Geometria per scuola elementare/Una dimostrazione di irrazionalità: differenze tra le versioni

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Geometria per scuola elementare
Quadrati	Una dimostrazione di irrazionalità	Frattali

Un numero razionale, in matematica, è un numero reale che può essere scritto come rapporto di due interi, vale a dire, nella forma

a/b dove a e b sono interi e b è diverso da zero.

Un numero irrazionale è invece un numero reale che non può essere scritto come rapporto di due interi, cioè, non si presenta nella forma

a/b, dove a e b sono definiti come prima.

Storia della teoria dei numeri irrazionali

La scoperta dell'esistenza di tali numeri è tradizionalmente attribuita alla scuola pitagorica, più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che esibì una dimostrazione dell'irrazionalità di ${\sqrt {2}}$ . Si racconta che Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre cercava di esprimere la radice quadrata di 2 come una frazione (si veda la dimostrazione più oltre). Tuttavia, Pitagora era convinto della assolutezza dei numeri è non poteva accettare l'esistenza di numeri irrazionali. Ma, non potendone negare l'esistenza con il ragionamento, ricorse ad un argomento che andava fuori dalla logica: ordinò a Ippaso di suicidarsi annegandosi in mare. Se questa storia fosse vera, vorrebbe dire che quello del matematico è un mestiere che può essere molto pericoloso...

Irrazionalità della radice quadrata di 2

Una dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di 2 è il seguente ragionamento per assurdo. Si assume che la proposizione sia falsa mostrando che questo porta ad una contraddizione; questo vuol dire che la proposizione deve essere vera.

Nella dimostrazione useremo il termine coprimo: due interi sono coprimi se l'unico intero che li divide entrambi è 1.

Assumiamo, per assurdo, che ${\sqrt {2}}$ sia un numero razionale. Questo vuol dire che esistono due interi a e b tali che a / b = ${\sqrt {2}}$ .
Inoltre a / b può essere scritta in modo che sia a e b siano coprimi.
Ovviamente si ha (a / b)² = 2.
ne segue che a² / b² = 2 da cui a² = 2 b².
Ma allora a² è pari perché uguale al doppio di un numero intero (2b²).
Ne segue che anche a deve essere pari. Infatti un numero dispari, elevato al quadrato, dà un numero dispari mentre un numero pari, al quadrato, dà un numero pari.
Siccome a è pari, deve esistere un intero k di cui è il doppio: a = 2k.
Inseriamo quest'ultimo risultato nell'ultima equazione del punto 3). Avremo (2k)² = 2b² che è equivalente a scrivere 4k² = 2b² che a sua volta si può scrivere come 2k² = b².
Siccome 2k² è pari ne segue che anche b² è pari. Ma allora anche b è pari perché, come già visto, solo numeri pari hanno il quadrato pari.
Quindi da (5) e (8) sappiamo che a e b sono entrambi pari: questo contraddice il fatto che a e b siano coprimi.

Siccome siamo giunti a una contraddizione, l'assunzione (1) secondo cui ${\sqrt {2}}$ era un numero razionale deve essere falsa.

Quindi è vero l'opposto: ${\sqrt {2}}$ è irrazionale.

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+== Storia della teoria dei numeri irrazionali ==
-faii na pera
+La scoperta dell'esistenza di tali numeri è tradizionalmente attribuita alla scuola pitagorica, più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che esibì una dimostrazione dell'irrazionalità di <math>\sqrt{2}</math>. Si racconta che Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre cercava di esprimere la radice quadrata di 2 come una frazione (si veda la dimostrazione più oltre). Tuttavia, Pitagora era convinto della assolutezza dei numeri è non poteva accettare l'esistenza di numeri irrazionali. Ma, non potendone negare l'esistenza con il ragionamento, ricorse ad un argomento che andava fuori dalla logica: ordinò a Ippaso di suicidarsi annegandosi in mare.
-FACCIA DI CULO JEANS
+Se questa storia fosse vera, vorrebbe dire che quello del matematico è un mestiere che può essere molto pericoloso...
+== Irrazionalità della radice quadrata di 2 ==
+Una dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di 2 è il seguente ragionamento per assurdo. Si assume che la proposizione sia falsa mostrando che questo porta ad una contraddizione; questo vuol dire che la proposizione deve essere vera.
+Nella dimostrazione useremo il termine ''coprimo'': due interi sono ''coprimi'' se l'unico intero che li divide entrambi è 1.
+# Assumiamo, per assurdo, che <math>\sqrt{2}</math> sia un numero razionale. Questo vuol dire che esistono due interi ''a'' e ''b'' tali che ''a'' / ''b'' = <math>\sqrt{2}</math>.
+# Inoltre ''a'' / ''b''  può essere scritta in modo che sia ''a'' e ''b'' siano coprimi.
+# Ovviamente si ha (''a'' / ''b'')<sup>2</sup> = 2.
+# ne segue che ''a''<sup>2</sup> / ''b''<sup>2</sup> = 2 da cui ''a''<sup>2</sup> = 2 ''b''<sup>2</sup>.
+# Ma allora  ''a''<sup>2</sup> è pari perché uguale al doppio di un numero intero (2''b''<sup>2</sup>).
+# Ne segue che anche ''a'' deve essere pari. Infatti un numero dispari, elevato al quadrato, dà un numero dispari mentre un numero pari, al quadrato, dà un numero pari.
+# Siccome ''a'' è pari, deve esistere un intero ''k'' di cui è il doppio: ''a'' = 2''k''.
+# Inseriamo quest'ultimo risultato nell'ultima equazione del punto 3). Avremo (2''k'')<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup> che è equivalente a scrivere 4''k''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup> che a sua volta si può scrivere come 2''k''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup>.
+# Siccome 2''k''<sup>2</sup> è pari ne segue che anche ''b''<sup>2</sup> è pari. Ma allora anche ''b'' è pari perché, come già visto, solo numeri pari hanno il quadrato pari.
+# Quindi da (5) e (8) sappiamo che ''a'' e ''b'' sono entrambi pari: questo contraddice il fatto che ''a'' e ''b'' siano coprimi.
+Siccome siamo giunti a una contraddizione, l'assunzione (1) secondo cui <math>\sqrt{2}</math> era un numero razionale deve essere falsa.
+Quindi è vero l'opposto: <math>\sqrt{2}</math> è irrazionale.
+<!-- Suggerimento per la versione italiana: provare l'irrazionalità con un ragionamento "riga e compasso". Un accenno si trova  su en.wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number#Example_proofs#Another_proof -->
+[[Categoria: Geometria per scuola elementare|Una prova d'irrazionalità]]
+[[en:Geometry for Elementary School/A proof of irrationality]]