Analisi matematica I/Funzioni circolari

Circonferenza unitaria

La circonferenza unitaria , detta anche goniometrica è la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1.

Per brevità la indicheremo con $U=\{z\in \mathbb {C} \ :\ |u|=1\}$ la circonferenza unitaria e con $U^{+}$ la semicirconferenza unitaria formata dai complessi con parte immaginaria non negativa, cioè in altri termini primo e quatro quadrante.
Definiamo poi l' arco di estremi 1 e $v$ l'insieme dei punti di $U^{+}$ tali che la parte reale di ogni punto di questo insieme sia minore uguale di $v$.

Notiamo che per ogni punto di $U$ esiste un solo $\alpha \in U^{+}$ tale che $\alpha ^{2}=u$. Infatti se così non fosse, avremmo che $u^{2}-\alpha ^{2}=0$ e di conseguenza $(u-\alpha )(u+\alpha )=0$, che implica $u=\alpha$ o $u=-\alpha$. Ma per ipotesi $\alpha \in U^{+}$ e dunque non è possibile che anche $-\alpha \in U^{+}$ e dunque non può essere $u=-\alpha$ e così l'unicità è dimostrata.
Ponendo (sempre considerandoci in $U^{+}$

$\alpha ={\frac {1+u}{\left|1+u\right|}}$

si ha infatti:

$\left({\frac {1+u}{\left|1+u\right|}}\right)^{2}={\frac {\left(1+2u+u^{2}\right)^{2}}{\left({\sqrt {\Re ^{2}(1+u)+\Im ^{2}(1+u)}}\right)^{2}}}={\frac {1+2(a+ib)+a^{2}+2aib-b^{2}}{\left({\sqrt {(1+a)^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}$. Ora, ricordando che $a^{2}+b^{2}=1$ perché $\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1$ e sostituendo al numeratore $b^{2}$ con $a^{2}-1$, abbiamo

$={\frac {2a+2a^{2}+2ib(a+1)}{2+2a}}={\frac {(a+1)(a+ib)}{a+1}}=a+ib=u$.

Graficamente, $\alpha$ è il punto medio dell'arco da $1$ ad $u$.

Definiamo poi una successione $\alpha (u):\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ tale che

${\begin{cases}\alpha _{0}(u)=u\\\alpha _{n+1}(u)=\alpha (\alpha (n))\end{cases}}$.

In altri termini, abbiamo definito la successione "punto medio" di ogni segmento tale da creare segmenti sempre più piccoli avvicinandosi sempre di più alla circonferenza, per $n$ che tende all'infinito.

Definiamo un'altra successione estremamente importante: la successione "lunghezza dell'arco" da $1$ a $u$ come

$L_{n}:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$

$L_{n}(u)=2^{n}|\alpha (n)-1|$

cioè, la lunghezza dell'arco trovato per ogni $n\in \mathbb {N}$ applicato alla successione $\alpha$ comporta che il segmento disti $|\alpha (n)-1|$ e dunque, siccome sono $2^{n}$, la lunghezza dell'intero arco fino ad $u$ è data da $2^{n}|\alpha (n)-1|$. La figura sotto chiarisce meglio la situazione ad esempio, nel caso di $n=2$.

Poniamo infine $\pi :=L(-1)$ (in accordo con l'usuale conoscenza che abbiamo di $\pi$ come $180^{\circ }$.

Osservazioni sulla funzione lunghezza dell'arco

Vediamo ora alcuni aspetti importanti di $L(u)$ e di $\alpha (u)$.
Siano $u\in U^{+}$ e $v\in U\setminus \{0\}$. Si ha allora che

$\alpha (uv)=\alpha (u)\alpha (v)$.

Per definizione di $\alpha (u)$ sappiamo che è quell'unico elemento tale che $\alpha ^{2}(u)=u$. Notiamo però che $(\alpha (u)\alpha (v))^{2}=uv$ e dunque è quell'unico elemento in $U^{+}$ che elevato al quadrato da $uv$. Quindi è $\alpha (uv)$.

Inoltre, $L(uv)=L(u)+L(v)$. La dimostrazione la omettiamo per brevità, ma vi invitiamo a darci un'occhiata sul libro di testo che avete. Osserviamo solo che

$L(u)=\pi +L(-u),\ \ \forall u\in U\setminus U^{+}$

Infatti, nel caso $u\neq -1$, visto che $u\in U\setminus U^{+}$, $-u\in U^{+}$ e dunque

$L(u)=L((-1)(-u))=L(-1)+L(-u)=\pi +L(-u)$.

Proposizione (biiettività della funzione lunghezza dell'arco)

$L_{|_{U^{*}}}:U^{*}{\xrightarrow[{1-1}]{su}}[0,\pi ]$ e lo è anche $L:U{\xrightarrow[{1-1}]{su}}[0,2\pi [$

Non dimostreremo questa proposizione adesso in quanto si richiedono conoscenze di continuità e di connessione che vedremo più avanti. Per ora, accettate "con fiducia" quanto detto.

Per ogni $t\in [0,2\pi [$ poniamo

$e^{it}=L^{-1}(t),\ \ \ \forall t\in [0,2\pi [$

$e^{i(t-2k\pi )}=L^{-1}(t-2k\pi ),\ \ \ \forall t\in \mathbb {R}$

.

Essendo $e^{it}\in U$, possiamo porre

$\cos t=\Re e^{it}\ \ \ \ \ \sin t=\Im e^{it}$

Formula di Eulero

Dalla definizione di numero complesso, si ha: $e^{it}=\cos t+i\sin t,\ \ \ \forall t\in \mathbb {R}$