Principi di insiemistica e funzioni elementari
- Numeri naturali
- Numeri interi
- Numeri razionali
- Numeri reali
- Numeri reali (seconda parte)
- Numeri complessi
- Funzioni
- Funzioni circolari
- Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in
- Successioni reali
- Limiti di successioni reali
- Teoremi sulle successioni
- Algebra dei limiti delle successioni
- Esistenza del limite di una successione
- Limiti inferiori e superiori
- Forme indeterminate di successioni
- Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
- Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
- Compattezza di un insieme
- Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
- Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
- Algebra dei limiti
- Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
- Analisi matematica I/Funzioni monotone
- Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
- Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
- Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in
e studio di funzioni
- Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
- Analisi matematica I/Algebra delle derivate
- Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
- Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
- Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
- Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
- Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
- Analisi matematica I/Integrale di Riemann
- Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
- Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
- Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
- Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
- Analisi matematica I/Successioni di funzioni
- Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
- Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
- Note storiche sugli insiemi
- I numeri reali
- I numeri complessi
- Sommatorie
- progressione geometrica
- fattoriale di n
- formula di Newton
- Potenze e radicali
- Esponenziali e logaritmi
- Insiemi infiniti
- Massimi e minimi
- Funzioni
Serie e successioni
- Successioni: definizione
- Limiti: definizione
- Successioni monotone
- Calcolo dei limiti
- Limite di successioni
- Il numero di Nepero (e)
- Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
- Limiti notevoli
- Serie numeriche: definizione
- Serie a termini non negativi
- Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
- Limiti di funzioni da R a R
- Limiti di funzioni da Rn a Rm
- Funzioni numeriche e generalità
- Grafico di una funzione
- Funzioni limitate
- Funzioni simmetriche, pari e dispari
- Funzioni monotone
- Funzioni periodiche
- Limiti, continuità, asintoti
- Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
- Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
- Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Introduzione
- Il rapporto incrementale
- Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
- Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
- Le derivate fondamentali
- Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
- Il teorema di de L’Hospital
- Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
- o piccolo
- Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
- Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
- Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
- L’integrale come limite di somme
- Proprietà dell'integrale
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodo di ricerca della primitiva
- Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
- Funzioni integrabili
- integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
- Integrazione di funzioni non limitate
- Criteri di integrabilità al finito
- Integrazione su intervalli illimitati
- Criteri di integrabilità all’infinito
- Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
- Integrazione delle funzioni trigonometriche
Modifica il sommario
Sia
una successione reale tale che
![{\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1},\ \ \forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104f3e2bc64e7f4d07a4881f59f0ab8b3c9dac80)
Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se
si dice monotona strettamente crescente
Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:
si dice monotona decrescente;
si dice monotona strettamente decrescente;
Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo
o
per indicare una successione monotona crescente e decrescente.
Vediamo ora un importante teorema.
(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di
, sappiamo che esiste
. Sia
.
Allora
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,a_{n}-\lambda <\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5242bb006d592cf39aaacd1fe1dfa5805785d1)
Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :a_{m}+\varepsilon >\lambda ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a9aa10cfc3d1dfd1aa697008df87953190f6d4)
e siccome la successione è crescente,
e quindi
.
Dunque abbiamo verificato che:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :|a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f0afd5991f89abbfebb4e277db4987f8b78ced)
Ossia la tesi.
2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè
. Analogamente a prima, abbiamo che
.
Sempre per la monotonia di
, sappiamo che
anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque
![{\displaystyle \forall k\in \mathbb {R} \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a016f399c5785e4065bb0d10195b0b9c1f46b1d)
Dunque la successione è divergente e
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07f9fde6349ff3141b62f890487f29b94b8977b)
(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Esempio (il numero di Nepero)
(esercizio su nepero)
Si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.
TODO
Da fare:
problemi con la dimostrazione poco chiara