Analisi matematica I/Numeri interi

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Principi di insiemistica e funzioni elementari

  1. Numeri naturali
  2. Numeri interi
  3. Numeri razionali
  4. Numeri reali
  5. Numeri reali (seconda parte)
  6. Numeri complessi
  7. Funzioni
  8. Funzioni circolari
  9. Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Le successioni e le serie numeriche in

  1. Successioni reali
  2. Limiti di successioni reali
  3. Teoremi sulle successioni
  4. Algebra dei limiti delle successioni
  5. Esistenza del limite di una successione
  6. Limiti inferiori e superiori
  7. Forme indeterminate di successioni
  8. Serie numeriche

Limiti di funzioni reali a una variabile reale

  1. Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
  2. Compattezza di un insieme
  3. Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
  4. Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
  5. Algebra dei limiti
  6. Teorema del confronto e teorema di Cauchy

Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità

  1. Analisi matematica I/Funzioni monotone
  2. Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
  3. Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
  4. Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue


Calcolo differenziale in e studio di funzioni

  1. Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
  2. Analisi matematica I/Algebra delle derivate
  3. Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
  4. Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
  5. Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
  6. Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
  7. Analisi matematica I/Funzioni convesse

Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale

  1. Analisi matematica I/Integrale di Riemann
  2. Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
  3. Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
  4. Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
  5. Analisi matematica I/Integrale generalizzato

Successioni e serie di funzioni

  1. Analisi matematica I/Successioni di funzioni
  2. Analisi matematica I/Serie di funzioni


VECCHIO Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Limiti: definizione
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Introduzione
  2. Il rapporto incrementale
  3. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  4. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  5. Le derivate fondamentali
  6. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  7. Il teorema di de L’Hospital
  8. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  9. o piccolo
  10. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  11. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  12. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche

I numeri interi costituiscono l'insieme e si dividono classicamente in numeri positivi altrimenti detti, assieme allo zero, naturali , e numeri negativi.


L'insieme dei numeri naturali L'insieme dei numeri naturali, indicato con il simbolo è l'insieme numerico con cui tutti hanno a che fare con la vita quotidiana, infatti lo si utilizza per contare gli enti che ci circondano. In matematica viene espresso nella seguente forma

Le operazioni fondamentali che possono essere utilizzate per comporre tra loro due numeri interi sono somma e prodotto.

Somma[modifica]

La somma associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale, questa frase si sintetizza formalmente come segue:

.

Agli elementi viene associato un nuovo elemento che si dice , formalmente:

Assiomi dell'operazione somma[modifica]

Valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di somma :

1) Esiste, in ,un elemento neutro rispetto alla somma che si indica con :

2) , (proprietà commutativa);

3) , (proprietà associativa o del porre parentesi).

Prodotto[modifica]

Il prodotto associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale:

Agli elementi viene associato un nuovo elemento che si dice oppure :

valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di prodotto :

Proprietà dell'operazione prodotto[modifica]

1) Esiste, in ,un elemento neutro rispetto al prodotto che si indica con :



2) , (proprietà commutativa);

3) , (proprietà associativa).

Valgono due ulteriori assiomi: , che in realtà sarà una proposizione dimostrabile nell'insieme dei numeri interi;

e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

.

Principio di induzione[modifica]

Il principio di Induzione è un ulteriore assioma della Teoria dei Numeri.

Considerata una determinata proprietà, , che può essere vera o falsa per ciascun numero naturale, il principio afferma che se risulta vera e se la verità di implica quella della proposizione per ogni diverso da uno, allora la proprietà è vera per ciascun numero naturale.

Ad esempio si può utilizzare tale principio per dimostrare che la somma dei primi numeri naturali è

. è vera nel caso infatti

è l'effettivo valore somma per il primo numero naturale.

Supponendo vera la proprietà nel caso di un generico si studia il valore :

Dunque la proprietà risulta vera .

Nella stessa maniera è un utile esercizio dimostrare che la somma dei primi quadrati è .

Il principio di induzione può essere "generalizzato" nel senso che può essere applicato per dimostrare la verità di proposizioni da un certo naturale in poi: se la proprietà risulta vera per un certo e se la verità di di implica quella della proposizione per ogni allora la proprietà è vera per ciascun numero naturale non minore di .

Può essere un ulteriore esercizio dimostrare per induzione che il numero di diagonali di un poligono di lati, , è dato da .

Dall'insieme all'insieme [modifica]

Se si procede a definire un'operazione di differenza sui numeri naturali:

      

si può osservare che presa una qualunque coppia di naturali, ad esempio 3 e 87, non è detto che la loro differenza sia ancora un numero naturale: diremo che non è chiuso rispetto all'operazione di differenza.

Si procede, quindi, ad ampliare l'insieme numerico dei naturali aggiungendo anche i numeri negativi, tale insieme è indicato con e si dice appunto insieme dei numeri interi.