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Analisi matematica I/Insiemi

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Indice del libro

Un insieme è un sinonimo di classe, aggregato, famiglia, totalità, ecc. ed è costituito da elementi, che si dicono appartenere ad esso. Per indicare gli insiemi si utilizzano le lettere maiuscole dell'alfabeto (es. A,B,C...ecc.), mentre per denominare gli elementi che ne fanno parte o meno, si usano le lettere dell'alfabeto minuscole (a,b,c...ecc.).

  • Diremo che un insieme A è finito se esiste un numero n appartenente ai numeri naturali tale che ad A appartengono esattamente n elementi; per contro diremo che ad A è infinito se, qualunque sia il numero naturale n, all'insieme appartengono più di n elementi.
Esempi
Un esempio di insieme finito è: . Il numero di elementi che compongono insieme A è 5, pertanto possiamo asserire che esso è finito.

Se invece prendiamo in esame l'insieme dei numeri primi, che sono infiniti, in questo caso ci troviamo di fronte ad un insieme infinito. In notazione matematica un insieme A dei numeri (x) tali che x sia un numero primo si scrive: è un numero primo oppure è un numero primo.

Nomenclatura

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  • Se A è un insieme, ed x appartiene a questo insieme scriveremo:


che si legge: x appartiene ad A oppure ad A appartiene x
  • Se, invece, x non appartiene all'insieme A scriveremo:
che si legge: x non appartiene ad A oppure ad A non appartiene x
  • Dati gli insiemi A e B, diciamo che A è contenuto o incluso in B, o che B contiene o include A, quando ogni elemento di A è anche elemento di B, e useremo la notazione:
oppure
in tal caso diremo che A è un sottoinsieme o una parte di B.

Osservazione:Fra i sottoinsiemi di B c'è ovviamente anche l'insieme B stesso.

  • Per dire che A è un sottonsieme di B distinto da B, diciamo che A è un sottoinsieme proprio o parte propria; in questo caso esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A. Lo scriveremo così allora:
oppure
e si dice che A è strettamente contenuto in B.
Ovviamente, se e , gli insiemi A e B saranno coincidente, e dunque:
  • Per denotare gli elementi a di un insieme A che hanno una certa proprietà , scriveremo:
la proprietà è solitamente espressa da una proposizione, da una diseguaglianza, ecc., in armonia con la natura degli elementi che compongono l'insieme A.
Esempio
Se A è l'insieme costituito da tutte le rette del piano, e se r è una retta del piano, il sottoinsieme B di A formato da rette parallele a r si scrive:
a parallela ad r
che si legge: l'insieme degli elementi appartenenti ad A tali che a è parallela ad r.
Talvolta possiamo rappresentare un insieme indicandone tutti gli elementi. Ad esempio l'insieme costituito da a, b, c, ... si scrive:
In particolare, il simbolo mostra l'insieme costituito solo dall'elemento a.

Insieme vuoto

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Stando al significato di "insieme", non dovrebbe esistere un insieme in cui non sia presente nessun elemento. Quindi, ci è spesso più comodo indicare l'insieme vuoto, cioè quell'insieme che non contiene nessun elemento. È un simbolo puramente convenzionale e si indica con il simbolo

Ad esempio, dati 3 punti di una circonferenza distinti a, b, c, per esprimere che non esiste nessuna retta del piano che passi per a, per b e per c contemporaneamente, possiamo dire che l'insieme delle rette passanti per a, b, c è vuoto.

Ancora un altro esempio. Abbiamo l'insieme e l'insieme e vogliamo trovare la loro differenza, avremo: ma si può scrivere anche inoltre A e sono fra loro complementari in B. E quindi possiamo dedurre le seguenti proprietà:

Leggi di De Morgan

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Se prendiamo due insiemi qualsiasi allora valgono le seguenti uguaglianze:

Operazioni con gli insiemi

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Intersezione tra insiemi

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Si chiama intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B e si scrive:

Se dati due insiemi e risulta i due insiemi non hanno alcun elemento in comune, perciò si chiameranno insiemi disgiunti.

Unione tra insiemi

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Si chiama unione di due insiemi A e B, l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A, B e si scrive:

.

Similmente, dati n insiemi , , ... , si definiscono l'intersezione e l'unione di essi, che si scrivono rispettivamente:

e

oppure nella forma contratta:

e

che leggeremo intersezione di per k da 1 ad n, e unione di per k da 1 ad n. Da precisare che la è un paramentro che viene utilizzato convenzionalmente per indicare

.

Ovviamente, il concetto di intersezione e di unione si estende ad una moltitudine di insiemi. Ad esempio, se I è un insieme infinito, e se per ogni vi sia un insieme , scriveremo intersezione e unione:

e
  • Se , , ... sono sottinsiemi non vuoti dell'insieme A, a 2 a 2 disgiunti e aventi per unione proprio l'insieme A, diremo che , , ... sono una partizione di A.

Differenza tra insiemi

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Si chiama differenza di due insiemi A e B, o complemento di B rispetto ad A, l'insieme degli elementi appartenenti ad A ma non a B, e lo scriveremo:

Questa definizione non presuppone che , in quanto:

Esempio
Se e avremo:

Differenza simmetrica

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L'operazione di differenza simmetrica tra due insiemi viene indicata mediante la notazione: e da' come risultato un insieme costituito dagli elementi di non appartenenti a (cioè la differenza ) e dagli elementi di non appartenenti ad (cioè la differenza ). In notazione matematica scriveremo: .

Prodotto cartesiano

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Dati due insiemi A e B, non vuoti, si chiama prodotto cartesiano di A per B, l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (a, b) con e

L'insieme si scrive:
e si leggerà: prodotto cartesiano di A per B oppure A per B, oppure A cartesiano B.
L'elemento a si chiama prima coordinata (o componente), mentre b si chiama seconda coordinata (o componente).
Osservazioni
Si noti che il prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti e distinti non gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano di un insieme per l'insieme vuoto è l'insieme vuoto. Inoltre, se , gli insiemi e non coincidono.
  • Il prodotto cartesiano , si può scrivere come .
Esempio
se e facendo il prodotto cartesiano , avremo le coppie ordinate:
, , , , , , , , .
  • Parlando in generale, chiameremo prodotto cartesiano di n insiemi non vuoti , , ... , e lo scriveremo:
mentre l'insieme i cui elementi sono le n-ple ordinate:

con .

Gli elementi si chiamano rispettivamente prima, seconda, ..., n-esima coordinata (o componente). Il prodotto cartesiano di n insiemi tutti uguali ad A si indica come . A tale simbolo si dà significato anche per , convenendo di porre

Proprietà degli insiemi

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Le operazioni di inclusione ed intersezione tra insiemi godono di alcune proprietà qui sotto elencate:

  • Idempotenza: per l'inclusione, mentre per l'intersezione ;
  • Commutativa: invece ;
  • Distributiva: e ;
  • Associativa: e ;
  • Assorbimento: e .