Analisi matematica I/Numeri complessi

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Indice del libro

Insieme dei numeri complessi[modifica]

L'insieme dei numeri complessi, denotato con , è un anello così composto:

cioè è un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto (di coppie di numeri reali). Queste operazioni sono definite nel modo seguente, e :

In definitiva, è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma vi invitiamo a farla come esercizio.

come sottocampo di [modifica]

Poniamo . È immediato verificare che è un sottocampo di , ma la cosa interessante è che è isomorfo a , dunque in particolare esiste una funzione tale che . Quindi è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo con e dunque,

.

Unità immaginaria[modifica]

Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

.

Con la definizione che abbiamo dato di , possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

Infatti:

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi: è una radice dell'equazione

.

Infatti:

.

Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di . Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in )[modifica]

non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine tale che



Dimostrazione[modifica]

Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe

.

dunque non esiste in una radice negativa e questo è falso, perché .


Parte reale e parte immaginaria[modifica]

Consideriamo un numero complesso . Si definisce

  • parte reale
  • parte immaginaria
  • coniugato di

Proposizione (algebra dei coniugati)[modifica]

Dimostrazione[modifica]

Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.

Valore assoluto di un numero complesso[modifica]

Definiamo il valore assoluto di

Tenete presente che e . Questo ne garantisce l'esistenza.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)[modifica]

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)

Dimostrazione[modifica]
TODO

Da fare:
dimostrarlo brevemente