Analisi matematica I/Insiemi: differenze tra le versioni
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==Definizione== |
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Una locuzione molto importante è quella di '''[[w:insieme|insieme]]''', ovverosia un sinonimo di classe, aggregato, famiglia, totalità, ecc. |
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Un insieme è costituito da ''elementi'', che si dicono ''appartenere'' ad esso. Gli insiemi si chiamano con le lettere dell'alfabeto. |
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*Diremo che un insieme A è '''finito''' se esiste un numero ''n'' appartenente ai [[w:numero|numeri naturali]] tale che ad A appartengono esattamente ''n'' elementi; per contro diremo che ad A è '''infinito''' se, qualunque sia il numero naturale ''n'', all'insieme appartengono più di ''n'' elementi. |
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;Esempi:Un esempio di insieme finito è: <math>A=\left\{1,0,5,2,3\right\}</math>. Il numero di elementi che compongono insieme A è 5, pertanto possiamo asserire che esso è finito. |
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:Se invece prendiamo in esame l'insieme P:={l'insieme dei numeri pari}, in questo caso ci troviamo di fronte ad un insieme '''infinito'''. |
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==Nomenclatura== |
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*Se A è un insieme, ed x appartiene a questo insieme scriveremo: |
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::<math>x \in A</math><br></br> |
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:che si legge: ''x appartiene ad A'' oppure ''x appartenente ad A'' |
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*Se, invece, x non appartiene all'insieme A scriveremo: |
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::<math>x \notin A</math> |
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:Che si legge: ''x non appartiene ad A'' oppure ''x non appartenente ad A'' |
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*Dati gli insiemi A e B, diciamo che A è '''contenuto''' o '''incluso''' in B, o che B '''contiene''' o '''include''' A, quando ogni elemento di A è anche elemento di B, e useremo la notazione: |
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::<math>A \subseteq B</math> oppure <math>B \supseteq A</math> |
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:in tal caso diremo che A è un '''sottoinsieme''' o una '''parte''' di B. |
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'''Osservazione''':Fra i sottoinsiemi di B c'è ovviamente anche l'insieme B stesso. |
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*Per dire che A è un sottonsieme di B distinto da B, diciamo è A è un '''sottonsieme proprio''' o '''parte propria'''; in questo caso esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A. Lo scriveremo così allora: |
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::<math>A \subset B</math> oppure <math>B \supset A</math> |
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:e si dice che A è '''strettamente''' contenuto in B. |
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:Ovviamente, se <math>A \supseteq B</math> e <math>B \supseteq A</math>, gli insiemi A e B saranno coincidente, e dunque: |
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::<math>A = B\!</math> |
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*Per denotare gli elementi a di un insieme A che hanno una certa proprietà <math>\mathcal{P}</math>, scriveremo: |
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::<math>\left \{ a \in A : \mathcal{P} \right \}</math> |
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:la proprietà <math>\mathcal{P}</math> è solitamente espressa da una proposizione, da una diseguaglianza, ecc., in armonia con la natura degli elementi che compongono l'insieme A. |
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;Esempio:Se A è l'insieme costituito da tutte le rette del piano, e se r è una retta del piano, il sottoinsieme B di A formato da rette parallele a r si scrive: |
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::<math>\{ a \in A :</math>''a parallela ad r <math>\}\!</math> |
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:che si legge: l'insieme degli elementi appartenenti ad A tali che a è parallela ad r. |
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:Talvolta possiamo rappresentare un insieme indicandone tutti gli elementi. Ad esempio l'insieme costituito da ''a, b, c, ...'' si scrive: |
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::<math>\{ a,b,c,... \}\! </math> |
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:In particolare, il simbolo <math>\{ a \}\!</math> mostra l'insieme costituito solo dall'elemento a. |
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==Insieme vuoto== |
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Stando al significato di "insieme", non dovrebbe esistere un insieme in cui non sia presente nessun elemento. Quindi, ci è spesso più comodo indicare l''''insieme vuoto''', cioè quell'insieme che non contiene nessun elemento. È un simbolo puramente convenzionale e si indica con il simbolo <math>\empty</math> |
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Ad esempio, dati 3 punti di una circonferenza distinti a, b, c, per esprimere che non esiste nessuna retta del piano che passi per a, per b e per c contemporaneramente, possiamo dire che l'insieme delle rette passanti per a, b, c è vuoto. |
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Ancora un altro esempio. Abbiamo l'insieme B={a, b, c} e l'insieme A={a, b, c} e vogliamo trovare la loro ''differenza'', avremo: |
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<math>B-A=\empty</math> ma si può scrivere anche <math> \overline{A} = \empty </math> |
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inoltre A e <math> \overline{A}</math> sono fra loro complementari in B. |
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E quindi possiamo dedurre le seguenti proprietà: |
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#<math>A\cup\overline{A} = B</math> |
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#<math>A \cap \overline{A}=\empty</math> |
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#<math>\overline{B} = \empty</math> |
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#<math>\overline{\empty} = B</math> |
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#<math>\overline{\overline{A}} = A</math> |
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==Leggi di De Morgan== |
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Se prendiamo due insiemi qualsiasi allora valgono le seguenti uguaglianze: |
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#<math>\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}</math> |
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#<math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math> |
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==Operazioni con gli insiemi== |
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*Si chiama '''intersezione''' di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B e si scrive: |
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::<math>A\cap B </math> |
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:che si legge A ''intersezione'' B, oppure A ''intersecato'' B. |
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*Si chiama '''unione''' di due insiemi A e B, l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A, B e si scrive: |
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::<math>A \cup B</math>, che si legge: ''A unione B'' |
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Similmente, dati ''n'' insiemi <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, ... <math>A_n</math>, si definiscono l'intersezione e l'unione di essi, che si scrivono rispettivamente: |
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:<math>A_1 \cap A_2 \cap \dots\cap A_n</math> e <math>A_1 \cup A_2 \cup \dots\cup A_n</math> |
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oppure nella forma contratta: |
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:<math>\bigcap_{k=1}^n A_k</math> e <math>\bigcup_{k=1}^n A_k</math> |
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che leggeremo ''intersezione di <math>A_k</math> per k da 1 ad n'', e ''unione di <math>A_k</math> per k da 1 ad n''. |
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Da precisare che la <math>k</math> è un paramentro che viene utilizzato convenzionalmente per indicare |
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:<math>A_1 \cup A_2 \cup \dots A_n</math>. |
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Ovviamente, il concetto di intersezione e di unione si estende ad una moltitudine di insiemi. Ad esempio, se ''I'' è un insieme infinito, e se per ogni <math>k \in I</math> vi sia un insieme <math>A_k</math>, scriveremo intersezione e unione: |
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:<math>\bigcap_{k \in I} A_k</math> e <math>\bigcup_{k \in I} A_k</math> |
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*Se <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, ... sono sottinsiemi non vuoti dell'insieme A, a 2 a 2 disgiunti e aventi per unione proprio l'insieme A, diremo che <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, ... sono una '''partizione''' di A. |
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*Si chiama '''differenza''' di 2 insiemi A e B, o '''complemento''' di B '''rispetto ad''' A, l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B, e lo scriveremo: |
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::<math>A\setminus B</math> |
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Questa definizione non presuppone che <math>B \subseteq A</math>, in quanto: |
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:<math>A\setminus B = A\setminus (A\cap B)</math> |
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;Esempio:Se <math>A = \{ 1, 3, 8, 9 \}\!</math> e <math>B = \{ 1, 5, 8\}\!</math> |
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avremo: |
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:<math>A \cap B = \{ 1, 8 \}\quad A \cup B = \{ 1, 3, 5, 8, 9 \}</math> |
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:<math>A\setminus B = \{ 3, 9 \}\quad B\setminus A = \{ 5 \}</math> |
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*Dati due insiemi A e B, non vuoti, si chiama prodotto cartesiano di A per B, l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (a, b) con <math>a \in A</math> e <math>b \in B</math> |
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:L'insieme si scrive: |
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::<math>A \times B</math> |
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:e si leggerà: '''prodotto cartesiano di''' A '''per''' B oppure A '''per''' B, oppure A '''cartesiano''' B. |
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:L'elemento ''a'' si chiama '''prima coordinata (o componente)''', mentre ''b'' si chiama '''seconda coordinata (o componente)'''. |
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;Osservazioni:Si noti che il prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti e distinti non gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano di un insieme per l'insieme vuoto è l'insieme vuoto. Inoltre, se <math>A \ne B</math>, gli insiemi <math>A \times B</math> e <math>B \times A</math> non coincidono. |
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*Il prodotto cartesiano <math>A \times A</math>, si può scrivere come <math>A^2\!</math>. |
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;Esempio:se <math>A = \{ 1, 2, 3 \}\!</math> e <math>B = \{ a, b, c \}\!</math> facendo il prodotto cartesiano <math>A \times B</math>, avremo le coppie ordinate: |
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::<math>(1, a)\!</math>, <math>(1, b)\!</math>, <math>(1, c)\!</math>, <math>(2, a)\!</math>, <math>(2, b)\!</math>, <math>(2, c)\!</math>, <math>(3, a)\!</math>, <math>(3, b)\!</math>, <math>(3, c)\!</math>. |
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*Parlando in generale, chiameremo '''prodotto cartesiano''' di ''n'' insiemi non vuoti <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, ... <math>A_n (n \ge 2)</math>, e lo scriveremo: |
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::<math>A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n\!</math> |
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:mentre l'insieme i cui elementi sono le ''n-ple'' ordinate: |
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::<math>(a_1, a_2,\dots,a_n)\!</math> |
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con <math>a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \dots a_n \in A_n</math>. |
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Gli elementi <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> si chiamano rispettivamente '''prima, seconda, ..., n-esima coordinata (o componente)'''. |
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Il prodotto cartesiano di n insiemi tutti uguali ad A si indica come <math>A^n\!</math>. A tale simbolo si dà significato anche per <math>n = 1</math>, convenendo di porre <math>A^1 = A\!</math> |
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==Numeri naturali== |
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Tutti noi usiamo quotidianamente i numeri naturali, quindi sembrerebbe superfluo un approfondimento sull'argomento. Ma nella seconda metà dell'800, nel quadro di un generale ripensamento sui fondamenti della Matematica, si è cercato di isolare un ''insieme minimo'' di proprietà atte a descrivere l'insieme dei numeri naturali e dedurre poi per via logica (da questo insieme minimo) tutte le altre proprietà dei numeri naturali, che fino a quel momento erano state date come evidenti, ovvie, ma mai dimostrate. |
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Questo insieme minimo di proprietà, che in gergo tecnico si chiamano '''assiomi''', costituisce una descrizione completa dell'insieme dei numeri naturali. Il sistema comunemente accettato è il [[w:Assiomi_di_Peano|sistema degli assiomi di Peano]], dal nome del matematico torinese vissuto a fine '800. |
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In breve, gli assiomi di Peano fanno ricorso a due concetti primitivi, cioè non riconducibili a concetti precedenti: il concetto di '''zero''' e il concetto di '''successivo'''. |
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Il primo assioma dice che '''zero''' è un numero naturale, cioè che '''0<math>\in N</math>''' (esiste un numero 0 che appartiene a '''N'''). |
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[[Categoria:Analisi matematica|Insiemi]] |
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