Principi di insiemistica e funzioni elementari
- Numeri naturali
- Numeri interi
- Numeri razionali
- Numeri reali
- Numeri reali (seconda parte)
- Numeri complessi
- Funzioni
- Funzioni circolari
- Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in
- Successioni reali
- Limiti di successioni reali
- Teoremi sulle successioni
- Algebra dei limiti delle successioni
- Esistenza del limite di una successione
- Limiti inferiori e superiori
- Forme indeterminate di successioni
- Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
- Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
- Compattezza di un insieme
- Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
- Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
- Algebra dei limiti
- Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
- Analisi matematica I/Funzioni monotone
- Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
- Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
- Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in
e studio di funzioni
- Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
- Analisi matematica I/Algebra delle derivate
- Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
- Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
- Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
- Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
- Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
- Analisi matematica I/Integrale di Riemann
- Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
- Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
- Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
- Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
- Analisi matematica I/Successioni di funzioni
- Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
- Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
- Note storiche sugli insiemi
- I numeri reali
- I numeri complessi
- Sommatorie
- progressione geometrica
- fattoriale di n
- formula di Newton
- Potenze e radicali
- Esponenziali e logaritmi
- Insiemi infiniti
- Massimi e minimi
- Funzioni
Serie e successioni
- Successioni: definizione
- Limiti: definizione
- Successioni monotone
- Calcolo dei limiti
- Limite di successioni
- Il numero di Nepero (e)
- Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
- Limiti notevoli
- Serie numeriche: definizione
- Serie a termini non negativi
- Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
- Limiti di funzioni da R a R
- Limiti di funzioni da Rn a Rm
- Funzioni numeriche e generalità
- Grafico di una funzione
- Funzioni limitate
- Funzioni simmetriche, pari e dispari
- Funzioni monotone
- Funzioni periodiche
- Limiti, continuità, asintoti
- Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
- Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
- Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Introduzione
- Il rapporto incrementale
- Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
- Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
- Le derivate fondamentali
- Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
- Il teorema di de L’Hospital
- Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
- o piccolo
- Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
- Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
- Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
- L’integrale come limite di somme
- Proprietà dell'integrale
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodo di ricerca della primitiva
- Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
- Funzioni integrabili
- integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
- Integrazione di funzioni non limitate
- Criteri di integrabilità al finito
- Integrazione su intervalli illimitati
- Criteri di integrabilità all’infinito
- Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
- Integrazione delle funzioni trigonometriche
Modifica il sommario
Una locuzione molto importante è quella di insieme, ovverosia un sinonimo di classe, aggregato, famiglia, totalità, ecc.
Un insieme è costituito da elementi, che si dicono appartenere ad esso. Gli insiemi si chiamano con le lettere dell'alfabeto.
- Diremo che un insieme A è finito se esiste un numero n appartenente ai numeri naturali tale che ad A appartengono esattamente n elementi; per contro diremo che ad A è infinito se, qualunque sia il numero naturale n, all'insieme appartengono più di n elementi.
- Esempi
- Un esempio di insieme finito è:
. Il numero di elementi che compongono insieme A è 5, pertanto possiamo asserire che esso è finito.
- Se invece prendiamo in esame l'insieme P:={l'insieme dei numeri pari}, in questo caso ci troviamo di fronte ad un insieme infinito.
- Se A è un insieme, ed x appartiene a questo insieme scriveremo:

- che si legge: x appartiene ad A oppure x appartenente ad A
- Se, invece, x non appartiene all'insieme A scriveremo:

- Che si legge: x non appartiene ad A oppure x non appartenente ad A
- Dati gli insiemi A e B, diciamo che A è contenuto o incluso in B, o che B contiene o include A, quando ogni elemento di A è anche elemento di B, e useremo la notazione:
oppure 
- in tal caso diremo che A è un sottoinsieme o una parte di B.
Osservazione:Fra i sottoinsiemi di B c'è ovviamente anche l'insieme B stesso.
- Per dire che A è un sottonsieme di B distinto da B, diciamo che A è un sottoinsieme proprio o parte propria; in questo caso esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A. Lo scriveremo così allora:
oppure 
- e si dice che A è strettamente contenuto in B.
- Ovviamente, se
e
, gli insiemi A e B saranno coincidente, e dunque:

- Per denotare gli elementi a di un insieme A che hanno una certa proprietà
, scriveremo:

- la proprietà
è solitamente espressa da una proposizione, da una diseguaglianza, ecc., in armonia con la natura degli elementi che compongono l'insieme A.
- Esempio
- Se A è l'insieme costituito da tutte le rette del piano, e se r è una retta del piano, il sottoinsieme B di A formato da rette parallele a r si scrive:
a parallela ad r 
- che si legge: l'insieme degli elementi appartenenti ad A tali che a è parallela ad r.
- Talvolta possiamo rappresentare un insieme indicandone tutti gli elementi. Ad esempio l'insieme costituito da a, b, c, ... si scrive:

- In particolare, il simbolo
mostra l'insieme costituito solo dall'elemento a.
Stando al significato di "insieme", non dovrebbe esistere un insieme in cui non sia presente nessun elemento. Quindi, ci è spesso più comodo indicare l'insieme vuoto, cioè quell'insieme che non contiene nessun elemento. È un simbolo puramente convenzionale e si indica con il simbolo
Ad esempio, dati 3 punti di una circonferenza distinti a, b, c, per esprimere che non esiste nessuna retta del piano che passi per a, per b e per c contemporaneamente, possiamo dire che l'insieme delle rette passanti per a, b, c è vuoto.
Ancora un altro esempio. Abbiamo l'insieme B={a, b, c} e l'insieme A={a, b, c} e vogliamo trovare la loro differenza, avremo:
ma si può scrivere anche
inoltre A e
sono fra loro complementari in B.
E quindi possiamo dedurre le seguenti proprietà:





Leggi di De Morgan[modifica]
Se prendiamo due insiemi qualsiasi allora valgono le seguenti uguaglianze:


Operazioni con gli insiemi[modifica]
- Si chiama intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B e si scrive:

- che si legge A intersezione B, oppure A intersecato B.
- Si chiama unione di due insiemi A e B, l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A, B e si scrive:
, che si legge: A unione B
Similmente, dati n insiemi
,
, ...
, si definiscono l'intersezione e l'unione di essi, che si scrivono rispettivamente:
e 
oppure nella forma contratta:
e 
che leggeremo intersezione di
per k da 1 ad n, e unione di
per k da 1 ad n.
Da precisare che la
è un paramentro che viene utilizzato convenzionalmente per indicare
.
Ovviamente, il concetto di intersezione e di unione si estende ad una moltitudine di insiemi. Ad esempio, se I è un insieme infinito, e se per ogni
vi sia un insieme
, scriveremo intersezione e unione:
e 
- Se
,
, ... sono sottinsiemi non vuoti dell'insieme A, a 2 a 2 disgiunti e aventi per unione proprio l'insieme A, diremo che
,
, ... sono una partizione di A.
- Si chiama differenza di 2 insiemi A e B, o complemento di B rispetto ad A, l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B, e lo scriveremo:

Questa definizione non presuppone che
, in quanto:

- Esempio
- Se
e 
avremo:


- Dati due insiemi A e B, non vuoti, si chiama prodotto cartesiano di A per B, l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (a, b) con
e 
- L'insieme si scrive:

- e si leggerà: prodotto cartesiano di A per B oppure A per B, oppure A cartesiano B.
- L'elemento a si chiama prima coordinata (o componente), mentre b si chiama seconda coordinata (o componente).
- Osservazioni
- Si noti che il prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti e distinti non gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano di un insieme per l'insieme vuoto è l'insieme vuoto. Inoltre, se
, gli insiemi
e
non coincidono.
- Il prodotto cartesiano
, si può scrivere come
.
- Esempio
- se
e
facendo il prodotto cartesiano
, avremo le coppie ordinate:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
- Parlando in generale, chiameremo prodotto cartesiano di n insiemi non vuoti
,
, ...
, e lo scriveremo:

- mentre l'insieme i cui elementi sono le n-ple ordinate:

con
.
Gli elementi
si chiamano rispettivamente prima, seconda, ..., n-esima coordinata (o componente).
Il prodotto cartesiano di n insiemi tutti uguali ad A si indica come
. A tale simbolo si dà significato anche per
, convenendo di porre
Numeri naturali[modifica]
Tutti noi usiamo quotidianamente i numeri naturali, quindi sembrerebbe superfluo un approfondimento sull'argomento. Ma nella seconda metà dell'800, nel quadro di un generale ripensamento sui fondamenti della Matematica, si è cercato di isolare un insieme minimo di proprietà atte a descrivere l'insieme dei numeri naturali e dedurre poi per via logica (da questo insieme minimo) tutte le altre proprietà dei numeri naturali, che fino a quel momento erano state date come evidenti, ovvie, ma mai dimostrate.
Questo insieme minimo di proprietà, che in gergo tecnico si chiamano assiomi, costituisce una descrizione completa dell'insieme dei numeri naturali. Il sistema comunemente accettato è il sistema degli assiomi di Peano, dal nome del matematico torinese vissuto a fine '800.
In breve, gli assiomi di Peano fanno ricorso a due concetti primitivi, cioè non riconducibili a concetti precedenti: il concetto di zero e il concetto di successivo.
Il primo assioma dice che zero è un numero naturale, cioè che 0
(esiste un numero 0 che appartiene a N).