Fisica classica/Suono

Fluidi

Nei fluidi la pressione rappresenta la forza di richiamo elastico che permette la propagazione del suono. Il suono in tali mezzi è un'onda di pressione o se si vuole di densità a causa della equazione di stato dei fluidi. Le uniche onde possibili nei fluidi sono quelle longitudinali, cioè lungo la direzione di propagazione dell'onda stessa.

La velocità del suono nei fluidi è isotropa ed indipendente dalla frequenza:

$v_{s}={\sqrt {\frac {B}{\rho }}}\$

Dove $\rho \$ è la densità del fluido e $B\$ è il coefficiente di compressione adiabatico, definito come:

$B=-\left.\rho {\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right|_{adiabatica}$

Dove $p\$ la pressione. Nel caso dei gas perfetti $B=\gamma p\$ dove $\gamma \$ è pari al rapporto tra il calore specifico a pressione e volume costante $\gamma =c_{p}/c_{v}\$.

La presenza del coefficiente di compressione adiabatico si spiega con la rapidità dei fenomeni acustici che avvengono senza scambi di calore tra strati vicini (quindi adiabatici). Nei fluidi non vi è nessuna forza di richiamo elastica nella direzione perpendicolare al moto, infatti in tale direzione agisce solo la viscosità che in nessun caso è approssimabile come una forza elastica. Per questa ragione non esistono onde acustiche trasversali come nei solidi.

Solidi

Nei solidi la forza che mantiene gli atomi nelle posizioni cristalline è in prima approssimazione elastica ed agisce sia nella direzione longitudinale (come nei fluidi) che nella direzione perpendicolare alla propagazione del suono, per questo nei solidi parliamo di onde longitudinali e trasversali. A seconda della direzione cristallina che stiamo considerando le onde hanno forze di richiamo diverse, per questa ragione nei solidi il suono è anisotropo, cioè dipende dalla direzione. Quindi più simmetrico è il solido (cubico) minore è il numero dei parametri indipendenti che servono a caratterizzare le onde acustiche ed ovviamente al contrario il numero dei parametri indipendenti cresce via via che diminuisce il grado di simmetria del solido. Il modulo elastico è un tensore che dipende sia dalla direzione dei piani cristallini, che dalla direzione degli sforzi su quei piani. Questo complica da un punto di vista matematico la trattazione esatta del problema.

Nei fluidi come nei solidi quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile alla spaziatura interatomica il carattere discreto della materia non può essere più trascurato e in realtà esiste una lunghezza d'onda minima e quindi una frequenza massima sia nei solidi che nei fluidi. Studiamo i solidi dal punto di vista discreto considerando gli atomi discreti e tenuti insieme da forze di richiamo elastico.

Rappresentazione di un solido unidimensionale
Figura in alto il reticolo cristallino nello spazio reale con spaziatura a
Figura in basso il reticolo reciproco

In tutti solidi in prima approssimazione detta ${\vec {r_{o}}}\$ la posizione di equilibrio del generico atomo ed ${\vec {r}}\$ la sua posizione ad un tempo qualsiasi. Sarà soggetto ad una forza di richiamo elastico rappresentata dalla legge di Hooke:

${\vec {F}}=-\alpha ({\vec {r}}-{\vec {r_{o}}})\$

Dove si è definito con $\alpha \$ il coefficiente di elasticità. La dinamica risultante è quella di un moto armonico. Nei cristalli reali tale forza di richiamo elastico è nelle tre direzioni ed il moto oscillatorio è tridimensionale. Approfondiamo il moto in una sola dimensione il modello è quello mostrato nella figura a fianco.

Consideriamo quindi una catena di atomi di massa $m\$ disposti secondo un reticolo unidimensionale: in alto nello spazio diretto, in basso è mostrato reticolo reciproco. Chiamiamo la distanza tra primi vicini sia $a\$. In realtà è possibile il moto degli atomi sia nella direzione longitudinale, che in quella trasversale.

All'equilibrio la forza agente sull'atomo n-esimo deve essere nulla:

$F_{n}=ma_{n}=0\$

Inoltre la posizione dell'atomo n-esimo all'equilibrio vale:

$na\$

Se definiamo $u_{n}\$ l'allontanamento dalla posizione di equilibrio dell'atomo n-esimo:

$x_{n}=na+u_{n}\$

La forza che agirà sull'atomo n-esimo sarà:

$F_{n}=\alpha (x_{n+1}-x_{n})-\alpha (x_{n}-x_{n-1})=\alpha (u_{n+1}-u_{n})-\alpha (u_{n}-u_{n-1})=\alpha (u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n})\$

Quindi la seconda legge della dinamica per l'n-esimo atomo viene scritta come:

$m{\frac {\partial ^{2}u_{n}}{\partial t^{2}}}=\alpha (u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n})\$

(1)

Per dare un maggiore senso fisico all'ultima equazione. Consideriamo il caso particolare di onde lunghe cioè soluzioni di tale equazione con $\lambda >>a\$, la derivata spaziale prima di $u\$ vale circa:

${\frac {\partial u}{\partial x}}\approx {\frac {u_{n+1}-u_{n}}{a}}\$

e di conseguenza:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{a}}-{\frac {u_{n}-u_{n-1}}{a}}}{a}}={\frac {u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n}}{a^{2}}}\$

Quindi l'eq.1 per le onde lunghe è scrivibile anche come:

$m{\frac {\partial ^{2}u_{n}}{\partial t^{2}}}=\alpha a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\$

${\frac {\partial ^{2}u_{n}}{\partial t^{2}}}={\frac {\alpha }{m}}a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\$

Cioè l'equazione delle onde unidimensionale con:

$v=a{\sqrt {\frac {\alpha }{m}}}\$

Per studiare il caso più generale ritorniamo alla eq.1 considerando la soluzione generale: un'onda piana del tipo:

$u_{n}=Ae^{i(kna+\omega t)}\$

(2)

dove $A\$ è l'ampiezza, $k\$ il numero d'onda ed $\omega \$ la pulsazione. Sostituendo tale soluzione (eq.2) nella equazione della dinamica (eq. 1) si ha che:

$-\omega ^{2}u_{n}=\alpha \left(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n}\right)\$

Con semplici passaggi trigonometrici si ha quindi che:

$\omega ^{2}=4{\frac {\alpha }{m}}\sin ^{2}(ka/2)\$

(3)

Notiamo che se avessimo usato una onda piana regressiva:

$u_{n}=Ae^{-i(kna+\omega t)}\$

(4)

Avremmo trovato la stessa identica tra $\omega \$ e $k\$: detta comunemente relazione di dispersione. Quindi anche una combinazione lineare di due soluzioni di tale tipo è ancora soluzione cioè:

$u_{n}=Ae^{-i(kna+\omega t)}+Ae^{i(kna+\omega t)}=2A\cos(kna+\omega t)\$

Gli atomi nel tempo descrivono un moto armonico intorno alla posizione di equilibrio. Nei solidi sono possibili allontanamenti dalla direzione di equilibrio, non solo nella direzione longitudinale, ma anche in quella trasversale. Infatti anche nella direzione trasversale vi è una forza di richiamo elastico, ma in genere con un coefficiente di elasticità minore.

La pulsazione:

$\omega _{m}={\sqrt {4\alpha /m}}\$

rappresenta la pulsazione massima. La ragione di tale pulsazione o se si vuole frequenza massima deriva dal carattere discreto degli atomi. Tali frequenze massime cadono nei solidi reali a frequenze paragonabili a quelle che nelle onde e.m. si chiamano microonde o lontano infrarosso.

Solo per frequenze molto basse (lunghezze d'onda grandi) la relazione di dispersione tra $\omega \$ e $k\$ è lineare e la pendenza è la velocità del suono. Matematicamente vuol dire che se $ka/2\ll 1\$ posso approssimare il seno con il suo argomento nella eq.3 per cui:

$\omega \approx {\sqrt {\frac {\alpha }{m}}}ak$

Dove la velocità del suono è $v={\sqrt {\frac {\alpha }{m}}}a\$