Analisi matematica I/Forme indeterminate di successioni

Quando ci troviamo di fronte a successioni che divergono in senso opposto, non possiamo a priori stabilire la convergenza o meno della somma delle due successioni.

Cioè, se $(a_{n})\to +\infty$ e $(b_{n})\to -\infty$, non possiamo sapere a cosa tenda $(a_{n}+b_{n})$. Infatti, dipende tutto dalla situazione particolare: può essere convergente, può essere divergente positivamente, negativamente o addirittura essere oscillante!

Una forma di questo tipo si chiama forma indeterminata di tipo $\infty -\infty$. Altre forme indeterminate sono

• ${\frac {\infty }{\infty }}$
• ${\frac {0}{0}}$

Facciamo qualche esempio:

• $a_{n}=n^{2},\ \ \ b_{n}=-n$ si ha $a_{n}+b_{n}=\lim _{n\to \infty }n^{2}-n=\lim _{n\to \infty }n^{2}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)=+\infty \cdot (1-0)=+\infty$

• ...

Teorema di Cesaro

Forme ${\frac {\infty }{\infty }}$

Siano $(a_{n}),\ (b_{n})$ successioni reali e supponiamo che $b_{n}$ diverga positivamente. Inoltre sia $b_{n}$ una successione monotona strettamente crescente e positiva.

Allora, se esiste

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}$

esiste anche $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ e i due limiti sono uguali.

Forme ${\frac {0}{0}}$

Siano $(a_{n}),\ (b_{n})$ successioni reali tali che entrambe le successioni convergono a $0$ e $b_{n}$ sia monotona strettamente crescente o decrescente.

Allora, se esiste

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}$

esiste anche $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ e i due limiti sono uguali.