Principi di insiemistica e funzioni elementari
- Numeri naturali
- Numeri interi
- Numeri razionali
- Numeri reali
- Numeri reali (seconda parte)
- Numeri complessi
- Funzioni
- Funzioni circolari
- Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in
- Successioni reali
- Limiti di successioni reali
- Teoremi sulle successioni
- Algebra dei limiti delle successioni
- Esistenza del limite di una successione
- Limiti inferiori e superiori
- Forme indeterminate di successioni
- Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
- Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
- Compattezza di un insieme
- Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
- Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
- Algebra dei limiti
- Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
- Analisi matematica I/Funzioni monotone
- Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
- Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
- Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in e studio di funzioni
- Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
- Analisi matematica I/Algebra delle derivate
- Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
- Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
- Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
- Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
- Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
- Analisi matematica I/Integrale di Riemann
- Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
- Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
- Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
- Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
- Analisi matematica I/Successioni di funzioni
- Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
- Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
- Note storiche sugli insiemi
- I numeri reali
- I numeri complessi
- Sommatorie
- progressione geometrica
- fattoriale di n
- formula di Newton
- Potenze e radicali
- Esponenziali e logaritmi
- Insiemi infiniti
- Massimi e minimi
- Funzioni
Serie e successioni
- Successioni: definizione
- Limiti: definizione
- Successioni monotone
- Calcolo dei limiti
- Limite di successioni
- Il numero di Nepero (e)
- Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
- Limiti notevoli
- Serie numeriche: definizione
- Serie a termini non negativi
- Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
- Limiti di funzioni da R a R
- Limiti di funzioni da Rn a Rm
- Funzioni numeriche e generalità
- Grafico di una funzione
- Funzioni limitate
- Funzioni simmetriche, pari e dispari
- Funzioni monotone
- Funzioni periodiche
- Limiti, continuità, asintoti
- Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
- Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
- Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Introduzione
- Il rapporto incrementale
- Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
- Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
- Le derivate fondamentali
- Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
- Il teorema di de L’Hospital
- Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
- o piccolo
- Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
- Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
- Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
- L’integrale come limite di somme
- Proprietà dell'integrale
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodo di ricerca della primitiva
- Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
- Funzioni integrabili
- integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
- Integrazione di funzioni non limitate
- Criteri di integrabilità al finito
- Integrazione su intervalli illimitati
- Criteri di integrabilità all’infinito
- Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
- Integrazione delle funzioni trigonometriche
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Successione convergente[modifica]
Una successione tende a per che tende a infinito se
oppure equivalentemente
Cioè mano a mano che cresce il contatore della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale . Per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale , per un sufficientemente grande (più grande di un altro valore ) la differenza tra la successione ed il limite della successione è proprio , cioè un valore anche infinitamente piccolo.
Quando questo accade, e non succede infatti per tutte le successioni, si dice che la successione converge a e è il suo limite (sempre per che tende all'infinito).
Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.
- 1. Proviamo che , cioè proviamo la veridicità della definizione:
- Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo , deve esistere un tale che
- .
Ci basta prendere come un numero più grande di e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque abbiamo che e abbiamo finito.
Successioni divergenti[modifica]
La successione reale si dice divergente se
- .
In particolare si hanno le seguenti definizioni:
- se e solo se
- se e solo se
Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.
1. Il primo esempio che andremo a prendere in considerazione è , andremo a dimostrare che
- Fissiamo , il nostro obiettivo è quello di determinare un numero naturale tale che per ogni si ha che . Banalmente è sufficiente prendere , di conseguenza per si ha anche (si tenga conto della catena di disuguaglianze )
2. Mostreremo ora che
- Fissiamo , come nel caso precedente determineremo un numero naturale tale che per ogni si ha che . Da segue che , in questo caso, quindi, il candidato è il più piccolo numero naturale più grande di . Se , si ha che per ogni (si tenga conto della catena di disuguaglianze ). Avendo mostrato l'esistenza di questo numero naturale abbiamo fatto vedere che la successione considerata diverge positivamente.
Successioni regolari e irregolari[modifica]
L'esistenza del limite non è assicurata per ogni successione, pertanto è utile effettuare una distinzione tra le successioni che hanno limite e quelli che non lo hanno.
Definizione
- Una successione reale
In generale non è semplice capire se una successione non ha limite, e tuttora non abbiamo i mezzi per verificarne la regolarità. Interverranno però dei teoremi che ci permetteranno di giungere a delle conclusioni.
Teorema di unicità del limite[modifica]
Data una successione tale che esiste il allora il limite è unico.
Dimostrazione
- Il nostro scopo è quello di far vedere che se e allora
- Per ipotesi abbiamo che dato riusciamo a determinare:
- un tale che abbiamo che
- un tale che abbiamo che .
- Consideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto, chiamando
- .
- Abbiamo fatto vedere che è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che
- , i limiti devono necessariamente coincidere.
Criteri di convergenza per una successione[modifica]
Sottosuccessione
Sia
una successione reale, sia inoltre
una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè
per ogni
, diremo che
è una
sottosuccessione della successione
.
Teorema (convergenza di una sottosuccessione)[modifica]
Sia una successione convergente a . Allora ogni sottosuccessione è convergente a .
- Se converge a , per definizione di limite, si ha che:
- Fissato esiste
- Osserviamo ora che valgono le due condizioni
- Se così non fosse allora non sarebbe una sottosuccessione. Dall'osservazione è chiaro che se allora :. Pertanto per lo stesso
- .
- Il candidato m che realizza la disuguaglianza è lo stesso che realizza la disuguaglianza .
- Dall'arbitrarietà di abbiamo la tesi.
Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)[modifica]
Se è una successione divergente positivamente (negativamente), allora ogni sottosuccessione è anch'essa divergente positivamente (negativamente).
- La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.
- Per fissare le idee, prendiamo il caso di . Allora, per definizione di successione divergente:
- Anche qui , pertanto di conseguenza .
- Dunque, se diverge positivamente per ogni , a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione.
Il ragionamento è analogo nel caso in cui la successione in questione è divergente negativamente, i dettagli vengono lasciati per esercizio allo studente volenteroso.
Solitamente i due teoremi appena enunciati vengono accorpati in un unico enunciato:
- Se una successione reale è regolare allora ogni sua sottosuccessione è regolare e i loro limiti coincidono.
Osservazione fondamentale: I risultati appena ottenuti sono essenziali per dimostrare che una successione è irregolare (non ammette limite), infatti i teoremi di convergenza e di divergenza delle sottosuccessione possono essere applicati al negativo. Nelle applicazioni sono più utili le loro contronominali.
Contronominale del Teorema di convergenza delle sottosuccessioni
- Sia una successione reale. Se esistono due sottosuccessioni tali che
- con allora la successione non ammette limite.
Vedremo esplicitamente come utilizzare la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni per dimostrare che una successione non ammette limite.
- Consideriamo la successione reale e osserviamo che essa assume i valori -1, se è dispari, 1 se è pari.
- Se prendiamo e abbiamo che:
- .
- Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
- I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione non ammette limite.
- Consideriamo la successione reale . Per c
- Se prendiamo e abbiamo che:
- .
- Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
- I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione non ammette limite.