Tracciando una retta generica r su un piano cartesiano si prendono due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) sulla retta noti e il punto P(x;y), intermedio, incognito. Si tracciano le proiezioni dei punti sugli assi, trovando H1, H e H2 sull'asse delle ascisse e K1, K e K2 su quello delle ordinate.
Se si ricava la y da quell'equazione e si pone e si ottiene
dove m è detto coefficiente angolare (o pendenza) e q intercetta od ordinata all'origine.
Il valore di q corrisponde all'ordinata del punto in cui la retta incontra l'asse delle ordinate, cioè quando x è uguale a 0; le rette passanti per l'origine di conseguenza hanno q uguale a 0 e la loro equazione generica è: il che è anche logico: se, quando x=0 e annulla il monomio mx, non c'è nessun altro valore a far variare la y, allora anch'essa vale 0, e quindi P(0,0).
Da m dipende invece l'inclinazione della retta. Trascurando q una retta con m>0 riguarderebbe il 1° e il 3° quadrante, mentre con m<0 il 2° e il 4°. L'inclinazione è il rapporto tra la differenza delle y e la differenza delle x di due punti qualsiasi su una retta: Con m = 0 la retta corrispondente sarà orizzontale, infatti: Al contrario il coefficiente angolare di una retta verticale tenderà ad infinito: L'equazione di una tale retta cambia pertanto struttura e diventa del tipo dove il parametro k indica l'ascissa (costante) dei suoi infiniti punti. Ad alcuni angoli particolari corrispondono determinati coefficienti angolari:
Partendo dall'equazione di una retta possiamo ottenere informazioni sui punti che la compongono e vice versa; ad esempio si può verificare che un punto appartenga alla retta inserendo una delle sue coordinate nell'equazione:
P non appartiene ad r
Lo stesso vale per il contrario: partendo da uno o due punti possiamo trovare l'equazione di un fascio o di una retta:
Per "distanza di un punto da una retta" (abbreviato in distanza punto-retta) si intende la lunghezza del segmento più breve che unisce il punto alla retta: quello ad essa perpendicolare.
Per calcolare tale misura si può utilizzare una formula la cui validità è provata dalla seguente dimostrazione:
Fig. 3
(Equazione in forma implicita) (Retta perpendicolare)
Naturalmente a questo punto la formula permette di calcolare solo la distanza dall'origine, ma è possibile estenderla operando una traslazione: r in O: r in P:
Un fascio di rette è l'insieme delle infinite rette passanti per uno stesso punto P, detto sostegno del fascio.
Come già visto, il fascio per un punto è ottenibile con la formula , ma si può anche creare un fascio utilizzando la combinazione lineare a partire da due rette dette generatrici.
Per trovare la retta del fascio passante per P naturalmente si impone il passaggio per P sostituendo nell'equazione del fascio le coordinate del punto in questione.