Analisi matematica I/Insiemi

Definizione

Una locuzione molto importante è quella di insieme, ovverosia un sinonimo di classe, aggregato, famiglia, totalità, ecc. Un insieme è costituito da elementi, che si dicono appartenere ad esso. Gli insiemi si chiamano con le lettere dell'alfabeto.

• Diremo che un insieme A è finito se esiste un numero n appartenente ai numeri naturali tale che ad A appartengono esattamente n elementi; per contro diremo che ad A è infinito se, qualunque sia il numero naturale n, all'insieme appartengono più di n elementi.

Esempi

Un esempio di insieme finito è: $A=\left\{1,0,5,2,3\right\}$. Il numero di elementi che compongono insieme A è 5, pertanto possiamo asserire che esso è finito.

Se invece prendiamo in esame l'insieme P:={l'insieme dei numeri pari}, in questo caso ci troviamo di fronte ad un insieme infinito.

Nomenclatura

• Se A è un insieme, ed x appartiene a questo insieme scriveremo:

$x\in A$

che si legge: x appartiene ad A oppure x appartenente ad A

• Se, invece, x non appartiene all'insieme A scriveremo:

$x\notin A$

Che si legge: x non appartiene ad A oppure x non appartenente ad A

• Dati gli insiemi A e B, diciamo che A è contenuto o incluso in B, o che B contiene o include A, quando ogni elemento di A è anche elemento di B, e useremo la notazione:

$A\subseteq B$ oppure $B\supseteq A$

in tal caso diremo che A è un sottoinsieme o una parte di B.

Osservazione:Fra i sottoinsiemi di B c'è ovviamente anche l'insieme B stesso.

• Per dire che A è un sottonsieme di B distinto da B, diciamo che A è un sottoinsieme proprio o parte propria; in questo caso esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A. Lo scriveremo così allora:

$A\subset B$ oppure $B\supset A$

e si dice che A è strettamente contenuto in B.

Ovviamente, se $A\supseteq B$ e $B\supseteq A$, gli insiemi A e B saranno coincidente, e dunque:

$A=B\!$

• Per denotare gli elementi a di un insieme A che hanno una certa proprietà ${\mathcal {P}}$, scriveremo:

$\left\{a\in A:{\mathcal {P}}\right\}$

la proprietà ${\mathcal {P}}$ è solitamente espressa da una proposizione, da una diseguaglianza, ecc., in armonia con la natura degli elementi che compongono l'insieme A.

Esempio

Se A è l'insieme costituito da tutte le rette del piano, e se r è una retta del piano, il sottoinsieme B di A formato da rette parallele a r si scrive:

$\{a\in A:$a parallela ad r $\}\!$

che si legge: l'insieme degli elementi appartenenti ad A tali che a è parallela ad r.

Talvolta possiamo rappresentare un insieme indicandone tutti gli elementi. Ad esempio l'insieme costituito da a, b, c, ... si scrive:

$\{a,b,c,...\}\!$

In particolare, il simbolo $\{a\}\!$ mostra l'insieme costituito solo dall'elemento a.

Insieme vuoto

Stando al significato di "insieme", non dovrebbe esistere un insieme in cui non sia presente nessun elemento. Quindi, ci è spesso più comodo indicare l'insieme vuoto, cioè quell'insieme che non contiene nessun elemento. È un simbolo puramente convenzionale e si indica con il simbolo $\emptyset$

Ad esempio, dati 3 punti di una circonferenza distinti a, b, c, per esprimere che non esiste nessuna retta del piano che passi per a, per b e per c contemporaneamente, possiamo dire che l'insieme delle rette passanti per a, b, c è vuoto.

Ancora un altro esempio. Abbiamo l'insieme B={a, b, c} e l'insieme A={a, b, c} e vogliamo trovare la loro differenza, avremo: $B-A=\emptyset$ ma si può scrivere anche ${\overline {A}}=\emptyset$ inoltre A e ${\overline {A}}$ sono fra loro complementari in B. E quindi possiamo dedurre le seguenti proprietà:

1. $A\cup {\overline {A}}=B$
2. $A\cap {\overline {A}}=\emptyset$
3. ${\overline {B}}=\emptyset$
4. ${\overline {\emptyset }}=B$
5. ${\overline {\overline {A}}}=A$

Leggi di De Morgan

Se prendiamo due insiemi qualsiasi allora valgono le seguenti uguaglianze:

1. ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$
2. ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$

Operazioni con gli insiemi

• Si chiama intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B e si scrive:

$A\cap B$

che si legge A intersezione B, oppure A intersecato B.

• Si chiama unione di due insiemi A e B, l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A, B e si scrive:

$A\cup B$, che si legge: A unione B

Similmente, dati n insiemi $A_{1}$, $A_{2}$, ... $A_{n}$, si definiscono l'intersezione e l'unione di essi, che si scrivono rispettivamente:

$A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{n}$ e $A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n}$

oppure nella forma contratta:

$\bigcap _{k=1}^{n}A_{k}$ e $\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}$

che leggeremo intersezione di $A_{k}$ per k da 1 ad n, e unione di $A_{k}$ per k da 1 ad n. Da precisare che la $k$ è un paramentro che viene utilizzato convenzionalmente per indicare

$A_{1}\cup A_{2}\cup \dots A_{n}$.

Ovviamente, il concetto di intersezione e di unione si estende ad una moltitudine di insiemi. Ad esempio, se I è un insieme infinito, e se per ogni $k\in I$ vi sia un insieme $A_{k}$, scriveremo intersezione e unione:

$\bigcap _{k\in I}A_{k}$ e $\bigcup _{k\in I}A_{k}$

• Se $A_{1}$, $A_{2}$, ... sono sottinsiemi non vuoti dell'insieme A, a 2 a 2 disgiunti e aventi per unione proprio l'insieme A, diremo che $A_{1}$, $A_{2}$, ... sono una partizione di A.

• Si chiama differenza di 2 insiemi A e B, o complemento di B rispetto ad A, l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B, e lo scriveremo:

$A\setminus B$

Questa definizione non presuppone che $B\subseteq A$, in quanto:

$A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$

Esempio

Se $A=\{1,3,8,9\}\!$ e $B=\{1,5,8\}\!$

avremo:

$A\cap B=\{1,8\}\quad A\cup B=\{1,3,5,8,9\}$

$A\setminus B=\{3,9\}\quad B\setminus A=\{5\}$

• Dati due insiemi A e B, non vuoti, si chiama prodotto cartesiano di A per B, l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (a, b) con $a\in A$ e $b\in B$

L'insieme si scrive:

$A\times B$

e si leggerà: prodotto cartesiano di A per B oppure A per B, oppure A cartesiano B.

L'elemento a si chiama prima coordinata (o componente), mentre b si chiama seconda coordinata (o componente).

Osservazioni

Si noti che il prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti e distinti non gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano di un insieme per l'insieme vuoto è l'insieme vuoto. Inoltre, se $A\neq B$, gli insiemi $A\times B$ e $B\times A$ non coincidono.

• Il prodotto cartesiano $A\times A$, si può scrivere come $A^{2}\!$.

Esempio

se $A=\{1,2,3\}\!$ e $B=\{a,b,c\}\!$ facendo il prodotto cartesiano $A\times B$, avremo le coppie ordinate:

$(1,a)\!$, $(1,b)\!$, $(1,c)\!$, $(2,a)\!$, $(2,b)\!$, $(2,c)\!$, $(3,a)\!$, $(3,b)\!$, $(3,c)\!$.

• Parlando in generale, chiameremo prodotto cartesiano di n insiemi non vuoti $A_{1}$, $A_{2}$, ... $A_{n}(n\geq 2)$, e lo scriveremo:

$A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}\!$

mentre l'insieme i cui elementi sono le n-ple ordinate:

$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\!$

con $a_{1}\in A_{1},a_{2}\in A_{2},\dots a_{n}\in A_{n}$.

Gli elementi $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ si chiamano rispettivamente prima, seconda, ..., n-esima coordinata (o componente). Il prodotto cartesiano di n insiemi tutti uguali ad A si indica come $A^{n}\!$. A tale simbolo si dà significato anche per $n=1$, convenendo di porre $A^{1}=A\!$

Numeri naturali

Tutti noi usiamo quotidianamente i numeri naturali, quindi sembrerebbe superfluo un approfondimento sull'argomento. Ma nella seconda metà dell'800, nel quadro di un generale ripensamento sui fondamenti della Matematica, si è cercato di isolare un insieme minimo di proprietà atte a descrivere l'insieme dei numeri naturali e dedurre poi per via logica (da questo insieme minimo) tutte le altre proprietà dei numeri naturali, che fino a quel momento erano state date come evidenti, ovvie, ma mai dimostrate.

Questo insieme minimo di proprietà, che in gergo tecnico si chiamano assiomi, costituisce una descrizione completa dell'insieme dei numeri naturali. Il sistema comunemente accettato è il sistema degli assiomi di Peano, dal nome del matematico torinese vissuto a fine '800.

In breve, gli assiomi di Peano fanno ricorso a due concetti primitivi, cioè non riconducibili a concetti precedenti: il concetto di zero e il concetto di successivo.

Il primo assioma dice che zero è un numero naturale, cioè che 0$\in N$ (esiste un numero 0 che appartiene a N).