Fisica classica/Suono

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Onda sonora

Il suono è un’onda meccanica che si propaga attraverso un mezzo materiale grazie a variazioni locali di pressione e densità. A differenza delle onde elettromagnetiche, il suono non può propagarsi nel vuoto, poiché richiede un mezzo elastico che trasmetta le compressioni e rarefazioni generate dalla sorgente.

Quando un corpo vibra — una corda, una membrana, una colonna d’aria — mette in oscillazione le particelle del mezzo circostante. Queste oscillazioni si trasmettono da una particella alla successiva, dando origine a un’onda che trasporta energia, ma non materia.

Nel caso dei fluidi (gas e liquidi), il suono si manifesta come onda di pressione, mentre nei solidi possono propagarsi sia onde longitudinali sia onde trasversali, con velocità diverse.

Il suono percepito dall’orecchio umano dipende principalmente da tre grandezze fisiche:

• frequenza $\rightarrow$ determina l’altezza del suono;
• ampiezza $\rightarrow$ determina la sonorità;
• spettro armonico $\rightarrow$ determina il timbro, collegato alla scomposizione armonica.

Generazione del suono

Il suono nasce quando un corpo elastico viene messo in vibrazione. Una sorgente sonora — una corda, una membrana, una lamina metallica, una colonna d’aria — oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio e trasferisce queste oscillazioni al mezzo circostante. Le particelle del mezzo vengono compresse e rarefatte in successione, dando origine a un’onda longitudinale che si propaga nello spazio.

La frequenza con cui la sorgente vibra determina l’altezza del suono percepito. Ogni sorgente reale possiede una frequenza fondamentale e una serie di armoniche, che contribuiscono alla forma complessiva dell’onda. La presenza e l’intensità delle armoniche determinano il timbro, cioè la qualità caratteristica del suono, come descritto dalla scomposizione armonica.

Le principali sorgenti sonore possono essere classificate in base al meccanismo fisico che produce l’oscillazione:

• Corde vibranti — come nelle corde di chitarra, violino, pianoforte.
• Le corde vocali sono due pieghe elastiche che vibrano quando l’aria espirata dal polmoni passa attraverso la glottide. La frequenza di vibrazione dipende dalla tensione, dalla lunghezza e dalla massa delle corde vocali, esattamente come per una corda musicale. La modulazione della tensione permette di variare l’altezza della voce.

Un tamburo produce un suono mediante una vibrazione bidimensionale

• Membrane e superfici elastiche — come nei tamburi; la vibrazione è bidimensionale e genera uno spettro ricco di armoniche.
• Colonne d’aria — come nei flauti, nelle canne d’organo e nella cavità orale durante la fonazione; la frequenza dipende dalla lunghezza della colonna e dalle condizioni al contorno (tubo aperto o chiuso).
• Corpi solidi — come diapason, barre metalliche, lastre; la vibrazione può essere longitudinale, trasversale o torsionale.

In tutti questi casi, la sorgente deve possedere:

• elasticità, per fornire la forza di richiamo;
• inerzia, per permettere l’oscillazione;
• un meccanismo di eccitazione, come un colpo, uno sfregamento, un soffio o una corrente d’aria.

Una sorgente ideale che vibra con moto armonico semplice produce un’onda sinusoidale. Una sorgente reale, invece, genera un’onda complessa che può essere analizzata come somma di componenti sinusoidali, ciascuna con la propria frequenza e ampiezza.

Risonanze del tratto vocale

Oltre alla vibrazione delle corde vocali, la qualità della voce dipende in modo essenziale dalle risonanze del tratto vocale — l’insieme delle cavità formate da faringe, bocca e, in parte, cavità nasale. Queste cavità si comportano come una colonna d’aria variabile, la cui forma può essere modificata tramite la posizione della lingua, delle labbra e della mandibola.

Ogni configurazione del tratto vocale seleziona e amplifica alcune frequenze dello spettro prodotto dalle corde vocali: sono i formanti, tipicamente indicati come F1, F2, F3,...

I formanti determinano il timbro della voce e permettono di distinguere le diverse vocali, anche quando la frequenza fondamentale è la stessa.

In sintesi, la voce umana nasce dalla combinazione di due meccanismi distinti:

• sorgente: vibrazione periodica delle corde vocali, che genera uno spettro ricco di armoniche;
• filtro: risonanze del tratto vocale, che modellano lo spettro selezionando alcune frequenze.

Propagazione del suono nei fluidi

Nei fluidi (gas e liquidi) il suono si propaga come onda longitudinale di pressione. Quando una sorgente vibra, comprime e rarefa il mezzo circostante: queste variazioni locali di pressione si trasmettono da una regione all’altra, dando origine a un’onda che avanza con velocità finita.

Nel caso dei fluidi, le grandezze che oscillano non sono gli spostamenti macroscopici delle particelle, ma pressione e densità:

$p(x,t)=p_{0}+\Delta p(x,t)$

dove $p_{0}$ è la pressione di equilibrio e $\Delta p$ la variazione dovuta al passaggio dell’onda.

Equazione delle onde per il suono

Le variazioni di pressione e densità sono legate dal comportamento elastico del fluido. Combinando:

• l’equazione di continuità,
• l’equazione del moto per piccole perturbazioni,
• la relazione tra pressione e densità (legge di Hooke per piccoli scostamenti),

si ottiene l’equazione delle onde per la pressione: ${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}$. La stessa equazione vale per la densità $\rho (x,t)$. Questa forma mostra che le perturbazioni di pressione si propagano come onde longitudinali con velocità $v$

Velocità del suono nei gas

Nei gas ideali la propagazione delle onde sonore avviene in condizioni adiabatiche, poiché il processo è troppo rapido per permettere scambi di calore significativi. La velocità del suono risulta quindi:

$v={\sqrt {\gamma {\frac {RT}{M}}}}$

dove:

• $\gamma$ è il rapporto dei calori specifici,
• $R$ è la costante universale dei gas,
• $T$ è la temperatura assoluta,
• $M$ è la massa molare.

Da questa formula si vede che:

• la velocità aumenta con la temperatura,
• è maggiore nei gas leggeri (elio, idrogeno),
• è minore nei gas pesanti (anidride carbonica)

Velocità del suono nei liquidi

Nei liquidi il suono si propaga ancora come onda longitudinale di pressione, ma la struttura microscopica e la comprimibilità del mezzo sono diverse rispetto ai gas. Per un liquido omogeneo, la velocità del suono è legata alla sua comprimibilità e alla densità.

La relazione fondamentale è:

$v={\sqrt {\frac {1}{\rho \,\kappa }}}$

dove: $\rho$ è la densità del liquido, $\kappa$ è la comprimibilità del liquido, definita come $\kappa =-{\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial p}}$

I liquidi sono molto meno comprimibili dei gas (hanno $\kappa$ molto piccola) perciò la velocità del suono è in genere più alta che nei gas.

Ad esempio, nell’acqua a temperatura ambiente ha una velocità del suono di $\approx 1500\ {\text{m/s}}$ contro circa $\approx 340\ {\text{m/s}}$ nell’aria alla stessa temperatura.

Propagazione del suono nei solidi

Nei solidi il suono si propaga sotto forma di onde elastiche che possono essere:

• longitudinali (L): le particelle oscillano nella stessa direzione di propagazione;
• trasversali (T): le particelle oscillano in direzione perpendicolare alla propagazione.

Queste onde sono descritte dalle proprietà elastiche del materiale e dalla sua densità.

Moduli elastici e velocità delle onde

Per un solido isotropo, le deformazioni sono legate alle tensioni tramite i moduli elastici:

• modulo di compressibilità $K$ (o modulo di bulk),
• modulo di taglio $G$,
• modulo di Young $E$

La velocità delle onde dipende da $K$, $G$ e dalla densità $\rho$.

Per un mezzo isotropo: velocità delle onde longitudinali:

$v_{L}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}}$

velocità delle onde trasversali:

$v_{T}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}$

In una barra o in un filo, è spesso più comodo usare $E$ e $\rho$:

$v_{L}\approx {\sqrt {\frac {E}{\rho }}}$

Le onde trasversali non possono propagarsi nei fluidi (che non hanno modulo di taglio), ma sono tipiche dei solidi, dove la struttura può sostenere sforzi di taglio.

Anisotropia dei cristalli

Nei solidi cristallini, le proprietà elastiche possono dipendere dalla direzione: il materiale è anisotropo. In questo caso:

• i moduli elastici non sono numeri scalari, ma tensori;
• la velocità delle onde L e T dipende dalla direzione di propagazione rispetto agli assi cristallini;
• possono esistere più modi di propagazione con velocità diverse (onde rapide e lente).

Nei solidi policristallini o amorfi (vetri, metalli comuni) l’anisotropia si media e il comportamento può essere approssimato come isotropo, con un’unica velocità $v_{L}$ e $v_{T}$ per ogni materiale.

Intensità sonora

L’intensità sonora è la quantità di energia trasportata dall’onda sonora attraverso una superficie unitaria nell’unità di tempo. È quindi un flusso di energia, misurato in watt per metro quadrato:

$I={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t\,\mathrm {d} A}}$

Per un’onda piana armonica che si propaga in un mezzo di densità $\rho$ e velocità del suono $v$, l’intensità media è:

$I={\frac {1}{2}}\,\rho \,v\,u_{0}^{2}$

dove $u_{0}$ è l’ampiezza della velocità oscillatoria delle particelle del mezzo.

Questa espressione mostra che l’intensità dipende da:

• la densità del mezzo ($\rho$),
• la velocità di propagazione ($v$),
• il quadrato dell’ampiezza dell’oscillazione ($u_{0}^{2}$).

Poiché l’energia cresce con il quadrato dell’ampiezza, un raddoppio dell’ampiezza produce un’intensità quattro volte maggiore.

Flusso di energia e pressione acustica

La pressione acustica $\Delta p$ è legata alla velocità delle particelle tramite l’impedenza acustica del mezzo:

$Z=\rho v$

e vale:

$\Delta p=Z\,u$

Dove $u$ è la velocità delle particelle del mezzo.

Da questa relazione si ottiene un’altra forma utile dell’intensità media:

$I={\frac {(\Delta p)_{\text{rms}}^{2}}{Z}}$

dove $(\Delta p)_{\text{rms}}$ è il valore efficace della pressione acustica.

Dipendenza dalla distanza: onde sferiche

Per una sorgente puntiforme che emette onde sferiche, l’energia si distribuisce su superfici di area $4\pi r^{2}$. Se la potenza emessa è $P$, l’intensità a distanza $r$ è:

$I(r)={\frac {P}{4\pi r^{2}}}$

cioè decresce come l’inverso del quadrato della distanza.

Livello sonoro e decibel

L’orecchio umano percepisce l’intensità sonora in modo logaritmico: un suono dieci volte più intenso non viene percepito come dieci volte più forte. Per descrivere questa percezione si introduce il livello sonoro, definito come:

$L=10\log _{10}\!\left({\frac {I}{I_{0}}}\right)\ {\text{dB}}$

dove:

• $I$ è l’intensità del suono,
• $I_{0}$ è l’intensità di riferimento.

Il livello sonoro si misura in decibel (dB).

Soglia di udibilità

La scelta dello standard $I_{0}$ deriva dalla minima intensità percepibile da un orecchio umano giovane e sano alla frequenza di 1000 Hz:

$I_{0}=10^{-12}\ W/m^{2}$

Questa è la soglia di udibilità. Un suono con intensità pari a $I_{0}$ ha livello:

$L=0\ {\text{dB}}$

Non significa assenza di suono, ma semplicemente suono al limite della percezione.

Somma di livelli sonori

Poiché il livello sonoro è logaritmico, non si possono sommare i decibel come numeri ordinari.

Se due sorgenti indipendenti producono livelli $L_{1}$ e $L_{2}$, il livello totale è:

$L_{\text{tot}}=10\log _{10}\!\left(10^{L_{1}/10}+10^{L_{2}/10}\right)$

Casi notevoli: due sorgenti identiche di livello $L$:

$L_{\text{tot}}=L+3\ {\text{dB}}$

dieci sorgenti identiche di livello $L$: $L_{\text{tot}}=L+10\ {\text{dB}}$ Questo riflette il fatto che l’intensità cresce linearmente, ma il livello cresce logaritmicamente.

Valori tipici del livello sonoro

• 0 dB — soglia di udibilità
• 20–30 dB — ambiente silenzioso, sussurro
• 40–50 dB — conversazione tranquilla in casa
• 60–70 dB — traffico moderato, voce normale
• 80–90 dB — traffico intenso, tagliaerba
• 100 dB — concerto rock, martello pneumatico
• 120 dB — soglia del dolore
• 140 dB — motore a reazione a breve distanza

Questi valori sono indicativi e dipendono dalla distanza dalla sorgente e dall’ambiente.

Fenomeni acustici

I fenomeni acustici descrivono come le onde sonore interagiscono con gli ostacoli, con l’ambiente e tra loro. Essi derivano direttamente dalle proprietà delle onde meccaniche, ma assumono caratteristiche specifiche nel caso del suono.

Riflessione

Quando un’onda sonora incontra una superficie rigida, una parte dell’energia viene riflessa. La legge della riflessione è la stessa delle onde luminose:

$\theta _{i}=\theta _{r}$

dove $\theta _{i}$ è l’angolo di incidenza e $\theta _{r}$ quello di riflessione.

La riflessione è alla base di: eco e riverbero, acustica delle sale e la focalizzazione del suono in superfici curve.

Rifrazione

Se il suono attraversa regioni con velocità diversa (per esempio per variazioni di temperatura o densità dell’aria), la direzione di propagazione cambia. La legge è analoga a quella di Snell in ottica:

${\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}$

La rifrazione spiega fenomeni come la curvatura dei raggi sonori vicino al suolo nelle notti fredde e la propagazione a lunga distanza in strati atmosferici stratificati.

Assorbimento e attenuazione

Un esempio di materiale con un elevato assorbimento acustico.

Durante la propagazione, una parte dell’energia sonora viene assorbita dal mezzo e convertita in calore. L’ampiezza dell’onda decresce esponenzialmente:

$I(x)=I_{0}e^{-\alpha x}$

dove $\alpha$ è il coefficiente di assorbimento.

L’attenuazione dipende dalla viscosità del mezzo, dalla conducibilità termica e dalla frequenza (le alte frequenze si attenuano più rapidamente).

Interferenza

Quando due onde sonore si sovrappongono, la pressione risultante è la somma delle pressioni individuali. Si possono avere o interferenza costruttiva (massimi più intensi) o interferenza distruttiva (annullamento parziale o totale).

L’interferenza è alla base di nodi e ventri nelle onde stazionarie, la cancellazione attiva del rumore e effetti acustici in ambienti chiusi.

Battimenti

La curva inviluppo del battimento

Se due suoni hanno frequenze leggermente diverse $f_{1}$ e $f_{2}$, l’onda risultante presenta variazioni periodiche di ampiezza con frequenza:

$f_{b}=|f_{1}-f_{2}|$

I battimenti sono percepiti come un pulsare del suono e sono utilizzati sia per accordare strumenti musicali che per misurare differenze di frequenza molto piccole.

Risonanza

Due diapason che risuonano alla stessa frequenza. Eccitandone uno attraverso l'aria si eccita anche l'altro.

Un sistema elastico risponde con ampiezza massima quando viene eccitato alla sua frequenza naturale. La condizione di risonanza è:

$\omega \approx \omega _{0}$

La risonanza è fondamentale sia negli strumenti musicali (casse armoniche, tubi sonori)che nell'acustica architettonica. La loro analisi permette di evitare vibrazioni meccaniche indesiderate.

Diffrazione

Il suono, avendo lunghezze d’onda dell’ordine dei centimetri o metri, si diffonde facilmente attorno agli ostacoli e attraverso aperture. La diffrazione è più marcata quando:

$\lambda \gtrsim d$

dove $d$ è la dimensione dell’ostacolo o dell’apertura.

È per questo che si sente una persona parlare anche dietro un angolo. Inoltre le basse frequenze aggirano meglio gli ostacoli rispetto alle alte.

Effetto Doppler

Un'animazione che illustra come l'effetto Doppler faccia sì che il suono del motore di una sirena acuisca la frequenza sonora quando si avvicina rispetto a quando si allontana. I cerchi rossi rappresentano le onde sonore.

Se la sorgente o l’osservatore sono in moto relativo, la frequenza percepita cambia:

$f'=f{\frac {v\pm v_{o}}{v\mp v_{s}}}$

dove $v$ è la velocità del suono, $v_{o}$ è la velocità dell’osservatore, $v_{s}$ è la velocità della sorgente.

Il segno dipende dal moto di avvicinamento o allontanamento.

L’effetto Doppler è evidente: nel passaggio di un’ambulanza, nei radar acustici, nella misura della velocità dei fluidi.