Principi di insiemistica e funzioni elementari
Numeri naturali
Numeri interi
Numeri razionali
Numeri reali
Numeri reali (seconda parte)
Numeri complessi
Funzioni
Funzioni circolari
Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Successioni reali
Limiti di successioni reali
Teoremi sulle successioni
Algebra dei limiti delle successioni
Esistenza del limite di una successione
Limiti inferiori e superiori
Forme indeterminate di successioni
Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
Compattezza di un insieme
Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
Algebra dei limiti
Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
Analisi matematica I/Funzioni monotone
Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
e studio di funzioni
Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
Analisi matematica I/Algebra delle derivate
Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
Analisi matematica I/Integrale di Riemann
Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
Analisi matematica I/Successioni di funzioni
Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
Note storiche sugli insiemi
I numeri reali
I numeri complessi
Sommatorie
progressione geometrica
fattoriale di n
formula di Newton
Potenze e radicali
Esponenziali e logaritmi
Insiemi infiniti
Massimi e minimi
Funzioni
Serie e successioni
Successioni: definizione
Limiti: definizione
Successioni monotone
Calcolo dei limiti
Limite di successioni
Il numero di Nepero (e)
Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
Limiti notevoli
Serie numeriche: definizione
Serie a termini non negativi
Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
Limiti di funzioni da R a R
Limiti di funzioni da Rn a Rm
Funzioni numeriche e generalità
Grafico di una funzione
Funzioni limitate
Funzioni simmetriche, pari e dispari
Funzioni monotone
Funzioni periodiche
Limiti, continuità, asintoti
Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Introduzione
Il rapporto incrementale
Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
Le derivate fondamentali
Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
Il teorema di de L’Hospital
Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
o piccolo
Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
L’integrale come limite di somme
Proprietà dell'integrale
Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Metodo di ricerca della primitiva
Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
Funzioni integrabili
integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
Integrazione di funzioni non limitate
Criteri di integrabilità al finito
Integrazione su intervalli illimitati
Criteri di integrabilità all’infinito
Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
Integrazione delle funzioni trigonometriche
Modifica il sommario
L'insieme dei numeri complessi , denotato con
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, è un anello così composto:
C
:=
(
R
×
R
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle \mathbb {C} :=(\mathbb {R} \times \mathbb {R} ,+,\cdot )}
cioè è un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto (di coppie di numeri reali).
Queste operazioni sono definite nel modo seguente,
∀
(
x
,
y
)
,
(
x
′
,
y
′
)
∈
C
{\displaystyle \forall (x,y),(x',y')\in \mathbb {C} }
e
x
,
x
′
,
y
,
y
′
∈
R
{\displaystyle x,x',y,y'\in \mathbb {R} }
:
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
=
(
x
+
x
′
,
y
+
y
′
)
(
x
,
y
)
⋅
(
x
′
,
y
′
)
=
(
x
x
′
−
y
y
′
,
x
y
′
+
y
x
′
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')\\(x,y)\cdot (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')\end{array}}}
In definitiva,
(
C
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\cdot )}
è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma vi invitiamo a farla come esercizio.
Poniamo
R
∗
:=
{
(
x
,
0
)
,
x
∈
R
}
⊂
C
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}:=\{(x,0),\ x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {C} }
. È immediato verificare che
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
è un sottocampo di
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, ma la cosa interessante è che
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
è isomorfo a
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, dunque in particolare esiste una funzione
f
:
R
→
R
∗
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{*}}
tale che
f
(
x
)
=
(
x
,
0
)
{\displaystyle f(x)=(x,0)}
. Quindi
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
con
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
e dunque,
(
x
,
0
)
=
x
,
∀
x
∈
R
{\displaystyle (x,0)=x,\ \forall x\in \mathbb {R} }
.
Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso
i
:=
(
0
,
1
)
{\displaystyle i:=(0,1)}
.
Con la definizione che abbiamo dato di
i
{\displaystyle i}
, possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica , cioè
(
x
,
y
)
=
x
+
i
y
{\displaystyle (x,y)=x+iy}
Infatti:
(
x
,
y
)
=
(
x
,
0
)
+
(
0
,
y
)
=
(
x
,
0
)
+
(
0
,
1
)
(
y
,
0
)
=
x
+
i
y
{\displaystyle (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy}
L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi:
i
{\displaystyle i}
è una radice dell'equazione
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+1=0}
.
Infatti:
i
2
=
(
0
,
1
)
(
0
,
1
)
=
(
−
1
,
0
)
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1}
.
Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
. Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.
Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe
a
a
=
a
2
≥
0
,
∀
c
=
a
≥
0
∈
C
{\displaystyle aa=a^{2}\geq 0,\ \forall c=a\geq 0\in \mathbb {C} }
.
dunque non esiste in
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
una radice negativa e questo è falso, perché
i
2
=
−
1
<
0
{\displaystyle i^{2}=-1<0}
.
◻
{\displaystyle \Box }
Consideriamo un numero complesso
x
+
i
y
{\displaystyle x+iy}
. Si definisce
x
=:
ℜ
(
x
+
i
y
)
{\displaystyle x=:\Re (x+iy)}
parte reale
y
=:
ℑ
(
x
+
i
y
)
{\displaystyle y=:\Im (x+iy)}
parte immaginaria
x
−
i
y
=:
x
+
i
y
¯
{\displaystyle x-iy=:{\overline {x+iy}}}
coniugato di
x
+
i
y
{\displaystyle x+iy}
a
+
b
¯
=
a
¯
+
b
¯
{\displaystyle {\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}}
a
b
¯
=
a
¯
b
¯
{\displaystyle {\overline {ab}}={\overline {a}}{\overline {b}}}
a
+
a
¯
=
2
ℜ
(
a
)
{\displaystyle a+{\overline {a}}=2\Re (a)}
a
−
a
¯
=
2
i
ℑ
(
a
)
{\displaystyle a-{\overline {a}}=2i\Im (a)}
a
a
¯
=
(
ℜ
(
a
)
)
2
+
(
ℑ
(
a
)
)
2
{\displaystyle a{\overline {a}}=\left(\Re (a)\right)^{2}+\left(\Im (a)\right)^{2}}
a
¯
¯
=
a
{\displaystyle {\overline {\overline {a}}}=a}
Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
a
+
a
¯
=
(
x
+
i
y
)
+
(
x
−
i
y
)
=
2
x
=
2
ℜ
(
a
)
{\displaystyle a+{\overline {a}}=(x+iy)+(x-iy)=2x=2\Re (a)}
Definiamo il valore assoluto di
a
∈
C
{\displaystyle a\in \mathbb {C} }
|
a
|
=
a
a
¯
=
(
ℜ
a
)
2
+
(
ℑ
a
)
2
=
|
a
¯
|
∈
R
{\displaystyle |a|={\sqrt {a{\overline {a}}}}={\sqrt {(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}}}=|{\overline {a}}|\in \mathbb {R} }
Tenete presente che
a
a
¯
=
(
ℜ
a
)
2
+
(
ℑ
a
)
2
∈
R
{\displaystyle a{\overline {a}}=(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}\in \mathbb {R} }
e
(
ℜ
a
)
2
+
(
ℑ
a
)
2
≥
0
{\displaystyle (\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}\geq 0}
. Questo ne garantisce l'esistenza.
TODO
Da fare: dimostrarlo brevemente