Fisica classica/Legge di Gauss

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Introduzione alla legge di Gauss

Determinare il campo elettrico generato da una distribuzione arbitraria di carica è, in linea di principio, un problema concettualmente semplice: è sufficiente suddividere la distribuzione in elementi infinitesimi di carica e sommare vettorialmente i contributi elementari, applicando il principio di sovrapposizione.

In condizioni statiche, questa procedura è sempre possibile e conduce alla formula integrale generale:

${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\,dq$

dove $dq$ rappresenta l’elemento infinitesimo di carica della distribuzione.

Tuttavia, l’esecuzione pratica di questo calcolo può risultare estremamente laboriosa, soprattutto quando la distribuzione di carica non presenta simmetrie semplici. In molti casi, l’integrazione diretta richiede passaggi tecnici complessi e non fornisce un’espressione chiusa del campo.

Per affrontare in modo più efficiente tali situazioni, è utile introdurre un principio fondamentale dell’elettrostatica: la legge di Gauss, che permette di determinare il campo elettrico sfruttando esclusivamente le proprietà di simmetria della distribuzione di carica, senza dover eseguire integrali complicati.

Flusso di un campo vettoriale

Sia ${\vec {A}}$ un campo vettoriale definito in una regione dello spazio, e sia $ds$ un elemento infinitesimo di superficie. A tale elemento è associato un versore normale ${\hat {n}}$, che individua l’orientazione locale della superficie.

Si definisce flusso infinitesimo del campo ${\vec {A}}$ attraverso l’elemento $ds$ la quantità scalare:

$d\Phi ({\vec {A}})={\vec {A}}\cdot {\hat {n}}\,ds$

Il prodotto scalare seleziona la componente del campo perpendicolare alla superficie.

Finché la superficie è aperta, l’orientazione della normale ${\hat {n}}$ non è univocamente determinata: si può scegliere una delle due direzioni perpendicolari alla superficie, e il segno del flusso dipende da tale scelta.

Se invece la superficie è chiusa, si adotta per convenzione la normale uscente, cioè diretta verso l’esterno del volume racchiuso. In questo caso il flusso è definito in modo univoco.

Per comodità si introduce spesso il vettore superficie:

$d{\vec {s}}={\hat {n}}\,ds$

così che il flusso infinitesimo si scriva semplicemente:

$d\Phi ({\vec {A}})={\vec {A}}\cdot d{\vec {s}}$

Questa definizione è generale e vale per qualunque campo vettoriale sufficientemente regolare.

Interpretazione fisica: analogia idrodinamica

Il concetto di flusso deriva originariamente dall’idraulica. Se ${\vec {v}}$ è il campo di velocità di un fluido, il flusso:

$\Phi ({\vec {v}})=\int _{S}{\vec {v}}\cdot d{\vec {s}}$

è proporzionale alla portata, cioè alla quantità di fluido che attraversa la superficie $S$ nell’unità di tempo.

Se il fluido è incomprimibile e la superficie è chiusa, il flusso totale è necessariamente nullo:

$\Phi ({\vec {v}})=0$

poiché la massa del fluido si conserva e non può accumularsi all’interno del volume.

Questa analogia sarà utile per comprendere la legge di Gauss, che mette in relazione il flusso del campo elettrico con la carica contenuta all’interno di una superficie chiusa.

Enunciazione del teorema di Gauss

L'enunciato del teorema di Gauss è che il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è pari alla somma algebrica delle cariche interne diviso la costante dielettrica del vuoto:

$\Phi _{S}({\vec {E}})={\frac {\sum _{i=1}^{n}Q_{i}}{\varepsilon _{o}}}\$

Le cariche poste all’esterno della superficie chiusa non contribuiscono al flusso del campo elettrico attraverso la superficie.

Significato dell’enunciato

La “somma algebrica” delle cariche interne significa che:

• se la carica totale interna è positiva, il flusso è positivo;
• se la carica totale interna è negativa, il flusso è negativo;
• se la carica totale interna è nulla, il flusso è nullo.

Nel caso di una distribuzione continua di carica, la somma si sostituisce con un integrale:

$Q_{\text{int}}=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,dV$

Validità generale del teorema

Il teorema di Gauss vale per qualunque campo vettoriale additivo generato da sorgenti puntiformi e con dipendenza radiale in modulo proporzionale a ${\frac {1}{r^{2}}}$. Per questo motivo esso si applica non solo al campo elettrico, ma anche al campo gravitazionale, sostituendo alle cariche le masse gravitazionali:

$\Phi _{S}({\vec {g}})=-4\pi G\,M_{\text{int}}$

Origine dalla legge di Coulomb La legge di Gauss deriva direttamente dalla legge di Coulomb, secondo cui una carica puntiforme $Q_{i}$

genera un campo radiale:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q_{i}}{r_{i}^{2}}}\,{\hat {r}}$

La dipendenza $1/r^{2}$ è essenziale: è proprio questa forma che garantisce che il flusso attraverso una superficie sferica concentriche sia indipendente dal raggio, e quindi dipenda solo dalla carica racchiusa.

La scelta della costante $1/(4\pi \varepsilon _{0})$ nella legge di Coulomb non è arbitraria: essa è fatta proprio per ottenere una forma particolarmente semplice della legge di Gauss.

Importanza della legge di Gauss

La legge di Gauss è uno degli strumenti più potenti dell’elettrostatica. Essa permette di determinare la carica interna conoscendo il campo elettrico e di calcolare il campo elettrico in modo semplice quando la distribuzione di carica presenta simmetria:

• sferica,
• cilindrica,
• planare.

In tali casi, la legge di Gauss consente di evitare calcoli integrali complicati e di ottenere il campo con un semplice ragionamento geometrico.

Dimostrazione della legge di Gauss

Una carica puntiforme all'interno di una superficie chiusa

Consideriamo una carica puntiforme positiva $Q\$ all'interno di una superficie $S\$ dello spazio (in un punto qualsiasi all'interno). Scegliamo l’origine del sistema di coordinate nel punto in cui si trova la carica. Il campo elettrico generato è radiale: ${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q}{r^{2}}}\,{\hat {r}}$ Il flusso infinitesimo attraverso un elemento di superficie ${\vec {ds}}={\hat {n}}ds$ è:

$d\Phi ({\vec {E}})={\vec {E}}\cdot d{\vec {s}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q}{r^{2}}}\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}})\,ds={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q\,dS_{n}}{r^{2}}}$

Dove $dS_{n}=ds({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}\$ è la proiezione dell’elemento di superficie sulla sfera di raggio $r$ centrata sulla carica.

Angolo solido

Si definisce angolo solido l’elemento:

$d\Omega ={\frac {dS_{n}}{r^{2}}}$

che rappresenta la porzione di spazio “vista” dalla carica attraverso l’elemento di superficie.

L’integrale dell’angolo solido su tutte le direzioni dello spazio tridimensionale vale:

$\int _{4\pi }d\Omega =4\pi$

Usando questa definizione, il flusso infinitesimo diventa:

$d\Phi ({\vec {E}})={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,d\Omega$

Flusso totale attraverso la superficie

Integrando su tutta la superficie chiusa $S$

$\Phi _{S}({\vec {E}})=\int _{S}d\Phi ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{4\pi }d\Omega ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

La superficie chiusa, qualunque sia la sua forma, intercetta tutto l’angolo solido $4\pi$.

Il risultato non dipende dalla geometria della superficie.

Superfici con rientranze

Una carica puntiforme all'interno di una superficie chiusa rientrante

Se la superficie presenta rientranze, i contributi dei vari coni di angolo solido si compensano: ogni rientranza viene attraversata un numero pari di volte, e i contributi si annullano a coppie come si vede nella figura a fianco. Il flusso totale rimane invariato.

Carica spostata all’interno della superficie

Se la carica viene spostata in un altro punto interno, il flusso non cambia: la superficie continua a intercettare l’intero angolo solido $4\pi$. Se la carica è negativa, il flusso risulta negativo perché le linee di campo sono entranti.

Più cariche all’interno della superficie

Se all’interno della superficie si trovano $n$ cariche $Q_{i}$, il campo totale è la somma dei campi generati da ciascuna carica (principio di sovrapposizione):

$d\Phi ({\vec {E}})=\left(\sum _{i=1}^{n}{\vec {E}}_{i}\right)\cdot d{\vec {s}}=\sum _{i=1}^{n}d\Phi _{i}$

Integrando:

$\Phi _{S}({\vec {E}})=\sum _{i=1}^{n}\Phi _{i}={\frac {\sum _{i=1}^{n}Q_{i}}{\varepsilon _{0}}}$

Carica all’esterno della superficie

Consideriamo ora il caso di una carica $Q\$ esterna alla superficie $S\$, così come in figura.

Una carica puntiforme all'esterno di una superficie chiusa rientrante

Il contributo al flusso degli elementi $dS_{1}\$ e $dS_{2}\$ è in modulo eguale, ma di segno opposto;

quindi il loro contributo totale è nullo, come quello di $dS_{3}\$ e $dS_{4}\$. In generale, partendo dal punto $O\$ ed andando in qualsiasi direzione della superficie chiusa, attraverso la quale si vuole calcolare il flusso del campo elettrico, essa viene intersecata sempre un numero pari di volte e quindi di conseguenza il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa all'interno della quale vi sia una carica totale nulla vale zero. Quindi, comunque sia fatta tale superficie, si ha sempre:

$\Phi _{S}({\vec {E}})=0\$

Il teorema di Gauss è conseguenza diretta della legge di Coulomb, quindi non aggiunge niente rispetto a tale legge. Tale teorema permette di determinare le cariche presenti in una regione di spazio una volta che si conosca il campo elettrico. D'altro canto quando si hanno condizioni di simmetria permette di calcolare esattamente il valore del campo.

Caso continuo

Se le cariche fossero distribuite in maniera continua, ad esempio con densità di carica $\rho \$, se si indica con $T\$ il volume racchiuso dalla superficie $S\$ e con $d\tau \$ l'elemento di volume:

$\Phi _{S}({\vec {E}})=\int _{S}{\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {dS}}={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\int _{T}\rho d\tau$

Simmetria sferica

Una sfera uniformemente carica

Immaginiamo di avere una sfera di raggio $R\$ con una carica totale $Q\$ la cui densità di carica volumetrica $\rho \$ varia secondo la legge:

$\rho =A{\frac {r^{n}}{R^{n}}}\qquad con\ n>-2\$

Il caso di densità uniforme si ha per $n=0\$.

le dimensioni di $A\$ sono quelle di una carica per unità di volume. Il valore di $A\$ si ricava dal fatto che la carica totale debba valere $Q\$:

$Q=\int _{0}^{R}A{\frac {r^{n}}{R^{n}}}4\pi r^{2}dr=4\pi A{\frac {R^{3}}{n+3}}\$

$A={\frac {(n+3)Q}{4\pi R^{3}}}\$

Per ragioni di simmetria il campo elettrico interno ed esterno deve essere radiale ed eguale in tutti i punti che sono equidistanti dal centro. Quindi si tratta di determinare $E_{r}(r)\$. Dove con $E_{r}\$ si è descritta la componente radiale del campo.

Il calcolo va fatto considerando due regioni distinte dello spazio:

a) Il campo all'interno della sfera per $r\leq R\$. La superficie Gaussiana è una sfera di raggio $r\$ e quindi il flusso del campo elettrico varrà:

$\Phi _{S}({\vec {E}})=\int _{S}{\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {dS}}=E_{r}(r)4\pi r^{2}\$

La carica all'interno di tale distribuzione vale:

$Q_{int}=\int _{0}^{r}A{\frac {r'^{n}}{R^{n}}}4\pi r'^{2}dr'=4\pi A{\frac {r^{n+3}}{R^{n}(n+3)}}\$

Si è usata come variabile di integrazione $r'\$, per non fare confusione con l'estremo di integrazione. Quindi per il teorema di Gauss:

$E_{r}(r)4\pi r^{2}=4\pi A{\frac {r^{n+3}}{\varepsilon _{o}R^{n}(n+3)}}\$

$E_{r}(r)=A{\frac {r^{n+1}}{\varepsilon _{o}R^{n}(n+3)}}={\frac {Qr^{n+1}}{4\pi \varepsilon _{o}R^{n+3}}}$

Per $n=0\$ (distribuzione uniforme), il campo cresce linearmente con la distanza dal centro:

$E_{r}(r)=A{\frac {r}{3\varepsilon _{o}}}\$

Il casi con $n\leq -2\$, vengono esclusi in quanto non hanno senso fisico: il campo elettrico divergerebbe al centro della distribuzione.

b) Il campo all'esterno della sfera per $r'>R\$. La superficie Gaussiana è una sfera di raggio $r'\$ e quindi il flusso del campo elettrico avrà un valore eguale al caso a):

$\Phi _{S}({\vec {E}})=E_{r}(r')4\pi r'^{2}\$

La carica all'interno in questo caso non dipende da $r'\$ e vale $Q\$. Quindi per il teorema di Gauss:

$E_{r}(r)4\pi r'^{2}={\frac {Q}{\varepsilon _{o}}}\$

da cui:

$E_{r}(r')={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\qquad r'\geq R\$

Quindi non dipende dalla distribuzione radiale interna e sul bordo della distribuzione il valore si ha che:

$E_{r}(r'\to R)=E_{r}(r\to R)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}R^{2}}}\$

Simmetria cilindrica

Una superficie Gaussiana cilindrica è usata per determinare il campo elettrico sia per fili rettilinei sia per distribuzioni volumetriche con tale simmetria.

Il caso più semplice è quello di un filo . Consideriamo un punto P a distanza $r\$ da una linea molto lunga (praticamente infinita) e rettilinea in cui la carica è distribuita in maniera uniforme che una carica per unità di lunghezza $\lambda \$. Immaginiamo una superficie chiusa sotto forma di un cilindro il cui asse coincide con la linea stessa. Se $h\$ è la lunghezza del cilindro, allora la carica contenuta nella superficie gaussiana del cilindro è:

$q=\lambda h$,

La superficie gaussiana si compone di tre superfici: a, b e c mostrate in figura. Nella figura per ogni superficie è mostrato il vettore differenziale elemento di superficie dA.

Il flusso è composto di tre contributi:

$\Phi _{E}=\int _{a}{\vec {E}}\cdot {\vec {dA}}+\int _{b}{\vec {E}}\cdot {\vec {dA}}+\int _{c}{\vec {E}}\cdot {\vec {dA}}$

Ma sulla superfici a e b il ${\vec {E}}\$ è parallelo alla superficie, quindi perpendicolare a ${\vec {dA}}\$. Quindi dei tre integrali solo l'ultimo è diverso da 0, ed il vettore ${\vec {E}}\$ ha solo la componente radiale (in coordinate cilindriche, per cui:

$\Phi _{E}=E_{r}\int _{c}dA=E_{r}2\pi rh$

Quindi essendo per la legge di Gauss:

$\Phi _{E}={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}$

$E_{r}={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}$

Un altro caso è quello di una sbarra carica di raggio $R\$ con una densità di carica di volume uniforme $\rho \$. Se si considera una superficie gaussiana cilindrica e coassiale alla sbarra con raggio $r\geq R\$ e lunghezza $h\$ per la legge di Gauss si ha che, l'integrale attraverso la superficie laterale :

$\Phi _{E}=\int _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {dA}}=2\pi rhE_{r}={\frac {\pi R^{2}h\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad r\geq R$

$E_{r}={\frac {\rho R^{2}}{2\varepsilon _{0}r}}$

Cioè a tutti gli effetti se chiamo $\lambda =\pi R^{2}\rho \$ (la densità lineare di carica) ritrovo l'espressione del filo.

Se si sceglie una superficie gaussiana con raggio $r\leq R\$, cioè interna alla sbarra, l'espressione del flusso del campo elettrico è lo stesso ma è diversa la carica interna:

$\Phi _{E}=\int _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {dA}}=2\pi rhE_{r}={\frac {\pi r^{2}h\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad r\leq R$

$E_{r}={\frac {\rho r}{2\varepsilon _{0}}}$

Simmetria piana

Immaginiamo di avere un piano indefinito, come quello mostrato in figura, con una carica distribuita uniformemente sulla superficie. Definita $\sigma \$ la carica per unità di superficie. Gli assi sono scelti come mostrato in figura. In base a ragionamenti basati sulla simmetria il campo elettrostatico è ortogonale al piano su cui è distribuita la carica e ha versi opposti dalle due parti come mostrato in figura nel caso di densità positiva- La superficie gaussiana è una scatola cilindrica con le basi di area $S\$, parallele al piano. Il flusso attraverso la superficie laterale è nullo (al contrario della simmetria cilindrica). Mentre il flusso attraverso le due basi è:

$\Phi _{E}=2S|E_{z}|$

Mentre la carica contenuta in tale superficie gaussiana vale: $Q=\sigma S\$.

Per la legge di Gauss si ha che:

$\Phi _{E}=2S|E_{z}|={\frac {\sigma S}{\varepsilon _{0}}}\$

Quindi sull'asse delle $z\$ positivo:

$E_{z}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\$

e di segno opposto nella negativa dell'asse delle $z\$.

Esempi

Alcuni esempi mostrano l'applicazione del teorema di Gauss, in genere gli esempi sono classificati in funzione delle proprietà di simmetria. La simmetria sferica è quella che permette maggior numero di esempi: nuvola sferica, guscio sferico, guscio con foro, campo elettrico sulla terra. Un esempio di simmetria cilindrica e due esempi con simmetria piana: doppio strato, giunzione p-n.

Equilibrio in un campo elettrostatico

Condizione di equilibrio stabile: se il punto materiale viene spostato leggermente, le forze tendono a riportarlo nella posizione iniziale.

In elettrostatica non è possibile ottenere un punto di equilibrio stabile utilizzando esclusivamente forze elettriche. Questo risultato prende il nome di teorema di Earnshaw e può essere compreso tramite la legge di Gauss.

Un punto materiale carico si trova in equilibrio stabile se, per piccoli spostamenti da una posizione di equilibrio $P$, la forza elettrica risultante tende sempre a riportarlo verso $P$. In termini di linee di campo, ciò significa che nelle immediate vicinanze del punto le linee del campo dovrebbero convergere verso $P$ (nel caso di una carica di prova positiva).

Consideriamo allora una piccola superficie chiusa attorno a $P$. Se tutte le linee del campo entrassero nella superficie, il flusso del campo elettrico attraverso di essa sarebbe negativo. Per la legge di Gauss:

$\int _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {dS}}=Q_{int}/\varepsilon _{0}$

​un flusso netto negativo implicherebbe la presenza di una carica totale negativa all’interno della superficie.

Tuttavia, se nel punto $P$ è presente soltanto la carica di prova e nella regione circostante non vi sono altre cariche, allora la carica totale interna è nulla e quindi anche il flusso totale deve essere nullo. Di conseguenza, le linee del campo non possono convergere verso il punto da tutte le direzioni e l’equilibrio stabile è impossibile.

Se invece all’interno della regione fossero presenti cariche che producono tale convergenza del campo, anche queste cariche risulterebbero soggette a forze elettriche che tenderebbero a spostarle. Per mantenerle ferme sarebbero quindi necessarie forze non elettriche.

In conclusione, in un sistema puramente elettrostatico non possono esistere configurazioni di equilibrio stabile per cariche puntiformi. Per mantenere stabili le cariche sono necessari altri tipi di interazioni, ad esempio vincoli meccanici o effetti magnetici e dinamici.

La legge di Gauss in forma differenziale

La divergenza di un campo vettoriale è uno scalare che misura la tendenza del campo a uscire o entrare da una regione dello spazio.

Dato un campo vettoriale ${\vec {A}}$, si definisce l’operatore nabla:

${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\vec {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\vec {k}}\right)$

Il prodotto scalare tra ${\vec {\nabla }}$ e il campo ${\vec {A}}$ prende il nome di divergenza:

$\operatorname {div} {\vec {A}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}$

Esiste un importante teorema matematico, il teorema della divergenza, che collega il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa ($S$) con la divergenza del campo nel volume ($Vracchiusodallasuperficie::<math>\int _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {dS}}=\int _{V}({\vec {\nabla }})\cdot dV$ Applicando questo risultato alla legge di Gauss:

$\int _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {dS}}=Q_{int}/\varepsilon _{0}$

e osservando che la carica contenuta nel volume può essere scritta come:

$Q_{\mathrm {int} }=\int _{V}\rho ,dV$ ​

si ottiene:

$\int _{V}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}),dV{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho ,dV$

Poiché questa relazione vale per qualunque volume arbitrario, gli integrandi devono coincidere punto per punto. Si ricava quindi la forma differenziale della legge di Gauss:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}\$ ​

Questa relazione costituisce la prima equazione di Maxwell in forma locale.

La forma differenziale e quella integrale della legge di Gauss sono matematicamente equivalenti, purché il campo elettrico sia sufficientemente regolare nel dominio considerato. In presenza di superfici di discontinuità o di cariche puntiformi, la forma locale richiede una trattazione più generale tramite le distribuzioni matematiche.

A differenza dell’elettrostatica, nel caso di campi elettrici variabili nel tempo il calcolo diretto del campo non può più essere effettuato assumendo un’azione istantanea a distanza: le variazioni del campo si propagano infatti con velocità finita, pari alla velocità della luce nel vuoto. Tuttavia sia la forma integrale sia quella differenziale delle equazioni di Maxwell restano valide anche nell’elettrodinamica.

Note

Argomento seguente: Potenziale elettrico