Principi di insiemistica e funzioni elementari
- Numeri naturali
- Numeri interi
- Numeri razionali
- Numeri reali
- Numeri reali (seconda parte)
- Numeri complessi
- Funzioni
- Funzioni circolari
- Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in
- Successioni reali
- Limiti di successioni reali
- Teoremi sulle successioni
- Algebra dei limiti delle successioni
- Esistenza del limite di una successione
- Limiti inferiori e superiori
- Forme indeterminate di successioni
- Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
- Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
- Compattezza di un insieme
- Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
- Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
- Algebra dei limiti
- Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
- Analisi matematica I/Funzioni monotone
- Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
- Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
- Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in
e studio di funzioni
- Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
- Analisi matematica I/Algebra delle derivate
- Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
- Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
- Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
- Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
- Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
- Analisi matematica I/Integrale di Riemann
- Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
- Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
- Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
- Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
- Analisi matematica I/Successioni di funzioni
- Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
- Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
- Note storiche sugli insiemi
- I numeri reali
- I numeri complessi
- Sommatorie
- progressione geometrica
- fattoriale di n
- formula di Newton
- Potenze e radicali
- Esponenziali e logaritmi
- Insiemi infiniti
- Massimi e minimi
- Funzioni
Serie e successioni
- Successioni: definizione
- Limiti: definizione
- Successioni monotone
- Calcolo dei limiti
- Limite di successioni
- Il numero di Nepero (e)
- Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
- Limiti notevoli
- Serie numeriche: definizione
- Serie a termini non negativi
- Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
- Limiti di funzioni da R a R
- Limiti di funzioni da Rn a Rm
- Funzioni numeriche e generalità
- Grafico di una funzione
- Funzioni limitate
- Funzioni simmetriche, pari e dispari
- Funzioni monotone
- Funzioni periodiche
- Limiti, continuità, asintoti
- Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
- Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
- Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Introduzione
- Il rapporto incrementale
- Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
- Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
- Le derivate fondamentali
- Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
- Il teorema di de L’Hospital
- Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
- o piccolo
- Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
- Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
- Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
- L’integrale come limite di somme
- Proprietà dell'integrale
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodo di ricerca della primitiva
- Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
- Funzioni integrabili
- integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
- Integrazione di funzioni non limitate
- Criteri di integrabilità al finito
- Integrazione su intervalli illimitati
- Criteri di integrabilità all’infinito
- Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
- Integrazione delle funzioni trigonometriche
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I numeri interi costituiscono l'insieme
e si dividono classicamente in numeri positivi altrimenti detti, assieme allo zero, naturali
, e numeri negativi.
L'insieme dei numeri naturali
L'insieme dei numeri naturali, indicato con il simbolo
è l'insieme numerico con cui tutti hanno a che fare con la vita quotidiana, infatti lo si utilizza per contare gli enti che ci circondano. In matematica viene espresso nella seguente forma
![{\displaystyle \mathbb {N} \equiv \{0,1,2,...,n,...\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025650db13900e9eed90a466990479ef853aa4f1)
Le operazioni fondamentali che possono essere utilizzate per comporre tra loro due numeri interi sono somma e prodotto.
La somma associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale, questa frase si sintetizza formalmente come segue:
.
Agli elementi
viene associato un nuovo elemento che si dice
, formalmente:
![{\displaystyle (a,b)\mapsto a+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b54081085f4f6810db41f4340c416d4410d5b99)
Valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di somma :
1) Esiste, in
,un elemento neutro rispetto alla somma che si indica con
:
![{\displaystyle \forall a\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71b9058f97aeae8c9f6874e05c6fb4f9845af54)
2)
, (proprietà commutativa);
3)
, (proprietà associativa o del porre parentesi).
Il prodotto associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale:
Agli elementi
viene associato un nuovo elemento che si dice
oppure
:
valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di prodotto :
1) Esiste, in
,un elemento neutro rispetto al prodotto che si indica con
:
![{\displaystyle \forall a\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71b9058f97aeae8c9f6874e05c6fb4f9845af54)
2)
, (proprietà commutativa);
3)
, (proprietà associativa).
Valgono due ulteriori assiomi:
, che in realtà sarà una proposizione dimostrabile nell'insieme dei numeri interi;
e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:
![{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d9488dc88e324ce28e700fdce10e482d5bc040)
.
Il principio di Induzione è un ulteriore assioma della Teoria dei Numeri.
Considerata una determinata proprietà,
, che può essere vera o falsa per ciascun numero naturale, il principio afferma che se risulta vera
e se la verità di
implica quella della proposizione
per ogni
diverso da uno, allora la proprietà
è vera per ciascun numero naturale.
Ad esempio si può utilizzare tale principio per dimostrare che la somma dei primi
numeri naturali è
![{\displaystyle S(n)={\frac {n(n+1)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c147e7cf16feb18a372eff75f4c2ef03c1e93c1)
.
è vera nel caso
infatti
![{\displaystyle S(1)={\frac {1(1+1)}{2}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfad9e8e700b863779b45ddf21d5a17b6411bc88)
è l'effettivo valore somma per il primo numero naturale.
Supponendo vera la proprietà nel caso di un generico
si studia il valore
:
Dunque la proprietà risulta vera
.
Nella stessa maniera è un utile esercizio dimostrare che la somma dei primi
quadrati è
.
Il principio di induzione può essere "generalizzato" nel senso che può essere applicato per dimostrare la verità di proposizioni da un certo naturale
in poi: se la proprietà
risulta vera per un certo
e se la verità di di
implica quella della proposizione
per ogni
allora la proprietà
è vera per ciascun numero naturale non minore di
.
Può essere un ulteriore esercizio dimostrare per induzione che il numero di diagonali di un poligono di
lati,
, è dato da
.
Se si procede a definire un'operazione di differenza sui numeri naturali:
si può osservare che presa una qualunque coppia di naturali, ad esempio 3 e 87, non è detto che la loro differenza sia ancora un numero naturale: diremo che
non è chiuso rispetto all'operazione di differenza.
Si procede, quindi, ad ampliare l'insieme numerico dei naturali aggiungendo anche i numeri negativi, tale insieme è indicato con
e si dice appunto insieme dei numeri interi.