Analisi matematica I/Numeri reali (seconda parte)

I numeri reali

Proprietà di $\mathbb {R}$

1. $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )$ è un campo commutativo e totalmente ordinato.
2. $(\mathbb {R} ,\leq )$ è completo.

La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutative e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato $A\subseteq \mathbb {R}$, esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

Valore assoluto

Sia $x\in \mathbb {R}$. Si definisce il valore assoluto (o modulo) di $x$ il numero reale denotato con $|x|$ tale che

$|x|=\max\{x,-x\}$.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)

$\forall x\in \mathbb {R}$, si ha

1. $\pm x\leq |x|$
2. $|x|\geq 0$
3. $|xy|=\left|x\right|\left|y\right|$
4. $|x+y|\leq \left|x\right|+\left|y\right|$ (disuguaglianza triangolare)

Dimostrazione

Le proprietà 1 e 3 sono molto facili e ne omettiamo la dimostrazione per brevità.
La 2 afferma che il valore assoluto è sempre non negativo. Infatti:

• $|x|=0\Leftrightarrow \max\{x,-x\}=0$
• $|x|<0\Rightarrow \max\{x,-x\}<0$ ed è ovviamente assurdo, perché se $x$ è positivo, il massimo tra $x$ e $-x$ è $x>0$. Se $x$ è negativo, il massimo tra $x<0$ e $-x>0$ è $-x$, che è appunto maggiore di 0.

Riguardo alla disuguaglianza triangolare, abbiamo:

• se uno dei due è nullo (ad esempio $y$ otteniamo

$|x+y|=|x|$

• altrimenti

$|x+y|\leq \left|x\right|+\left|y\right|\Leftrightarrow |x+y|^{2}\leq (\left|x\right|+\left|y\right|)^{2}\Leftrightarrow |x|^{2}+2xy+|y|^{2}\leq |x|^{2}+2|xy|+|y|^{2}$

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Parte intera

Sia $x\in \mathbb {R}$. Si definisce parte intera di $x\,$ il numero intero, denotato con $[x]\,$, tale che:

$[x]=\max\{a\in \mathbb {Z} |a\leq x\}$.

Mantissa

Sia $x\in \mathbb {R}$ e $[x]\,$ parte intera di $x\,$. Si definisce il mantissa di $x\,$ il numero reale, denotato con $(x)\,$, tale che:

$(x)=x-[x]\,$

Induzione matematica e insiemi induttivi

Consideriamo un insieme $I\subseteq \mathbb {R}$. Si dice induttivo se

1. $1\in I$
2. $x\in I\Rightarrow x+1\in I$

Denotiamo con ${\mathcal {I}}$ l'insieme di tutti i sottoinsiemi induttivi di $\mathbb {R}$.

Insieme dei numeri naturali

$\mathbb {N} =\{x\in \mathbb {R} \ :\ x\in I,\forall I\in {\mathcal {I}}\}$

In altre parole, $\mathbb {N}$ è il più piccolo degli insiemi induttivi.

Teorema (principio di induzione matematica)

Sia $P(n)$ una proposizione logicamente significativa. Se

1. $P(1)$ è vera
2. $P(n)\Rightarrow P(n+1)$

allora $P(n)$ è vera per ogni $n\in \mathbb {N}$.

Dimostrazione

Sia $M\subseteq \mathbb {N}$ l'insieme degli $n\in \mathbb {N}$ per cui valgano le condizioni 1 e 2. $M$ è allora un insieme induttivo e sappiamo che $\mathbb {N}$ è il più piccolo degli insiemi induttivi, dunque $\mathbb {N} \subseteq M$. D'altra parte si ha, per ipotesi, che $M\subseteq \mathbb {N}$. Dunque $M=\mathbb {N}$.

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Importanti considerazioni finali

Lemma

$\mathbb {N}$ non è superiormente limitato.

Dimostrazione del Lemma

Infatti, se lo fosse, per la completezza di $\mathbb {R}$ esisterebbe un reale $m$ tale che $m=\sup \mathbb {N}$. Però, siccome $m$ è il minore di tutti i maggioranti, $m-1$ non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno $n\in \mathbb {N}$ si ha che $m-1<n$ e dunque $m<n+1\in \mathbb {N}$ e abbiamo finito, perché l'ipotesi che $m$ sia un maggiorante è contraddetta.

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Teorema (proprietà di Archimede)

$\mathbb {R}$ è archimedeo, cioè

$\forall x>0,y\in \mathbb {R} \exists n\in \mathbb {N} \ :\ nx>y$

Dimostrazione

Per assurdo, $nx\leq y,\ \forall n\in \mathbb {N}$. Dunque $n\leq {\frac {y}{x}}$ ed $\mathbb {N}$ sarebbe superiormente limitato. Impossibile.

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Teorema (densità dei razionali nei reali)

Siano $x,y\in \mathbb {R} \$ e sia $x<y$, allora $\exists z\in \mathbb {Q} \ :\ x<z<y$

Dimostrazione

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che $x<y$ da cui si evince facilmente che $y-x>0$. Poniamo, per alleggerire le notazioni, $t=y-x$. Poiché $\mathbb {R}$ è archimedeo allora esisterà un $n\in \mathbb {N}$ tale che

$nt>1\,\!$ e quindi $t>{\frac {1}{n}}$

. Sia ora

$m=[nx]+1\in \mathbb {Z}$, vale $[nx]\leq nx<[nx]+1=m\,\!$ da cui ${\frac {[nx]}{n}}\leq x<{\frac {m}{n}}$

. Osserviamo ora che $y$ può essere riespresso come

$y=x+t>x+{\frac {1}{n}}\geq {\frac {[nx]}{n}}+{\frac {1}{n}}={\frac {m}{n}}$

. Deduciamo quindi che

$x<{\frac {m}{n}}<y$

con $m,n\in \mathbb {Z}$ e di conseguenza ${\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$.

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