Analisi matematica I/Insiemi

Definizione

Un insieme è un sinonimo di classe, aggregato, famiglia, totalità, ecc. ed è costituito da elementi, che si dicono appartenere ad esso. Per indicare gli insiemi si utilizzano le lettere maiuscole dell'alfabeto (es. A,B,C...ecc.), mentre per denominare gli elementi che ne fanno parte o meno, si usano le lettere dell'alfabeto minuscole (a,b,c...ecc.).

• Diremo che un insieme A è finito se esiste un numero n appartenente ai numeri naturali tale che ad A appartengono esattamente n elementi; per contro diremo che ad A è infinito se, qualunque sia il numero naturale n, all'insieme appartengono più di n elementi.

Esempi

Un esempio di insieme finito è: $A=\left\{1,0,5,2,3\right\}$. Il numero di elementi che compongono insieme A è 5, pertanto possiamo asserire che esso è finito.

Se invece prendiamo in esame l'insieme dei numeri primi, che sono infiniti, in questo caso ci troviamo di fronte ad un insieme infinito. In notazione matematica un insieme A dei numeri (x) tali che x sia un numero primo si scrive: $P:=\{x:x$ è un numero primo$\}$ oppure $P:=\{x|x$ è un numero primo$\}$.

Nomenclatura

• Se A è un insieme, ed x appartiene a questo insieme scriveremo:

$x\in A$

che si legge: x appartiene ad A oppure ad A appartiene x

• Se, invece, x non appartiene all'insieme A scriveremo:

$x\notin A$

che si legge: x non appartiene ad A oppure ad A non appartiene x

• Dati gli insiemi A e B, diciamo che A è contenuto o incluso in B, o che B contiene o include A, quando ogni elemento di A è anche elemento di B, e useremo la notazione:

$A\subseteq B$ oppure $B\supseteq A$

in tal caso diremo che A è un sottoinsieme o una parte di B.

Osservazione:Fra i sottoinsiemi di B c'è ovviamente anche l'insieme B stesso.

• Per dire che A è un sottonsieme di B distinto da B, diciamo che A è un sottoinsieme proprio o parte propria; in questo caso esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A. Lo scriveremo così allora:

$A\subset B$ oppure $B\supset A$

e si dice che A è strettamente contenuto in B.

Ovviamente, se $A\supseteq B$ e $B\supseteq A$, gli insiemi A e B saranno coincidente, e dunque:

$A=B\!$

• Per denotare gli elementi a di un insieme A che hanno una certa proprietà ${\mathcal {P}}$, scriveremo:

$\left\{a\in A:{\mathcal {P}}\right\}$

la proprietà ${\mathcal {P}}$ è solitamente espressa da una proposizione, da una diseguaglianza, ecc., in armonia con la natura degli elementi che compongono l'insieme A.

Esempio

Se A è l'insieme costituito da tutte le rette del piano, e se r è una retta del piano, il sottoinsieme B di A formato da rette parallele a r si scrive:

$\{a\in A:$a parallela ad r $\}\!$

che si legge: l'insieme degli elementi appartenenti ad A tali che a è parallela ad r.

Talvolta possiamo rappresentare un insieme indicandone tutti gli elementi. Ad esempio l'insieme costituito da a, b, c, ... si scrive:

$\{a,b,c,...\}\!$

In particolare, il simbolo $\{a\}\!$ mostra l'insieme costituito solo dall'elemento a.

Insieme vuoto

Stando al significato di "insieme", non dovrebbe esistere un insieme in cui non sia presente nessun elemento. Quindi, ci è spesso più comodo indicare l'insieme vuoto, cioè quell'insieme che non contiene nessun elemento. È un simbolo puramente convenzionale e si indica con il simbolo $\emptyset$

Ad esempio, dati 3 punti di una circonferenza distinti a, b, c, per esprimere che non esiste nessuna retta del piano che passi per a, per b e per c contemporaneamente, possiamo dire che l'insieme delle rette passanti per a, b, c è vuoto.

Ancora un altro esempio. Abbiamo l'insieme $B=\{a,b,c\}$ e l'insieme $A=\{a,b,c\}$ e vogliamo trovare la loro differenza, avremo: $B-A=\emptyset$ ma si può scrivere anche ${\overline {A}}=\emptyset$ inoltre A e ${\overline {A}}$ sono fra loro complementari in B. E quindi possiamo dedurre le seguenti proprietà:

1. $A\cup {\overline {A}}=B$
2. $A\cap {\overline {A}}=\emptyset$
3. ${\overline {B}}=\emptyset$
4. ${\overline {\emptyset }}=B$
5. ${\overline {\overline {A}}}=A$

Leggi di De Morgan

Se prendiamo due insiemi qualsiasi allora valgono le seguenti uguaglianze:

1. ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$
2. ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$

Operazioni con gli insiemi

Intersezione tra insiemi

Si chiama intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B e si scrive:

$A\cap B:=\{x:(x\in A)\land (x\in B)\}$

Se dati due insiemi $A$ e $B$ risulta $A\cap B=\emptyset$ i due insiemi non hanno alcun elemento in comune, perciò si chiameranno insiemi disgiunti.

Unione tra insiemi

Si chiama unione di due insiemi A e B, l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A, B e si scrive:

$A\cup B:=\{x:(x\in A)\vee (x\not \in B)\}$.

Similmente, dati n insiemi $A_{1}$, $A_{2}$, ... $A_{n}$, si definiscono l'intersezione e l'unione di essi, che si scrivono rispettivamente:

$A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{n}$ e $A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n}$

oppure nella forma contratta:

$\bigcap _{k=1}^{n}A_{k}$ e $\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}$

che leggeremo intersezione di $A_{k}$ per k da 1 ad n, e unione di $A_{k}$ per k da 1 ad n. Da precisare che la $k$ è un paramentro che viene utilizzato convenzionalmente per indicare

$A_{1}\cup A_{2}\cup \dots A_{n}$.

Ovviamente, il concetto di intersezione e di unione si estende ad una moltitudine di insiemi. Ad esempio, se I è un insieme infinito, e se per ogni $k\in I$ vi sia un insieme $A_{k}$, scriveremo intersezione e unione:

$\bigcap _{k\in I}A_{k}$ e $\bigcup _{k\in I}A_{k}$

• Se $A_{1}$, $A_{2}$, ... sono sottinsiemi non vuoti dell'insieme A, a 2 a 2 disgiunti e aventi per unione proprio l'insieme A, diremo che $A_{1}$, $A_{2}$, ... sono una partizione di A.

Differenza tra insiemi

Si chiama differenza di due insiemi A e B, o complemento di B rispetto ad A, l'insieme degli elementi appartenenti ad A ma non a B, e lo scriveremo:

$A\setminus B:=\{x:(x\in A)\land (x\not \in B)\}$

Questa definizione non presuppone che $B\subseteq A$, in quanto:

$A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$

Esempio

Se $A=\{1,3,8,9\}\!$ e $B=\{1,5,8\}\!$ avremo:

$A\cap B=\{1,8\}\quad A\cup B=\{1,3,5,8,9\}$

$A\setminus B=\{3,9\}\quad B\setminus A=\{5\}$

Differenza simmetrica

L'operazione di differenza simmetrica tra due insiemi viene indicata mediante la notazione: $A\Delta B$ e da' come risultato un insieme costituito dagli elementi di $A$ non appartenenti a $B$ (cioè la differenza $A\setminus B$) e dagli elementi di $B$ non appartenenti ad $A$ (cioè la differenza $B\setminus A$). In notazione matematica scriveremo: $A\Delta B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

Prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B, non vuoti, si chiama prodotto cartesiano di A per B, l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (a, b) con $a\in A$ e $b\in B$

L'insieme si scrive:

$A\times B$

e si leggerà: prodotto cartesiano di A per B oppure A per B, oppure A cartesiano B.

L'elemento a si chiama prima coordinata (o componente), mentre b si chiama seconda coordinata (o componente).

Osservazioni

Si noti che il prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti e distinti non gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano di un insieme per l'insieme vuoto è l'insieme vuoto. Inoltre, se $A\neq B$, gli insiemi $A\times B$ e $B\times A$ non coincidono.

• Il prodotto cartesiano $A\times A$, si può scrivere come $A^{2}\!$.

Esempio

se $A=\{1,2,3\}\!$ e $B=\{a,b,c\}\!$ facendo il prodotto cartesiano $A\times B$, avremo le coppie ordinate:

$(1,a)\!$, $(1,b)\!$, $(1,c)\!$, $(2,a)\!$, $(2,b)\!$, $(2,c)\!$, $(3,a)\!$, $(3,b)\!$, $(3,c)\!$.

• Parlando in generale, chiameremo prodotto cartesiano di n insiemi non vuoti $A_{1}$, $A_{2}$, ... $A_{n}(n\geq 2)$, e lo scriveremo:

$A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}\!$

mentre l'insieme i cui elementi sono le n-ple ordinate:

$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\!$

con $a_{1}\in A_{1},a_{2}\in A_{2},\dots a_{n}\in A_{n}$.

Gli elementi $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ si chiamano rispettivamente prima, seconda, ..., n-esima coordinata (o componente). Il prodotto cartesiano di n insiemi tutti uguali ad A si indica come $A^{n}\!$. A tale simbolo si dà significato anche per $n=1$, convenendo di porre $A^{1}=A\!$

Proprietà degli insiemi

Le operazioni di inclusione ed intersezione tra insiemi godono di alcune proprietà qui sotto elencate:

• Idempotenza: $A\cup A=A$ per l'inclusione, mentre per l'intersezione $A\cap A=A$;
• Commutativa: $A\cup B=B\cup A$ invece $A\cap B=B\cap A$;
• Distributiva: $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ e $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$;
• Associativa: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ e $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$;
• Assorbimento: $A\cup (A\cap B)=A$ e $A\cap (A\cup B)=A$.