Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali

In analisi matematica per studio di funzione s'intende quell'insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare una funzione $f(x)\colon I\to \mathbb {R}$, con $I$ un sottoinsieme di $\mathbb {R}$, al fine di determinarne alcune caratteristiche qualitative. Uno studio di funzione correttamente condotto permette di tracciare il grafico della funzione.

Grafico della funzione $y=e^{5x-3x^{2}}-x^{3}$, realizzato con Derive 5

Insieme di definizione

Per determinare l'insieme di definizione $I$ di una funzione assegnata in termini di funzioni elementari, a meno di indicazioni esplicite, si deve individuare il sottoinsieme dei numeri reali più esteso entro il quale l'espressione che la definisce non perda di senso. In particolare tra le funzioni elementari:

• le frazioni devono avere denominatore diverso da zero, ovvero per poter scrivere ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ serve $g(x)\neq 0$;
• le radici di indice pari devono avere radicando non negativo, ovvero per poter scrivere ${\sqrt[{2n}]{f(x)}}$ serve $f(x)\geqslant 0$;
• i logaritmi devono avere argomento strettamente positivo e base strettamente positiva e diversa da 1, ovvero per poter scrivere $\log _{f(x)}g(x)$ servono $f(x)>0$, $f(x)\neq 1$ e $g(x)>0$

Ad esempio, $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ ha senso solo per $\cos(x)\neq 0$.

Simmetrie e periodicità

Si cercano quindi eventuali simmetrie (solo rispetto a 0) o periodicità.

Se il dominio della funzione è simmetrico rispetto a 0, allora

• se $f(x)=f(-x)$ allora la funzione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate (asse $y$)
• se $f(-x)=-f(x)$ allora la funzione è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine $O\equiv (0,0)$

In entrambi i casi la costruzione di metà del grafico permette di costruire l'altra metà. Si tralasciano però altre possibili simmetrie assiali o centrali del grafico.

Se per qualche numero reale $T>0$ e per ogni elemento $x$ dell'insieme di definizione si ha che la funzione è ancora definita in $x+T$, con $f(x+T)=f(x)$, allora la funzione è periodica di periodo $T$. In questo caso la costruzione del grafico su un intervallo $[0,T[$ permette di costruire tutto il grafico.

Continuità / discontinuità della funzione

Come per la determinazione dell'insieme di definizione, si può procedere a determinare gli intervalli di continuità della funzione.

A questo scopo, poiché la composizione di funzioni continue è continua e molte funzioni elementari sono continue quasi ovunque, in molti esercizi assegnati lo studio della continuità di una funzione si riduce allo studio della continuità in alcuni punti.

Calcolo dei limiti

Si studia quindi il comportamento della funzione nella frontiera (cioè agli estremi) degli intervalli di continuità della funzione (frontiera che contiene la frontiera dell'insieme di definizione).

In particolare, per ognuno di questi intervalli si possono cercare i limiti

• per $x$ che tende ad un estremo sinistro, da destra
• per $x$ che tende ad un estremo destro, da sinistra.

Questi calcoli permettono di determinare eventuali ulteriori punti di continuità della funzione ed asintoti verticali. Nelle scuole superiori i punti di discontinuità vengono solitamente classificati.

Asintoti

Se la funzione è definita su un insieme illimitato inferiormente o superiormente, per ciascuno dei corrispondenti limiti $x\to -\infty$ e $x\to +\infty$ si può cercare un eventuale asintoto orizzontale od obliquo, ovvero funzioni lineari $g(x)=ax+b$ che approssimano la funzione in questi limiti:

$\lim _{x\to +\infty }(f(x)-g(x))=0$

$\lim _{x\to -\infty }(f(x)-g(x))=0$

In particolare (eventualmente cambiando il segno del limite)

• se $a=0$ (asintoto orizzontale) si ha

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=b$

• se $a\neq 0$ (asintoto obliquo) si hanno

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }g(x)=\infty$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {g(x)}{x}}=a$

$\lim _{x\to +\infty }(f(x)-ax)=\lim _{x\to \infty }(g(x)-ax)=b$

Questi asintoti lineari sono un caso particolare del concetto di comportamento asintotico, in cui si cercano approssimazioni di $f$ tramite funzioni $g$, non necessariamente lineari.

Zeri e intersezioni con gli assi

Essendo già rappresentati gli assi, ovvero le rette di equazioni rispettive $y=0$ e $x=0$, vanno individuati gli eventuali punti di intersezione tra essi e il grafico della funzione.

Le intersezioni si individuano come sempre, mettendo a sistema le equazioni corrispondenti:

• intersezioni con l'asse $x$:

${\begin{cases}y=f(x)\\y=0\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}f(x)=0\\y=0\end{cases}}$

• intersezioni con l'asse $y$:

${\begin{cases}y=f(x)\\x=0\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}y=f(0)\\x=0\end{cases}}$

In particolare, i punti di intersezione del grafico con l'asse delle ascisse indicano i punti dove la funzione si annulla, $f(x)=0$.

Segno della funzione

Per il teorema di Bolzano, all'interno di un intervallo di continuità una funzione può cambiare segno solo quando assume il valore 0.

Dunque si possono ora cercare gli insiemi di positività e di negatività della funzione, ovvero gli insiemi nei quali la funzione assume valori strettamente positivi o strettamente negativi, risolvendo rispettivamente le disequazioni $f(x)>0$ e $f(x)<0$.

Il grafico della funzione avrà dunque $y=f(x)>0$ negli insiemi di positività e $y=f(x)<0$ negli intervalli di negatività.

Derivata prima

Per studiare l'andamento della funzione si può quindi cercare di determinarne la derivabilità e di cercare un'espressione esplicita per la derivata.

Come per la continuità, in molti esercizi assegnati lo studio della derivabilità (e della continuità della derivata) di una funzione si riduce allo studio in alcuni punti.

Lo studio della derivata $f'$ segue la falsariga dello studio della funzione $f$ sopra indicato, una volta determinata (tramite le usuali tecniche di derivazione) un'espressione esplicita $f'(x)$.

• L'insieme di definizione di $f'$ corrisponde all'insieme di derivabilità di $f$
• L'insieme di continuità di $f'$ corrisponde all'insieme di continua derivabilità di $f$

Come per i punti di discontinuità di $f$, anche alcuni punti di discontinuità di $f'$ possono essere classificati, individuando in particolare punti angolosi, cuspidi, flessi.

Andamento

• I punti dove si annulla $f'$ sono i punti stazionari di $f$
• Se $f'$ si annulla su tutto un intervallo, in quell'intervallo la funzione è costante e si ha un plateau
• Gli insiemi di positività (o di negatività) di $f'$ sono insiemi in cui $f$ è monotòna crescente (o decrescente)

Una funzione $f$ può essere strettamente crescente in un intervallo anche se in quell'intervallo la sua derivata $f'$ non è definita, o se è definita e si annulla.

Ad esempio, la funzione $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definita da

$f(x)={\begin{cases}x&x<0\\x+1&x\geqslant 0\end{cases}}$

è strettamente crescente su tutto il dominio, ma non è continua (tantomeno derivabile) in 0

Oppure, la funzione $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definita da

$f(x)=x^{3}$

è strettamente crescente su tutto il dominio, anche se $f'(0)=0$.

Massimi e minimi

I punti stazionari possono essere punti di massimo relativo, di minimo relativo, o di flesso, a seconda del segno della derivata in un intorno del punto:

• se la funzione è prima crescente e dopo decrescente, si ha un punto di massimo relativo (o locale)
• se la funzione è prima decrescente e dopo crescente, si ha un punto di minimo relativo (o locale)

Se la funzione ha un plateau, ovvero se si annulla in tutto un intervallo, tutti i punti di quell'intervallo possono essere minimi locali o massimi locali.

Una funzione può avere anche massimi o minimi relativi in punti nei quali la derivata non sia definita. Ad esempio la funzione $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definita da $f(x)=|x|$ ha un minimo relativo in 0.

I massimi e i minimi assoluti di una funzione, se esistono, si trovano tra i punti di massimo e minimo relativo o sulla frontiera dell'insieme di continuità della funzione. Per determinarli è sufficiente calcolare i valori assunti dalla funzione in questi punti.

Derivata seconda

Si può procedere con la derivata seconda della funzione come già per la derivata prima.

In particolare

• Nei punti in cui $f''(x)=0$ si possono avere punti di massimo relativo, di minimo relativo, o di flesso
• Negli intervalli in cui $f''(x)>0$ la funzione $f$ è convessa ("rivolta verso l'alto")
• Negli intervalli in cui $f''(x)<0$ la funzione $f$ è concava ("rivolta verso il basso")

Derivate di ordine superiore

Se in un punto $x_{0}$ si annullano sia la derivata prima che la derivata seconda della funzione, e se la funzione è ulteriormente derivabile con continuità in $x_{0}$, la natura del punto $x_{0}$ può anche essere identificata dalla prima derivata per cui $f^{(k)}(x_{0})\neq 0$.

Ulteriori calcoli

Le richieste delle scuole superiori si fermano solitamente qua, anche se è possibile cercare ulteriori informazioni sulla funzione.

Simmetrie e traslazioni

Come già indicato, non solo le simmetrie considerate ma ogni simmetria (centrale o assiale rispetto a rette parallele all'asse delle ascisse) del grafico permette di ricostruire l'intero grafico a partire da una sola parte. In particolare, si hanno

• un insieme di definizione simmetrico
• un insieme di continuità simmetrico
• punti di non continuità (e loro classificazione) simmetrici
• eventuali asintoti simmetrici
• un insieme di zeri simmetrico
• insiemi di positività e di negatività simmetrici
• un insieme di derivabilità simmetrico
• punti di non derivabilità (e loro classificazione) simmetrici
• punti stazionari (e loro classificazione) simmetrici
• insiemi di crescenza e di decrescenza simmetrici
• un insieme di doppia derivabilità simmetrico
• insiemi di convessità e di concavità simmetrici

Inoltre, non solo le invarianze per traslazione considerate (periodicità) ma tutte le invarianze per traslazione ($f(x+t)=f(x)+s$) del grafico permettono di ricostruire l'intero grafico a partire da una sola parte In particolare, si hanno

• un insieme di definizione periodico
• un insieme di continuità periodico
• punti di non continuità (e loro classificazione) periodici
• eventuali asintoti invarianti per detta traslazione
• un insieme di derivabilità periodico
• punti di non derivabilità (e loro classificazione) periodici
• punti stazionari (e loro classificazione) periodici
• insiemi di crescenza e di decrescenza periodici
• un insieme di doppia derivabilità periodico
• insiemi di convessità e di concavità periodici

Punti significativi

Per individuare alcuni punti "a caso" del grafico della funzione è sufficiente ricordarne l'equazione di definizione $y=f(x)$ per costruire eventuali punti ausiliari $P\equiv (x_{0},f(x_{0}))$

Esempio

A titolo di esempio, per la funzione "definita" da

$f(x)=3x^{3}-8x^{2}+5x+1$

questo tipo di studio fornisce le seguenti indicazioni.

• La funzione può essere definita su tutto $\mathbb {R}$, dove risulta continua e derivabile con continuità infinite volte.
• La funzione è illimitata sia inferiormente che superiormente, ovvero non ha né minimi assoluti né massimi assoluti.
• La funzione non possiede asintoti orizzontali, verticali, né obliqui.
• Il suo grafico presenta una simmetria centrale rispetto al punto $P\equiv (x_{0},f(x_{0}))$ con $x_{0}={\frac {8}{9}}$, simmetria che negli esercizi viene usualmente tralasciata.
• La funzione non è periodica.
• Si ha $f(0)=1$.
• Lo studio del segno indica che la funzione
  • assume valori negativi su $]-\infty ,x_{1}[$;
  • si annulla in $x_{1}={\frac {1}{9}}\left(8-19{\sqrt[{3}]{\frac {2}{299-27{\sqrt {85}}}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {299-27{\sqrt {85}}}{2}}}\right)\approx -0,1578$;
  • assume valori positivi su $]x_{1},+\infty [$.
• Lo studio della derivata prima indica che la funzione
  • è crescente su $]-\infty ,x_{2}[$
  • ha un massimo relativo in $x_{2}=x_{P}-{\frac {\sqrt {19}}{9}}$, con $f(x_{2})=y_{P}+{\frac {38{\sqrt {19}}}{243}}$
  • è decrescente su $]x_{2},x_{3}[$
  • ha un minimo relativo in $x_{3}=x_{P}+{\frac {\sqrt {19}}{9}}$, con $f(x_{3})=y_{P}-{\frac {38{\sqrt {19}}}{243}}$
  • è crescente su $]x_{3},+\infty ]$
• Lo studio della derivata seconda indica che la funzione
  • è convessa su $]-\infty ,x_{0}[$
  • ha un punto di flesso in $x_{0}=x_{P}$
  • è concava su $]x_{0},+\infty [$

Non è necessario calcolare derivate di ordine superiore per poter rappresentare, con buona approssimazione, il seguente grafico