o dividendo) i due termini della divisione per uno stesso numero diverso zero, il quoziente non cambia, mentre il resto viene moltiplicato (o diviso) per lo stesso numero.

esempio

$150:50=3$

$(150:10=15):(50:10=5)=15:5=3$

Proprietà distributiva

Per dividere una somma indicata (o una differenza indicata) per un numero, purché tutti i termini della somma o della differenza siano divisibili per essa, basta dividere ciascun termine della somma (o della differenza) per quel numero ed addizionare (o sottrarre) tutti i quoti parziali ottenuti.

Numeri naturali e potenza

Definizione di potenza

La scrittura $a^{n}$ si chiama potenza, dove $a$ si chiama base e $n$ esponente.

La potenza $a^{n}$ di un numero reale $a$ con esponente intero positivo $n$ è il prodotto del fattore $a$ per se stesso quante volte dice l'esponente $n$ cioè: $a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdot a......\cdot a$ quante volte è il valore di $n$.

CASI PARTICOLARI:

$a^{1}=a$

$a^{0}=1$, se $a\neq 0$

$0^{0}$ non ha significato

Proprietà delle potenze

• Prodotto di potenze con uguali basi

Il prodotto di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\;$

$2^{4}\cdot 2^{3}=2^{4+3}\;$

• Quoziente di potenze con uguali basi

Il quoziente di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}\;$

${\frac {2^{4}}{2^{3}}}=2^{4-3}\;$

• Potenza di una potenza

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}=\left(a^{n}\right)^{m}\;$

$\left(2^{4}\right)^{3}=2^{4\cdot 3}=\left(2^{3}\right)^{4}\;$

• Prodotto di potenze con uguali esponenti

Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

$a^{m}\cdot b^{m}=(a\cdot b)^{m}\;$

$2^{4}\cdot 8^{4}=(2\cdot 8)^{4}\;$

• Quoziente di potenze con uguali esponenti

Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

${\frac {a^{m}}{b^{m}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}\;$

${\frac {2^{3}}{4^{3}}}=\left({\frac {2}{4}}\right)^{3}\;$

Multipli e divisori

Si definiscono multipli di $n$ tutti quei numeri che si ottengono moltiplicando $n$ per tutti gli altri numeri interi. Se $n\cdot m=l\;$, $l$ è un multiplo di $n$ (e di $m$) Es. $3\cdot 5=15\;$. 5 è un multiplo di 3 (e di 5)

Si definiscono divisori di $n$ tutti quei numeri per cui $n$ è divisibile. $n$ è divisibile per $m$ se ${\frac {n}{l}}=N\;$(numero naturale) es. $5$ è un divisore di $15$ perché ${\frac {15}{5}}=3\;$(numero naturale), quindi $15$ è divisibile per $3$ (e per $5$)

Criteri di divisibilità

Un numero è divisibile per 2 se è pari; un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3; Un numero è divisibile per 4 se le sue due ultime cifre sono un multiplo di quattro o se sono due 00; Un numero è per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5;

Bibliografia

1. B. Russel, "Introduzione alla filosofia della matematica", Roma, [1978]
2. AAVV, "matematica C3 - Algebra 1", matematicamente.it, 2012
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Arabic_numerals
4. http://scuole.provincia.terni.it/ls_galilei/studentzone/nummagmem/nasceNumero.htm
5. http://www.riflessioni.it/enciclopedia/numeri.htm
6. http://www.rinonline.it/studenti_addizione.htm
7. http://digilander.libero.it/viriliroberta/math/01_Interi.pdf
8. http://www.math-only-math.com/representation-of-integers-on-a-number-line.html
9. http://precorso.dicom.uninsubria.it/lezioni/numeri.html
10. http://www.maecla.it/Matematica/propriet%C3%A0%20%204%20operazioni.pdf
11. http://www.treccani.it/enciclopedia/addizione/
12. http://www.aaamath.com/pro74ax2.htm
13. http://it.wikipedia.org/wiki/Divisione_(matematica)
14. http://www.lezionidimatematica.net/Operazioni_fondamentali/lezioni/op_fond_lezione_04.htm
15. https://www.mathmitra.com/various-types-of-numbers/