Analisi matematica I/Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Radici artimetiche

Sia $n\in \mathbb {N}$ fissato, $x\in \mathbb {R} ,\ x\geq 0$. Si chiama radice n-esima aritmetica il numero

$y\in \mathbb {R} \ :\ y^{n}=x$

La radice n-esima di un numero $x$ si indica

${\sqrt[{n}]{x}}\ \ \ x^{\frac {1}{n}}$

Esistenza delle radici

Si deve provare che dato, $x\in \mathbb {R} ,x\geq 0,\exists y\geq 0t.c.y^{n}=x.$

Se x = 0 ciò è ovvio (basta y=0!)

Sia x > 0. Sia inoltre A = { $a\in \mathbb {R} :a\geq e0a^{n}\leq x$ }. $A\neq \varnothing .$Infatti $0\in A.$A è superiormente limitato.

Proposizione

Siano $x,y\in \mathbb {R} ,\ x,y\geq 0$. Allora si ha

1. $x^{n}\leq y^{n}\Leftrightarrow x\leq y$
2. $x^{n}=y^{n}\Leftrightarrow x=y$
3. $x^{n}<y\Rightarrow \exists \varepsilon >0\ :\ (x+\varepsilon )^{n}<y$
4. $x^{n}>y\Rightarrow \exists \varepsilon >0\ :\ x-\varepsilon >0,(x-\varepsilon )^{n}>y$

Teorema (esistenza della radice n-esime di ogni numero reale)

Ogni numero reale non negativo ha una sola radice n-esima.

TEOREMA(Radice aritmetica)siano dati x>0 e (n appartenente ai reali), n ≥ 2. Allora esiste uno ed un solo numero reale positivo w tale che w^n = x

Dimostrazione dell unicità della soluzione Ragioniamo per assurdo supponiamo che esistono 2 numeri che verificano entrambi l'enunciato

w1,w2 appartenenti ai reali diversi fra loro. 0 < w1 < w2

w1^n = x , w2^n = x

x = w1^n < w2^n = x questo è impossibile, si è giunti a contraddizione:

x < x

Deve esserci un'unica soluzione dimostrata l'unicità.

Funzione radice

Consideriamo la funzione radice $r:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\ \ \ r(x)=x^{n}=y$. Per il teorema di esistenza della radice, esiste una ed una sola radice n-esima per ogni $x\in \mathbb {R}$, dunque $r$ è una funzione biiettiva e quindi invertibile. La sua inversa è

$r^{-1}(y)={\sqrt[{n}]{x}}$