Analisi matematica I/Esistenza del limite di una successione

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Successioni monotone[modifica]

Sia una successione reale tale che

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

  • si dice monotona decrescente;
  • si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo o per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)[modifica]

Sia una successione monotona. Allora ammette limite e

(i)

(ii)

Dimostrazione[modifica]

(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di , sappiamo che esiste . Sia .

Allora





Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,



e siccome la successione è crescente, e quindi .
Dunque abbiamo verificato che:

Ossia la tesi.

2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè . Analogamente a prima, abbiamo che .

Sempre per la monotonia di , sappiamo che anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

Dunque la successione è divergente e

(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità.


Teorema (di Bolzano-Weiestrass)[modifica]

Si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.

Dimostrazione[modifica]
TODO

Da fare:
problemi con la dimostrazione poco chiara