Fisica classica/Suono: differenze tra le versioni
Nuova pagina: ==Suono== === fluidi === Nei fluidi la pressione rappresenta la forza di richiamo elastico che permette la propagazione del suono. Il suono in tali mezzi è un onda di pressione o se ... |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 1: | Riga 1: | ||
==Suono== |
==Suono== |
||
=== |
=== Fluidi === |
||
Nei fluidi la pressione rappresenta la forza di |
Nei fluidi la pressione rappresenta la forza di |
||
richiamo elastico che permette la propagazione del suono. Il suono in tali mezzi è un onda di pressione o se si vuole di densità |
richiamo elastico che permette la propagazione del suono. Il suono in tali mezzi è un onda di pressione o se si vuole di densità |
||
Riga 13: | Riga 13: | ||
Dove <math>\rho\ </math> è la [[w:Densit%C3%A0|densità]] del fluido e <math>B\ </math> è il coefficiente di compressione [[w:Trasformazione_adiabatica|adiabatico]], definito come: |
Dove <math>\rho\ </math> è la [[w:Densit%C3%A0|densità]] del fluido e <math>B\ </math> è il coefficiente di compressione [[w:Trasformazione_adiabatica|adiabatico]], definito come: |
||
<math>B=- \left. \rho \frac {\partial p}{\partial \rho}\right|_{adiabatica} </math> |
:<math>B=- \left. \rho \frac {\partial p}{\partial \rho}\right|_{adiabatica} </math> |
||
Dove <math>p\ </math> la [[w:Pressione|pressione]]. |
Dove <math>p\ </math> la [[w:Pressione|pressione]]. |
||
Riga 28: | Riga 28: | ||
elastica. Per questa ragione non esistono onde acustiche trasversali come |
elastica. Per questa ragione non esistono onde acustiche trasversali come |
||
nei solidi. |
nei solidi. |
||
=== Solidi === |
|||
Nei solidi la forza che mantiene gli atomi nelle posizioni |
|||
cristalline è in prima approssimazione elastica ed agisce sia |
|||
nella direzione longitudinale (come nei fluidi) che nella direzione |
|||
perpendicolare alla propagazione del suono, per questo nei solidi |
|||
parliamo di onde longitudinali e trasversali. A seconda della |
|||
direzione cristallina che stiamo considerando le onde hanno forze di |
|||
richiamo diverse, per questa ragione nei solidi il suono è |
|||
anisotropo, cioè dipende dalla direzione. Quindi più simmetrico |
|||
è il solido (cubico) minore è il numero dei parametri |
|||
indipendenti che servono a caratterizzare le onde acustiche ed |
|||
ovviamente al contrario il numero dei parametri indipendenti cresce |
|||
via via che diminuisce il grado di simmetria del solido. Il modulo |
|||
elastico è un [[w:Tensore|tensore]] che dipende sia dalla direzione dei piani |
|||
cristallini, che dalla direzione degli sforzi su quei piani. Questo |
|||
complica da un punto di vista matematico la trattazione esatta del |
|||
problema. |
|||
Nei fluidi come nei solidi quando la lunghezza d'onda diventa |
|||
paragonabile alla spaziatura interatomica il carattere discreto |
|||
della materia non può essere più trascurato e in realtà esiste |
|||
una lunghezza d'onda minima e quindi una frequenza massima sia nei |
|||
solidi che nei fluidi. Studiamo i solidi dal punto di vista |
|||
discreto considerando gli atomi discreti e tenuti insieme da forze |
|||
di richiamo elastico. |
|||
[[Image:Unidimensional_solid.png|thumb|350px|right|Rappresentazione di un solido unidimensionale <br> |
|||
Figura in alto il [[w:Reticolo_cristallino|reticolo cristallino]] nello spazio reale con spaziatura a <br> |
|||
Figura in basso il [[w:Reticolo_reciproco|reticolo reciproco]] <br> ]] |
|||
In tutti solidi in prima approssimazione detta <math>\vec {r_o}\ </math> |
|||
la posizione di equilibrio del generico atomo ed <math>\vec r\ </math> la sua posizione ad un tempo qualsiasi. |
|||
Sarà soggetto ad una |
|||
forza di richiamo elastico rappresentata dalla [[w:Legge_di_Hook|legge di Hooke]]: |
|||
:<math>\vec F=-\alpha (\vec r-\vec {r_o})\ </math> |
|||
Dove si è definito con <math>\alpha\ </math> il coefficiente di elasticità. |
|||
La dinamica risultante è quella di un moto |
|||
armonico. Nei cristalli reali tale forza di richiamo elastico è |
|||
nelle tre direzioni ed il moto oscillatorio è tridimensionale. |
|||
Approfondiamo il moto in una |
|||
sola dimensione il modello è quello mostrato nella figura a fianco. |
|||
Consideriamo quindi una catena di atomi di massa <math>m\ </math> disposti secondo |
|||
un [[w:Reticolo_cristallino|reticolo]] unidimensionale: in alto nello |
|||
spazio diretto, in basso è mostrato [[w:Reticolo_reciproco|reticolo reciproco]]. |
|||
Chiamiamo la distanza tra primi vicini sia <math>a\ </math>. In realtà è |
|||
possibile il moto degli atomi sia nella direzione longitudinale, che |
|||
in quella trasversale. |
|||
All'equilibrio la forza agente sull'atomo n-esimo deve essere nulla: |
|||
:<math>F_n=ma_n=0\ </math> |
|||
Inoltre la posizione dell'atomo n-esimo all'equilibrio vale: |
|||
:<math>na\ </math> |
|||
Se definiamo <math>u_n\ </math> l'allontanamento dalla posizione di equilibrio dell'atomo n-esimo: |
|||
:<math>x_n=na+u_n\ </math> |
|||
La forza che agirà sull'atomo n-esimo sarà: |
|||
:<math>F_n=\alpha(x_{n+1}-x_n)-\alpha(x_{n}-x_{n-1})=\alpha(u_{n+1}-u_n)-\alpha(u_{n}-u_{n-1}) |
|||
=\alpha(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)\ </math> |
|||
Quindi la seconda legge della dinamica per l'n-esimo atomo viene scritta come: |
|||
:{{Equazione|eq=<math>m\frac {d^2u_n}{dt^2}=\alpha(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)\ </math>|id=1}} |
|||
La soluzione di questa |
|||
equazione è un'onda piana del tipo: |
|||
:{{Equazione|eq=<math>u_n=Ae^{i(kna+\omega t)}\ </math>|id=2}} |
|||
dove <math>A\ </math> è l'ampiezza, <math>k\ </math> il numero d'onda ed <math>\omega\ </math> la |
|||
pulsazione. Sostituendo tale soluzione (eq.2) nella equazione della dinamica (eq. 1) |
|||
si ha che: |
|||
:{{Equazione|eq=<math>-\omega^2 u_n=\alpha \left(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n \right)\ </math>|id=3}} |
Versione delle 13:25, 6 gen 2007
Suono
Fluidi
Nei fluidi la pressione rappresenta la forza di richiamo elastico che permette la propagazione del suono. Il suono in tali mezzi è un onda di pressione o se si vuole di densità a causa della equazione di stato dei fluidi. Le uniche onde possibili nei fluidi sono quelle longitudinali, cioè lungo la direzione di propagazione dell'onda stessa.
La velocità del suono nei fluidi è isotropa ed indipendente dalla frequenza:
Dove è la densità del fluido e è il coefficiente di compressione adiabatico, definito come:
Dove la pressione. Nel caso dei gas perfetti dove è pari al rapporto tra il calore specifico a pressione e volume costante .
La presenza del coefficiente di compressione adiabatico si spiega
con la rapidità dei fenomeni acustici che avvengono senza scambi
di calore tra strati vicini (quindi adiabatici). Nei fluidi non vi
è nessuna forza di richiamo elastica nella direzione
perpendicolare al moto, infatti in tale direzione agisce solo la
viscosità che in nessun caso è approssimabile come una forza
elastica. Per questa ragione non esistono onde acustiche trasversali come
nei solidi.
Solidi
Nei solidi la forza che mantiene gli atomi nelle posizioni cristalline è in prima approssimazione elastica ed agisce sia nella direzione longitudinale (come nei fluidi) che nella direzione perpendicolare alla propagazione del suono, per questo nei solidi parliamo di onde longitudinali e trasversali. A seconda della direzione cristallina che stiamo considerando le onde hanno forze di richiamo diverse, per questa ragione nei solidi il suono è anisotropo, cioè dipende dalla direzione. Quindi più simmetrico è il solido (cubico) minore è il numero dei parametri indipendenti che servono a caratterizzare le onde acustiche ed ovviamente al contrario il numero dei parametri indipendenti cresce via via che diminuisce il grado di simmetria del solido. Il modulo elastico è un tensore che dipende sia dalla direzione dei piani cristallini, che dalla direzione degli sforzi su quei piani. Questo complica da un punto di vista matematico la trattazione esatta del problema.
Nei fluidi come nei solidi quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile alla spaziatura interatomica il carattere discreto della materia non può essere più trascurato e in realtà esiste una lunghezza d'onda minima e quindi una frequenza massima sia nei solidi che nei fluidi. Studiamo i solidi dal punto di vista discreto considerando gli atomi discreti e tenuti insieme da forze di richiamo elastico.
In tutti solidi in prima approssimazione detta la posizione di equilibrio del generico atomo ed la sua posizione ad un tempo qualsiasi. Sarà soggetto ad una forza di richiamo elastico rappresentata dalla legge di Hooke:
Dove si è definito con il coefficiente di elasticità. La dinamica risultante è quella di un moto armonico. Nei cristalli reali tale forza di richiamo elastico è nelle tre direzioni ed il moto oscillatorio è tridimensionale. Approfondiamo il moto in una sola dimensione il modello è quello mostrato nella figura a fianco.
Consideriamo quindi una catena di atomi di massa disposti secondo un reticolo unidimensionale: in alto nello spazio diretto, in basso è mostrato reticolo reciproco. Chiamiamo la distanza tra primi vicini sia . In realtà è possibile il moto degli atomi sia nella direzione longitudinale, che in quella trasversale.
All'equilibrio la forza agente sull'atomo n-esimo deve essere nulla:
Inoltre la posizione dell'atomo n-esimo all'equilibrio vale:
Se definiamo l'allontanamento dalla posizione di equilibrio dell'atomo n-esimo:
La forza che agirà sull'atomo n-esimo sarà:
Quindi la seconda legge della dinamica per l'n-esimo atomo viene scritta come:
(1) |
La soluzione di questa
equazione è un'onda piana del tipo:
(2) |
dove è l'ampiezza, il numero d'onda ed la
pulsazione. Sostituendo tale soluzione (eq.2) nella equazione della dinamica (eq. 1)
si ha che:
(3) |