Analisi matematica I/Successioni

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Principi di insiemistica e funzioni elementari

  1. Numeri naturali
  2. Numeri interi
  3. Numeri razionali
  4. Numeri reali
  5. Numeri reali (seconda parte)
  6. Numeri complessi
  7. Funzioni
  8. Funzioni circolari
  9. Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Le successioni e le serie numeriche in

  1. Successioni reali
  2. Limiti di successioni reali
  3. Teoremi sulle successioni
  4. Algebra dei limiti delle successioni
  5. Esistenza del limite di una successione
  6. Limiti inferiori e superiori
  7. Forme indeterminate di successioni
  8. Serie numeriche

Limiti di funzioni reali a una variabile reale

  1. Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
  2. Compattezza di un insieme
  3. Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
  4. Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
  5. Algebra dei limiti
  6. Teorema del confronto e teorema di Cauchy

Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità

  1. Analisi matematica I/Funzioni monotone
  2. Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
  3. Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
  4. Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue


Calcolo differenziale in e studio di funzioni

  1. Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
  2. Analisi matematica I/Algebra delle derivate
  3. Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
  4. Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
  5. Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
  6. Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
  7. Analisi matematica I/Funzioni convesse

Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale

  1. Analisi matematica I/Integrale di Riemann
  2. Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
  3. Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
  4. Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
  5. Analisi matematica I/Integrale generalizzato

Successioni e serie di funzioni

  1. Analisi matematica I/Successioni di funzioni
  2. Analisi matematica I/Serie di funzioni


VECCHIO Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Limiti: definizione
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Introduzione
  2. Il rapporto incrementale
  3. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  4. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  5. Le derivate fondamentali
  6. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  7. Il teorema di de L’Hospital
  8. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  9. o piccolo
  10. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  11. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  12. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche

In matematica, una successione può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-mo termine per ogni intero n.


Successioni[modifica]

Una funzione , dove è un insieme non banale, si dice successione in e si usa denotarla con

o equivalentemente

.

Osserviamo che il dominio delle successioni non è necessariamente , è sufficiente prendere un suo sottoinsieme numerabile.

Una successione reale

  • si dice positiva se si ha che
  • si dice non negativa se si ha che
  • si dice negativa se si ha che .
  • si dice non positiva se si ha che

E' bene mettere in evidenza il fatto che esistono successioni che hanno segno variabile, alcuni termini della successione sono positivi mentre altri sono negativi. Ricoprono un ruolo importante le successioni a segno alterno:

  • Una successione si dice a segni alterni se si ha che .

Esempi[modifica]

è una successione ed è del tipo . La successione è positiva

è una successione ed è del tipo . Questa successione, a differenza della precedente, è negativa.

è una successione ed è del tipo . Questa successione è a segno variabile, in particolare è a segni alterni.

è una successione ed è del tipo . Questa successione è a segno variabile.

Successioni monotòne[modifica]

Una successione reale si dice

  • monotona crescente se
  • monotona descrescente se
  • monotona strettamente crescente se
  • monotona strettamente descrescente se

Attenzione, esistono successioni che non rispettano le condizioni precedenti, hanno cioè un andamento variabile. Per fissare le idee su queste definizioni facciamo alcuni esempi.

Esempi[modifica]

  • è una successione strettamente crescente, infatti, da segue immediatamente che cioè per ogni naturale.
  • è una successione strettamente crescente. Per verificarlo, ci chiediamo per quali numeri naturali viene verificata la disuguaglianza .
ma questa è sempre verificata in .
Un altro modo per giungere alla stessa conclusione è il seguente:
Il termine n-esimo della successione può essere riscritto come . Osserviamo ora che
cioè per ogni naturale
  • è una successione strettamente decrescente, infatti, da segue immediatamente che pertanto per ogni naturale pertanto .

Successioni limitate[modifica]

Una successione reale è

  • limitata superiormente se tale che si ha che
  • limitata inferiormente se tale che si ha che
  • limitata se è limitata superiormente e inferiormente, cioè:
1) se tali che si ha
o equivalentemente
2) se con tale che si ha che .

Mostriamo la completa equivalenza della definizioni 1) e 2).

1) 2)

Se per ogni naturale si ha che , con , ponendo si ha che per ogni naturale che è la definzione 2).

2) 1)

Se per ogni naturale con allora . Se si pone e allora per ogni si ha che che è la definizione 1).


Vedremo ora alcuni esempi di successioni limitate:

Esempi[modifica]

1. La successione è limitata infatti , le costanti in questo caso sono

2. La successione è limitata inferiormente ma non superiormente infatti , la costante che limita inferiormente la successione è .

3. La successione è limitata superiormente ma non inferiormente infatti , la costante che limita superiormente la successione è

Successioni illimitate[modifica]

Una successione reale si dice

  • illimitata superiormente se per ogni numero reale esiste , dipendente da tale che per ogni
  • illimitata inferiormente se per ogni numero reale esiste , dipendente da tale che per ogni .
  • illimitata se per ogni numero reale esiste , dipendente da tale che per ogni .

Esempi[modifica]

1. La successione è illimitata superiormente infatti fissato esiste un naturale tale che . Basta prendere , dove indica la funzione parte intera.

Sottosuccessione[modifica]

Sia una successione reale, sia inoltre una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè per ogni , diremo che è una sottosuccessione della successione . In modo informale, possiamo asserire che una sottosuccessione di una successione data è una nuova successione che è formata dalla successione originale a cui sono stati tolti alcuni elementi, senza modificare la posizione relativa degli elementi rimanenti. Va da sè che, data una successione, le sottosuccessioni estraibili da essa sono infinite.

Esempi[modifica]

1. La successione è una sottosuccessione di , in questo caso infatti la successione di indici

2. La successione costante è una sottosuccessione di , la successione di indici è

3. La successione costante è un'altra sottosuccessione di , la successione di indici è

Esercizi e test[modifica]

Ora tocca a te, rispondi alle seguenti domande nel minor tempo possibile (max 20 minuti), ovviamente in modo corretto. Attenzione, le domande 4, 5, 6, hanno più di una risposta esatta.