Analisi matematica I/Numeri reali (seconda parte)

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Indice del libro

I numeri reali[modifica]

Proprietà di [modifica]

  1. è un campo commutativo e totalmente ordinato.
  2. è completo.

La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutative e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato , esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

Valore assoluto[modifica]

Sia . Si definisce il valore assoluto (o modulo) di il numero reale denotato con tale che

.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)[modifica]

, si ha

  1. (disuguaglianza triangolare)
Dimostrazione[modifica]

Le proprietà 1 e 3 sono molto facili e ne omettiamo la dimostrazione per brevità.
La 2 afferma che il valore assoluto è sempre non negativo. Infatti:

  • ed è ovviamente assurdo, perché se è positivo, il massimo tra e è . Se è negativo, il massimo tra e è , che è appunto maggiore di 0.

Riguardo la disuguaglianza triangolare, abbiamo:

  • se uno dei due è nullo (ad esempio otteniamo
  • altrimenti


Parte intera[modifica]

Sia . Si definisce parte intera di il numero intero, denotato con , tale che:

.

Mantissa[modifica]

Sia e parte intera di . Si definisce il mantissa di il numero reale, denotato con , tale che:

Induzione matematica e insiemi induttivi[modifica]

Consideriamo un insime . Si dice induttivo se

Denotiamo con l'insieme di tutti i sottoinsiemi induttivi di .

Insieme dei numeri naturali[modifica]

In altre parole, è il più piccolo degli insiemi induttivi.

Teorema (principio di induzione matematica)[modifica]

Sia una proposizione logicamente significativa. Se

  1. è vera

allora è vera per ogni .

Dimostrazione[modifica]

Sia l'insieme degli per cui valgano le condizioni 1 e 2. è allora un insieme induttivo e sappiamo che è il più piccolo degli insiemi induttivi, dunque . D'altra parte si ha, per ipotesi, che . Dunque .


Importanti considerazioni finali[modifica]

Lemma[modifica]

non è superiormente limitato.

Dimostrazione del Lemma[modifica]

Infatti, se lo fosse, per la completezza di esisterebbe un reale tale che . Però, siccome è il minore di tutti i maggioranti, non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno si ha che e dunque e abbiamo finito, perché l'ipotesi che sia un maggiorante è contraddetta.


Teorema (proprietà di Archimede)[modifica]

è archimedeo, cioè

Dimostrazione[modifica]

Per assurdo, . Dunque ed sarebbe superiormente limitato. Impossibile.


Teorema (densità dei razionali nei reali)[modifica]

Siano e sia , allora
Dimostrazione[modifica]

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che da cui si evince facilmente che . Poniamo, per alleggerire le notazioni, . Poiché è archimedeo allora esisterà un tale che

e quindi

. Sia ora

, vale da cui

. Osserviamo ora che può essere riespresso come

. Deduciamo quindi che

con e di conseguenza .