Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss

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Copertina

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Indice

Esercizi[modifica]

1. Guscio sferico[modifica]

GuscioSfericocontreraggi.png

Una carica è distribuita uniformemente su un guscio sferico di raggio interno e raggio esterno . Determinare il campo nel punto equidistante tra le due superfici del guscio sferico e la differenza di potenziale tra le due superfici del guscio.

(dati del problema , , . )

→ Vai alla soluzione

2. Guscio sferico con foro[modifica]

Un guscio sferico isolante di spessore trascurabile di raggio e carica ha un piccolo foro di raggio . La carica è distribuita con densità superficiale uniforme (se il guscio fosse conduttore la carica sarebbe non uniforme).

Tale foro non modifica la distribuzione uniforme di carica sulla sfera ed ai fini del calcolo si approssima il foro con una carica puntiforme (di valore opportuno e di segno chiaramente negativo). Determinare il campo nel centro della sfera e in che posizione dello spazio il campo elettrico è nullo. Discutere se l'approssimazione con una carica puntiforme sia giusta.

(Dati del problema , , )

0,25m
0,05m
0,025m
0,005m
0,0025m


→ Vai alla soluzione

3. Campo elettrico terrestre[modifica]

Il campo elettrostatico sulla superficie della terra in condizioni di bel tempo vale circa , diretto verso il centro della terra. La terra che ha un raggio è globalmente neutra, per cui fino ad una quota di vi è una densità volumetrica approssimativemente distribuita uniformemente, tale carica deve essere eguale e contraria alla carica superficiale. Determinare a) la carica totale sulla superficie della terra, b)La differenza di potenziale tra il punto a quota e la superficie della terra. c) la capacità equivalente della terra in senso lato.

(dati del problema , , )

→ Vai alla soluzione

4. Tre gusci sferici[modifica]

Tre gusci sferici concentrici conduttori hanno raggi , e . Il guscio esterno ed interno sono allo stesso potenziale nullo (rispetto all'infinito). Sul guscio intermedio è depositata una carica . Determinare la d.d.p tra il guscio intermedio e gli altri due, la capacità elettrica del sistema ed il campo elettrico massimo in valore assoluto.

(dati del problema , suggerimento perché il potenziale sia nullo occorre che la carica totale sui tre gusci sia nulla)

→ Vai alla soluzione

5. Nuvola cilindrica[modifica]

Una nuvola cilindrica di raggio ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse secondo la legge:

Se il campo ad vale in modulo mentre a vale . Determinare il campo elettrico sul bordo della nuvola e la d.d.p. tra il bordo della nuvola ed il centro della nuvola.

(Dati del problema: , , )

→ Vai alla soluzione

6. Doppio strato[modifica]

Un doppio strato è costituito da due regioni planari (ai fini dei conti infinite) di densità di carica e e di spessore d. Determinare il campo massimo e la d.d.p. tra -d e d.

(Dati del problema: , )

→ Vai alla soluzione

7. Un guscio spesso isolante[modifica]

Guscio sferico isolante.png

Una sfera non conduttrice di raggio contiene una cavità sferica concentrica di raggio . Tra ed è distribuita uniformemente una carica . Determinare il valore del campo massimo ed il potenziale del centro della distribuzione di carica rispetto all'infinito.


(dati del problema , , )

→ Vai alla soluzione

8. Differenza di potenziale di una nuvola sferica[modifica]

Una nuvola sferica carica ha un raggio ed ha una densità di carica uniforme, la carica totale della nuvola è . Determinare la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il bordo della nuvola.

(Dati del problema: , .)

La soluzione è approssimata alla prima cifra dopo la virgola.


→ Vai alla soluzione

9. Due sfere lontane[modifica]

Una sfera conduttrice isolata di raggio viene caricata ad un potenziale rispetto all'infinito di (e isolata dall'alimentatore). In seguito viene connessa mediante un filo ad una sfera lontana scarica di raggio la metà: Determinare il potenziale a cui si portano le sfere.

(dati del problema , )

→ Vai alla soluzione

10. Regione tra due piani[modifica]

In una regione di spazio, limitata da due piani paralleli al piano cartesiano ed infiniti, distanti l'uno dall'altro, vi è una distribuzione di carica costante . Calcolare il campo elettrico nella regione di spazio compresa tra i due piani e la differenza di potenziale (in modulo) tra il centro della regione di spazio ed un estremo.

(dati del problema: , )

→ Vai alla soluzione

11. Una goccia d'acqua[modifica]

Una goccia sferica di acqua, un conduttore liquido, su cui è presente una carica , ha un potenziale rispetto all'infinito.

Determinare il raggio della sfera.

(dati del problema , )

→ Vai alla soluzione

12. Una nuvola sferica carica[modifica]

Una nuvola sferica carica ha un raggio . La densità di carica è uniforme tra ed e vale , mentre nel resto della nuvola (il guscio esterno restante) la densità è ancora uniforme, ma vale . La carica totale della nuvola è nota e vale Q. Determinare il campo elettrico a distanza dal centro della nuvola sferica. (Dati del problema: , )


→ Vai alla soluzione

13. Un corpo di massa m e carico[modifica]

Un corpo di massa e carica si muove all'interno di una sfera di raggio nella quale è distribuita uniformemente una carica .

La forza esercitata è di tipo elastico (come si può dimostrare), calcolare la frequenza delle oscillazioni.

(dati del problema , , )


→ Vai alla soluzione

14. Giunzione p-n graduale[modifica]

Es15p89.png

Una giunzione p-n tra due semiconduttori, che è rappresentabile come un doppio strato (piano) di spessore , ha una densità di carica volumetrica che varia secondo la legge: . Al di fuori dello strato la carica è nulla.

Determinare il campo elettrico sulla superficie dello strato e la differenza di potenziale tra i due estremi dello strato


(Dati del problema: , )


→ Vai alla soluzione

15. Nuvola sferica con due densità[modifica]

Una nuvola sferica di raggio carica ha una densità di carica uniforme a distanza dal centro tra ed e diventa di segno opposto , ma sempre uniforme tra e .

Determinare a) la carica tra e ; b) il campo elettrico in ; c) a che distanza dal centro (escludendo il centro e l'infinito) il campo è nullo; d) La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola () ed la regione di transizione ().


→ Vai alla soluzione

16. Filo su piano[modifica]

Filo su piano.png

Un filo rettilineo, di lunghezza infinita, uniformemente carico, con una densità di carica lineare , è parallelo ed è ad una distanza da una superficie piana isolante (di spessore trascurabile) uniformemente carica con densità di carica superficiale .

Deteminare: a) la forza per unità di lunghezza che si ha tra il filo e la superficie. b) la distanza dal piano, sulla verticale passante per il filo, per la quale il campo elettrico è nullo.

(dati del problema , , )


→ Vai alla soluzione

17. Moto in nuvola cilindrica[modifica]

Una nuvola cilindrica molto lunga (lunghezza praticamente infinita) di raggio , ha una densità di carica uniforme pari a . Una particella di carica e massa inizialmente ferma va da una posizione a distanza dall'asse fino a . Determinare a) l'accelerazione nel punto , b) l'accelerazione nel punto , 3) La velocità con cui la particella arriva nel punto .

(dati del problema , , , )


→ Vai alla soluzione

18. Nuvola sferica con densità cubica[modifica]

Una nuvola sferica di raggio , ha una densità di carica variabile rapidamente con la distanza dal centro con legge:

ed una carica totale .

Determinare: a) il valore di A; b) il valore del campo elettrico a  ; c) la differenza di potenziale tra i centro della nuvola e l'infinito.

(dati del problema , )

→ Vai alla soluzione

19. Nuvola sferica con densità variabile[modifica]

Una nuvola sferica di raggio ha una densità di carica variabile radialmente secondo la legge:

con .

Determinare a) la carica totale ; b) dove il campo elettrico è massimo ed il suo valore; c) la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il suo bordo.

→ Vai alla soluzione

20. Due sfere[modifica]

Es15p140.png

Due sfere di raggio come in figura sono cariche uniformemente con densità di carica eguale e sono a distanza pari a due volte il raggio. Determinare a) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle x all'interno della sfera di destra e in particolare nel punto di coordinate ; b) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle y e in particolare nel punto di coordinate ; c) la velocità minima che deve avere un protone di massa e carica per riuscire ad attraversare il sistema passando per l'origine delle coordinate provenendo da distanza molto grande (l'infinito).

→ Vai alla soluzione

21. Carica dentro guscio sferico[modifica]

Al centro di un guscio sferico spesso di raggio interno e raggio esterno è collocata una carica puntiforme . All’interno del guscio sferico, per , esiste una distribuzione di carica con densità di volume , con una costante. Il campo elettrico radiale all'interno del guscio sferico è costante in modulo.

Si determini: a) il campo elettrico sul bordo interno del guscio ; b) il valore della costante che rende all'interno della distribuzione il campo elettrico costante in modulo; c) il valore della carica totale dell’intero sistema; d) la differenza di potenziale tra il bordo esterno ed interno del guscio sferico .

→ Vai alla soluzione

22. Distribuzione esponenziale[modifica]

ExponentialDensity.png

Una distribuzione ha simmetria planare ed ha una densità che diminuisce esponenzialmente a partire dalla regione centrale:

Con , .

Determinare a) il campo elettrico al centro e in ; b) il campo elettrico a grande distanza ; c) la differenza di potenziale tra e .

→ Vai alla soluzione

Es15p153.png

23. Doppio strato separato[modifica]

Due strati piani carichi di spessore con densità di carica uniforme eguale e contraria sono posti a distanza . In figura è disegnato l'asse delle e la sua origine. Determinare: a) il campo a grande distanza ; b) L'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle x e in particolare al centro lungo al centro; c) la velocità minima che deve avere una particella di massa e carica per potere attraversare i due strati provenendo da grande distanza () da destra nella figura.

→ Vai alla soluzione

Sferacaricaconduefori.png

24 Sfera con due fori[modifica]

Una sfera di densità di carica uniforme e raggio contiene due zone prive di carica al suo interno sferiche di raggio come indicato in figura. Determinare a) l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle per ; b) lungo l'asse delle per ; c) verificare che all'interno della sfera di destra la divergenza del campo elettrico sia ovunque nulla.

(dati del problema , ).

→ Vai alla soluzione

25. Guscio concentrico[modifica]

Sferaisolanteguscio.png

Una nuvola sferica isolante ha un raggio , ha una densità di carica uniforme e una carica totale . Concentrica con questa sfera vi è un guscio sferico metallico di raggio interno e raggio esterno , come mostrato in figura con una carica .

Determinare: a) il campo a distanza dal centro; b) la densità di carica nella superficie interna ed esterna del guscio sferico metallico; c) a che distanza dal centro il campo elettrico è massimo ed il suo valore;

d) la differenza di potenziale tra il guscio metallico e il centro.

(dati del problema , , , )

→ Vai alla soluzione

26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga[modifica]

Una nuvola cilindrica infinitamente lunga e di raggio ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse con la legge


Determinare: a) la carica per unità di lunghezza ; b) l'espressione del campo elettrico per e in particolare ad ; c) a che distanza dal centro il campo elettrico ha la massima intensità ed il suo valore; d) se il valore di fosse 1.7 dove si troverebbe il massimo del campo elettrico e quale sarebbe la sua intensità?

(dati del problema , , )

→ Vai alla soluzione

Soluzioni[modifica]

1. Guscio sferico[modifica]

→ Vai alla traccia

La densità di carica vale:

Quindi dal teorema di Gauss ad una distanza generica tra ed :

Quindi per :

mentre ovviamente la d.d.p. tra i gusci, in modulo vale:

2. Guscio sferico con foro[modifica]

→ Vai alla traccia

Il campo elettrico è quello di una superficie sferica carica con una densità di carica:

più una carica puntiforme posta sulla superficie esterna di carica:

Quindi il campo al centro è quello dovuto alla sola carica puntiforme (come direzione diretto verso il foro) e vale:

All'interno del guscio sferico in nessun punto il campo è nullo, all'esterno sulla retta passante per il centro del guscio sferico e per il foro vi è un punto a distanza dalla superficie del guscio sferico per cui i campi prodotti dal guscio sferico:

e dalla carica puntiforme:

Si compensano, da cui segue con semplici passaggi che:

Con due soluzioni, rigettando la negativa che corrisponde a stare dentro il guscio sferico dove non vale il sistema:

La distanza trovata di è chiaramente non trscurabile rispetto alle dimensioni del foro . Quindi l'esercizio richiedeva un calcolo più sofisticato essendo la combinazione non di una carica puntiforme e di un guscio uniformemente carico, ma il caso più complesso di un disco uniformemente carico e di un guscio sferico.

3. Campo elettrico terrestre[modifica]

→ Vai alla traccia

a) Dal teorema di Coulomb:

Quindi:

b) Detta la densità di carica nell'atmosfera , poiché lo spessore dell'atmosfera utile ai fini del calcolo è piccolo rispetto al raggio della terra, si può approssimare il suo volume con e quindi:

Quindi detta una quota generica tra ed , considerando una sfera concentrica alla terra all'interno dell'atmosfera, l'applicazione del teorema di Gauss:

Trascurando rispetto a e sostituendo

Quindi:

Quindi la d.d.p. tra la quota e la superficie della terra vale:

c) Quindi la capacità in senso lato vale:

4. Tre gusci sferici[modifica]

→ Vai alla traccia

Chiamiamo e la carica sulle sfere interna ed esterna dovrà essere che:

Inoltre dal teorema di Gauss essendo radiale tra ed vale:

Quindi la d.d.p. tra la sfera interna e quella intermedia vale:

mentre tra quella esterna e quella intermedia vale:

Imponendo che:

Quindi

La capacità elettrica vale dunque:

La densità di carica sulla sfera interna vale:

Quindi nelle immediate vicinanze il campo vale:

che è il massimo campo presente nello spazio tra le sfere, è facile verificare come nelle immediate vicinanze della sfera intermedia il campo sia minore: .

5. Nuvola cilindrica[modifica]

→ Vai alla traccia

per r<R si ha dal Teorema di Gauss, detta l'altezza di un cilindro Gaussiano, che:

da cui:

mentre per r>R si ha dal Teorema di Gauss:

da cui:

Dai dati iniziali del problema si ha che:

Da cui:

Quindi per r=R:

Mentre la d.d.p. vale:


6. Doppio strato[modifica]

→ Vai alla traccia

Consideriamo un solo stato e spostiamo l'origine nel suo centro come mostrato in figura. Distinguiamo tre zone di spazio. La prima è e consideriamo un cilindro perpendicolare al piano di sezione ed altezza con il suo centro coincidente con il centro della regione.


Attraverso le basi del cilindro il campo è uscente e vale in modulo . Il flusso attraverso la superficie laterale è identicamente nullo poiché il campo è parallelo alla superficie. Quindi applicando il teorema di Gauss:

Quindi:

Mentre se :

Quindi:

Se la densità di carica fosse stata negativa avrei avuto:

Ritorniamo al problema reale facendo due cambiamenti di coordinare per in maniera diversa tra + e -.

Le equazioni divengono:

Le equazioni divengono:


Quindi il campo totale nelle 4 regioni di spazio diviene:

Quindi il massimo di si ha nell'origine in cui:

Mentre la d.d.p. tra i due lati vale:

7. Un guscio spesso isolante[modifica]

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Il campo elettrico, sempre radiale, si ricava dal teorema di Gauss. All'esterno della distribuzione si ha che:

Nella cavità il campo è nullo.

Mentre la densità di carica, nella regione dove è uniforme, vale:

Quindi applicando Gauss:

Il campo è ovviamente massimo per dove vale:

8. Differenza di potenziale di una nuvola sferica[modifica]

→ Vai alla traccia

Dal teorema di Gauss essendo il campo elettrico radiale la sua intensità all'interno della sfera vale:

Quindi:


9. Due sfere lontane[modifica]

→ Vai alla traccia

La carica cui si porta la prima sfera è:

Dovendo portarsi allo stesso potenziale, detta e le cariche finali delle due sfere:

ma anche:

da cui:

Il potenziale finale (comune) vale:

10. Regione tra due piani[modifica]

→ Vai alla traccia

Assunta come origine dell'asse delle il centro e normale ai piani. Consideriamo un cilindro gaussiano di base con asse parallelo all'asse delle di altezza . Applicando il teorema di Gauss, vi è flusso del campo elettrico solo attraverso le due superfici di base ed è eguale ed uscente per entrambe le superfici per cui

Quindi:

La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'estremo vale:

11. Una goccia d'acqua[modifica]

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Una sfera conduttrice con carica genera un campo radiale di intensità, applicando il teorema di Gauss:

Per cui la d.d.p. tra la superficie della goccia e l'infinito: vale:

quindi:

12. Una nuvola sferica carica[modifica]

→ Vai alla traccia

La carica totale vale:

quindi:


Nel guscio sferico compreso tra e vi è una carica:

Dal teorema di Gauss:


13. Un corpo di massa m e carico[modifica]

→ Vai alla traccia

La densità di carica vale:

Dal teorema di Gauss:

L'equazione del moto per quanto riguarda la componente radiale dello spostamento vale:

Che l'equazione di un oscillatore armonico con pulsazione:

14. Giunzione p-n graduale[modifica]

→ Vai alla traccia

Field.png

Avendo il problema simmetria piana si hanno tre regioni di spazio, di cui due in cui il campo è nullo , e una regione centrale in cui in cui il campo è diverso da 0. La ragione per cui al di fuori dello strato il campo è identicamente nullo dipende dal fatto che la zona carica ha carica totale nulla, e quindi al di fuori della zona le cariche opposte da esse possedute si bilanciano completamente. All'interno della distribuzione invece non si ha un bilanciamento. Per ragioni di continuità sulle superfici dello strato il campo elettrico è nullo.

A partire da questo fatto si calcola mediante il teorema di Gauss il campo elettrico nella regione centrale. Si considera un cilindro gaussiano retto di superficie di base . Disponiamo il cilindro con le generatrici ortogonali al piano dello strato e con una superficie all'esterno dello strato (dove il campo è nullo) e l'altra in un punto generico della regione centrale (di coordinata x), applicando il teorema di Gauss:

da cui imponendo che per sia :

La d.d.p. tra un estremo e il centro della distribuzione vale:

Si risolveva ancora più semplicemente ricorrendo al teorema di Gauss in forma locale che all'interno della nuvola si riduce in:

Che integrato diviene:

da cui imponendo che per sia :

15. Nuvola sferica con due densità[modifica]

→ Vai alla traccia

a)

La carica totale tra e vale:

b)

La carica tra ed vale:

Quindi la carica totale tra e vale:

Quindi per il teorema di Gauss il campo elettrico all'esterno della distribuzione () vale:

Quindi per :

Cioè punta verso l'interno.

c)

Il campo è nullo nella sfera di raggio all'interno della regione con carica negativa per cui la carica

è eguale ed opposta a:

d)

Dal teorema di Gauss per :

La d.d.p. vale:

16. Filo su piano[modifica]

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a) Il campo elettrico generato nella parte superiore della superficie piana, diretto verso l'alto visto il segno di , vale:

Quindi la forza che agisce sulla carica posta a distanza vale:

di conseguenza, la forza attrattiva vale:

b) Il campo elettrico, diretto verso il filo per il segno della carica su di esso, creato a distanza dal filo vale:

Tra il piano ed il filo il campo elettrico generato dalle due distribuzioni di carica sono concordi e quindi la risultante non si annulla mai. Mentre al di sopra del filo, scelta l'origine sul piano, sulla verticale del filo, si ha che , per cui il campo risultante vale:

Che si annulla per:

Mentre sotto il piano:

che si annulla per:

17. Moto in nuvola cilindrica[modifica]

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Applicando il teorema di Gauss per si ha che:

Applicando il teorema di Gauss per $r>R\ </math> si ha che:

La d.d.p. tra e vale:

La d.d.p tra ed vale:

Quindi:

18. Nuvola sferica con densità cubica[modifica]

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a)

La carica in ogni guscio sferico di raggio e spessore di vale:

Quindi la carica totale vale:

b)

Applicando il teorema di Gauss ad una sfera di raggio concentrica alla nuvola:

Segue che:

di conseguenza per

c)

La differenza di potenziale tra il centro della nuvola e il bordo vale:

Il campo fuori della nuvola vale:

Quindi la d.d.p. tra il bordo della nuvola e l'infinito vale:

Quindi tra il centro della nuvola e l'infinito:

19. Nuvola sferica con densità variabile[modifica]

→ Vai alla traccia

a)

b)

Dal teorema di Gauss per :

Mentre per :

Notare che

Inoltre il campo elettrico è nullo per , quindi all'interno della distribuzione ha un massimo, quando cioè:

cioè per:

c) La d.d.p. vale:

20. Due sfere[modifica]

→ Vai alla traccia

a)

La carica di una sfera positiva vale:

Dal teorema di Gauss il campo generato dalla sola sfera di destra è nullo al centro e vale all'interno:

(come all'interno di una sfera uniformemente carica ma con origine nel punto ). Mentre quello della sfera di sinistra è semplicemente:

Quindi in totale:

In particolare per :

o anche più semplicemente:

b)

In questo caso il campo coincide con quello di due cariche puntiformi poste in e . Che generano un campo avente solo componente (l'altra componente è nulla) che vale:

Quindi per :

c)

La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'infinito vale:

Essendo:

Quindi imponendo che:

si ha che:

21. Carica dentro guscio sferico[modifica]

→ Vai alla traccia

a)

Nella regione dal centro vi è solo la carica puntiforme per cui:

Quindi:

b)

All'interno di una sfera gaussiana di raggio la carica totale vale:

Quindi dovendo per il teorema di Gauss:

Perchè quindi non dipenda da deve essere:

c)

La carica totale vale:

d)

Essendo costante il campo elettrico la d.d.p. tra b ed a vale:

22. Distribuzione esponenziale[modifica]

→ Vai alla traccia

ElectricFieldvsx.png

a)

Al centro il campo è nullo per ragioni di simmetria, ma anche se viene usato il teorema di Gauss a una regione cilindrica simmetrica attorno al centro di altezza risulta:

che è nullo per .

Mentre per vale:


b)

A grande distanza cioè per si ha:

c)

La differenza di potenziale tra e :

Quindi se :

23. Doppio strato separato[modifica]

→ Vai alla traccia


L'unica componente del campo elettrico è lungo l'asse delle x.

a)

A grande distanza il campo è nullo in quanto la sovrapposizione di due strati carichi con carica eguale ed opposta.

b)

Es15p153b.png

Per e :

Per si ha che cresce in maniera lineare:

Quindi (imponendo che sia nullo per :

Per è costante:

Per diminuisce linearmente:

c)

La differenza di potenziale tra e (integrando il campo elettrico tra e )

Quindi imponendo che:

si ha che la velocità deve essere maggiore di:

Si noti che se proveniva dalla direzione opposta non trova nessuna barriera.

24 Sfera con due fori[modifica]

→ Vai alla traccia

a)

Campolungoz.png

Una sfera omogenea di raggio e densità di carica uniforme , ha in coordinate cartesiane nel punto generico all'interno di coordinate :

Sovrapponendo due sfere di raggio e densità di carica uniforme centrate nei punti e si ottiene la stessa distribuzione di carica e anche lo stesso campo.

La carica totale negativa di ognuna delle sfere negative è:

i punti sull'asse delle z sono tutti all'esterno di tali regioni per cui (per cui generano il campo di una carica ) e la componente lungo l'asse delle si elidono a vicenda quindi il campo è pari a:

Funzione mostrata di lato.

b)

Campolungox.png

Lungo l'asse delle avremo che la sfera positiva genera un campo

Per , la zona a carica negativa di sinistra genera un campo:

Mentre la regione di destra genera un campo:

Quindi per sommando i tre termini:

Mentre per :

Funzione mostrata nella figura qui sopra.

Le componenti ed sono identicamente nulle lungo tale asse.

c)

Nella regione a carica nulla di destra:

il campo elettrico nelle sue tre componenti cartesiane può essere calcolato estendendo le formule precedenti:

Notiamo che le componenti ed sono nulle lungo l'asse delle ma non le derivate parziali:

Sommando:

25. Guscio concentrico[modifica]

→ Vai alla traccia

a)

La carica totale è pari:

Quindi a distanza dal centro il campo è radiale e vale:

b)

All'interno del guscio metallico il campo è nullo quindi sulla superficie interna deve essere indotta una carica eguale ed opposta a quella della nuvola isolante.

Quindi sulla superficie interna del guscio metallico la densità di carica è:

Mentre sulla superficie esterna per la conservazione della carica deve esserci una carica . Quindi la densità superficiale vale:

c)

Per la legge di Coulomb sull'esterno del guscio metallico il campo vale:

Mentre sul bordo della nuvola isolante vi è il valore massimo del campo elettrico:

d)

la densità di carica della sfera interna è:

Quindi il campo per vale:

La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola è il centro vale:

mentre il campo per ():

La differenza di potenziale tra l'interno del guscio metallo e il bordo della nuvola:

In totale la differenza di potenziale vale:

26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga[modifica]

→ Vai alla traccia

a)

La carica di un tratto lungo è pari a:

Quindi la carica per unità di lunghezza vale:

b)

Applicando il teorema di Gauss ad una cilindro gaussiano coassiale con la distribuzione e di altezza (consideriamo solo il flusso attraverso la superficie laterale per ragioni di simmetria):

c)

La funzione:

è crescente per , mentre per è decrescente. La sua derivata è nulla per:

Quindi il campo è massimo a tale distanza dall'asse:

d)

Se $a=1.7\ </math> il valore di

è al di fuori della definizione di , quindi la funzione è monotona crescente all'interno e decrescente fuori, in questo caso il massimo del campo si ha sul bordo della distribuzione e vale: