Analisi matematica I/Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

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Indice del libro

Radici artimetiche[modifica]

Sia fissato, . Si chiama radice n-esima aritmetica il numero

La radice n-esima di un numero si indica

Esistenza delle radici[modifica]

Si deve provare che dato,

Se x = 0 ciò è ovvio (basta y=0!)

Sia x > 0. Sia inoltre A = { }. Infatti A è superiormente limitato.

Proposizione[modifica]

Siano . Allora si ha

Teorema (esistenza della radice n-esime di ogni numero reale)[modifica]

Ogni numero reale non negativo ha una sola radice n-esima.

TEOREMA(Radice aritmetica)siano dati x>0 e (n appartenente ai reali), n ≥ 2. Allora esiste uno ed un solo numero reale positivo w tale che w^n = x

Dimostrazione dell unicità della soluzione Ragioniamo per assurdo supponiamo che esistono 2 numeri che verificano entrambi l'enunciato

w1,w2 appartenenti ai reali diversi fra loro. 0 < w1 < w2

w1^n = x , w2^n = x

x = w1^n < w2^n = x questo è impossibile, si è giunti a contraddizione:

x < x

Deve esserci un'unica soluzione dimostrata l'unicità.

TODO

Da fare:
ancora da completare ho solamente dimostrato l'unicità


Funzione radice[modifica]

Consideriamo la funzione radice . Per il teorema di esistenza della radice, esiste una ed una sola radice n-esima per ogni , dunque è una funzione biiettiva e quindi invertibile. La sua inversa è

Funzioni esponenziali[modifica]