Una pietra viene lanciata (verso l'alto) con una velocità iniziale di 20.0 m/s contro una pigna all'altezza di 5.0 m rispetto al punto di lancio. Trascurando ogni resistenza, calcolare la velocità della pietra quando urta la pigna.
→ Vai alla soluzione
2. Bungee jumping[modifica]
Il cosiddetto Bungee jumping si ha quando un uomo di massa
si appende ad una fune elastica di costante di richiamo elastico
inizialmente a riposo e si lascia cadere (con velocità iniziale nulla). Inizia un moto armonico in cui viene prima raggiunta la massima velocità (nel punto di equilibrio tra le forze) ed infine si ha il massimo allungamento della fune
.
Determinare l'allungamento massimo e la relativa accelerazione, inoltre trovare la massima velocità raggiunta durante il moto. Si trascuri ogni forma di attrito.
(dati del problema
,
)
→ Vai alla soluzione
3. Macchina in salita[modifica]
Una automobile, che può schematizzarsi come un punto materiale, viaggia alla velocità
, assunto che la forza di attrito viscoso sia
(praticamente a tale velocità l'unica forza che si oppone alla forza di trazione del motore). Inoltre si immagini che la macchina debba percorrere un tratto in salita con pendenza
(rapporto tra innalzamento e percorso fatto sul tratto orizzontale: quindi la tangente dell'angolo di inclinazione). Determinare il lavoro (minimo) e la potenza minima del motore per percorrere un tratto
.
( dati del problema
,
,
,
,
)
→ Vai alla soluzione
4. Energia oscillatore armonico[modifica]
Una particella vibra di moto armonico semplice attorno all'origine. All'istante iniziale
l'energia potenziale elastica e l'energia cinetica sono eguali e valgono
e la particella si sta allontanando dalla posizione di equilibrio. Il periodo del moto vale
, la massa della particella vale
.
Determinare dopo quanto tempo la particella passa per l'origine, la massima velocità acquistata e il massimo allontanamento dalla posizione di equilibrio.
(dati del problema:
,
,
)
→ Vai alla soluzione
5. Lancio da piano inclinato[modifica]
Moto di un oggetto lanciato da un piano inclinato
Un punto materiale percorre con velocità iniziale
un piano inclinato di inclinazione
per un tratto
fino a raggiungere la sommità; a questo punto abbandona il piano inclinato
e cade a terra . L'attrito è trascurabile sia nel moto lungo il piano inclinato
che nel moto parabolico fino a toccare terra. Determinare: a) la velocità in modulo quando raggiunge la quota massima sul piano inclinato; b) la durata della caduta (dalla sommità del piano inclinato al pavimento); c) La gittata: distanza dalla base del piano inclinato al punto di caduta.
(dati del problema
,
,
)
→ Vai alla soluzione
Due corpi di massa
ed
, sono legati tra di loro da un'asta di massa trascurabile e lunghezza
. Il sistema viene messo in moto lungo l'asse
(quello dell'asta), mediante una forza di valore medio
che agisce per un tempo
(la forza è molto intensa e durante la sua azione si può trascurare l'attrito). Dopo l'azione di tale forza i corpi scivolano sul piano orizzontale con coefficienti di attrito per il primo corpo
e per il secondo
. Dopo avere percorso una distanza
(durante l'azione della forza di attrito) il corpo
entra in una regione di spazio ad attrito nullo. Trovare il valore di
, in maniera tale che il corpo 1 quando arriva nella regione di attrito nullo abbia velocità nulla e la massima velocità raggiunta dai due corpi.
(dati del problema
,
,
,
,
,
,
)
→ Vai alla soluzione
7. Moto con attrito[modifica]
Una forza
parallela al tratto orizzontale
come indicato in figura viene applicata su un oggetto di massa
, inizialmente in quiete nel punto
. La forza diviene parallela al piano inclinato quando l'oggetto incomincia a salire ed agisce fino alla quota
(punto
) in maniera che il punto materiale si ferma quando arriva nel punto
(alla quota
). Sia il tratto orizzontale che il tratto in salita sono scabri con coefficiente di attrito dinamico pari a
. Il piano inclinato ha un angolo
rispetto alla direzione orizzontale.
Determinare: 1) la velocità in
; 2) calcolare il lavoro della forza di attrito tra
e
; 3) la quota
; 4) La velocità in
.
(Dati del problema:
,
,
,
,
,
)
→ Vai alla soluzione
8. Nastro trasportatore[modifica]
Un nastro trasportatore di lunghezza
lavora ad una inclinazione
, esso trasporta in media, una massa
di minerale per unità di lunghezza (che corrisponde a un
). Determinare la potenza del motore necessaria per muovere il nastro ad una velocità lineare di
. Trascurare l'energia necessaria ad accelerare da fermo il minerale fino a
(dati del problema
,
,
,
,
)
→ Vai alla soluzione
9. Rimorchiatore[modifica]
Supponendo che la forza necessaria a rimorchiare una nave sia proporzionale al quadrato della velocità e che una potenza di
sia necessaria per rimorchiarla a
. Trovare la potenza necessaria per rimorchiarla
.
(dati del problema
,
,
)
→ Vai alla soluzione
Un ciclista e la sua bicicletta hanno una massa
. Trascurando gli attriti e la resistenza dell'aria, quanto tempo è necessario al ciclista per percorrere una strada con un dislivello di
se la potenza motrice che è in grado di sviluppare è
?
(dati del problema
,
,
)
→ Vai alla soluzione
11. Due persone con cassa[modifica]
Due persone fanno scivolare una cassa di massa
inizialmente ferma spostandola di
. Il primo spinge la cassa con una forza di
diretta con
verso il basso, mentre il secondo tira con una forza
diretta secondo
(verso l'alto). La forza è appena sufficiente a smuovere la cassa (cioè bilancia esattamente la forza di attrito).
a) Quale è il lavoro fatto singolarmente dalle due persone. b) Determinare il coefficiente di attrito. c) Se la cassa viene spostata in
quanto è approssimativamente la potenza sviluppata insieme dalle due persone. d) Se non vi fosse stato attrito quale sarebbe la velocità della cassa alla fine del percorso.
(dati del problema
,
,
,
,
,
e
Si ringrazia il simpatico fellone che non sa nè scrivere i dati nè scrivere giuste soluzioni, per aver fatto perdere un'ora della sua vita ad un povero disgraziato.
→ Vai alla soluzione

Una massa
viene lanciata orizzontalmente utilizzando un lanciatore da flipper, schematizzabile
come un pistone di massa
ed una molla armonica di massa trascurabile e costante elastica
che lavora solo in compressione (cioè per
).
Il sistema pistone+massa viene inizialmente compresso da
a
, (rimanendo in contatto come un unico corpo) e quindi rilasciato. Il pistone si muove nella sua sede senza attrito mentre la superficie di contatto della massa
ha un coefficiente di attrito dinamico pari a
. Quando la molla è completamente distesa la massa
si stacca (e non vi sono forze dissipative aggiuntive agenti sulla massa
, ma il pistone rimane bloccato da un fermo non visibile).
Determinare: a) l'energia del sistema massa pistone al momento del distacco; b) la velocità
della massa
al distacco; c) quando
(a partire dal distacco) e dove (
) la massa
si ferma; d) dove si sarebbe fermata la massa se la compressione della molla fosse stata
.
→ Vai alla soluzione
Il filo di una altalena si spezza se sale da fermo un individuo di massa
. Dei bambini invece spinti da un forza impulsiva opportuna eseguono il giro della morte. Notare che la tensione del filo esercita una forza solo in trazione mai
in compressione, per cui i bambini per fare il giro della morte debbono avere una velocità minima calcolabile dai dati.
Quale è la massima massa consentita per un bambino che voglia salire sull'altalena e l'impulso, nell'ipotesi di massa massima, che deve essere impresso dalla posizione di equilibrio per potere eseguire tale giro?
(dati del problema
,
)
→ Vai alla soluzione
14. Piano inclinato[modifica]
Un punto materiale di massa
, con velocità iniziale nulla scende lungo un piano inclinato con angolo
. Alla fine del piano scabro incontra un tratto orizzontale scabro di pari lunghezza. Determinare il massimo coefficiente di attrito dinamico perché il punto possa raggiungere la fine del tratto orizzontale e
di conseguenza la massima velocità raggiunta.
(dati del problema
,
)
→ Vai alla soluzione
Un uomo di massa
si arrampica, in allenamento, lungo una fune verticale per un tratto
in un tempo
. Determinare la potenza minima necessaria per tale sforzo (trascurare ogni attrito).
→ Vai alla soluzione
Un cavallo tira una slitta su un tratto di strada piano innevato ad una velocità
. La forza esercitata dal cavallo, contro la forza di attrito, è nella direzione orizzontale. La massa della slitta e del passeggero è di
. Determinare la potenza sviluppata dal cavallo per mantenere in movimento la slitta, l'attrito dinamico tra slitta e neve vale
→ Vai alla soluzione
17. Pendolo semplice[modifica]
Un pendolo semplice porta ad un estremo una massa
, il moto oscillatorio è descritto dall'equazione del moto delle piccole oscillazioni:

Con
ed
.
Calcolare: a) la massima differenza di energia potenziale durante il moto; b) la differenza tra valore massimo e minimo della tensione del filo.
→ Vai alla soluzione
18. Guida circolare[modifica]
Un punto materiale di massa
si muove all'interno di una guida circolare liscia (senza attrito) con raggio eguale a
posta in un piano verticale (detto A il punto più basso e B il punto più alto). a) Determinare la velocità minima
che deve avere il punto materiale nel punto A in maniera da rimanere in contatto con la guida in B. b) Se invece di descrivere una traiettoria circolare, il moto rimane
confinato nella parte inferiore della guida descrivendo un piccolo arco di circonferenza, se la velocità nel
punto A vale
, quale sarà la reazione vincolare offerta dalla guida al punto materiale quando esso
raggiunge la massima quota? c) Quale è il periodo di oscillazione, nell'ipotesi che sia l'elongazione piccola come nel caso b)?
→ Vai alla soluzione
Un uomo spinge un carro di massa
con una forza iniziale
. Come il carro comincia a muoversi lungo l'asse
, la forza esercitata dall'uomo diminuisce secondo la legge:
![{\displaystyle F(x)=F_{o}\left[1-x/x_{o}\right]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c343edb61d1ce8bbedc7fe9b8518f31231aeb9)
con
.
Determinare il lavoro fatto tra
e
e la velocità acquistata dal carro, se il carro si muove su un piano inclinato con una pendenza di
(il moto è senza attrito essendo
di puro rotolamento).
→ Vai alla soluzione
Il primo satellite artificiale, lo Sputnik I, descriveva una orbita circolare ad una altezza media di
dalla superficie della terra. Il raggio della terra vale
. Quale sarebbe stato il minimo lavoro necessario per mettere il satellite in orbita sapendo che la sua massa era
e che il suo periodo di rivoluzione era di
.
→ Vai alla soluzione
21. Pendolo semplice con piccole oscillazioni[modifica]
Un pendolo semplice porta ad un estremo una massa
, il moto oscillatorio è descritto dall'equazione del moto delle piccole oscillazioni:

con
e
.
Calcolare: a) la lunghezza del filo ; b) la massima differenza di energia potenziale durante il moto ; c) la tensione del filo massima e minima (precisione nei calcoli all'1%) ; d) la velocità al tempo
.
→ Vai alla soluzione
→ Vai alla traccia
Detta
la velocità finale dalla conservazione dell'energia segue che:
e quindi:
2. Bungee jumping[modifica]
→ Vai alla traccia
Detta
la massima elongazione (dove la velocità è nulla) dalla posizione di equilibrio, ponendo
l'energia potenziale iniziale (gravitazionale ed elastica) applicando la conservazione della energia meccanica:
La accelerazione in tale punto vale:
La velocità ha un massimo per un allungamento tale che:
Imponendo la conservazione dell'energia:
3. Macchina in salita[modifica]
→ Vai alla traccia
L'altezza da superare vale:

Quindi il lavoro minimo fatto contro la forza di gravità vale:

mentre quello contro la forza di attrito:

Il lavoro totale:

La potenza che compensa la forza di attrito è pari a:

mentre la potenza necessaria per compiere il tratto in salita è:

Quindi la potenza totale vale:

Notare che si è fatta una approssimazione: si è approssimato la lunghezza del tratto in salita il tratto in piano in quanto la pendenza è piccola:
. Infatti l'angolo del piano inclinato vale:

Il percorso in salita vale:

per questo:

Questa approssimazione fa fare un piccolo errore di calcolo per difetto nel calcolo del solo valore di
.
4. Energia oscillatore armonico[modifica]
→ Vai alla traccia
Essendo un moto armonico posso scrivere:


con
,
,
dovendo essere



In quanto si sta allontanando dalla posizione di equilibrio se si avvicinasse l'angolo sarebbe di
.
Quindi imponendo che:

segue che:

Inoltre dovendosi conservare l'energia la massima velocità è quella
per cui:


Mentre la massima elongazione è quella per cui:


5. Lancio da piano inclinato[modifica]
→ Vai alla traccia
a)
La altezza del piano inclinato è:

Per cui con la conservazione dell'energia detta
la velocità sulla sommità:

Da cui:

b)
La equazione del moto parabolico lungo la verticale è :

Da cui imponendo che
e chiamando
:

Escludendo la soluzione negativa:

c)
L'equazione del moto nella direzione orizzontale vale:

Da cui la gittata vale:

→ Vai alla traccia
Durante l'azione della forza esterna:


Dovendosi dissipare tutta l'energia cinetica iniziale nei processi di attrito:

sostituendo
ricavato prima:



7. Moto con attrito[modifica]
→ Vai alla traccia
1)
Nel tratto
agiscono solo la forza trainante
e l'attrito dinamico e quindi il loro lavoro vale:

Che è anche pari alla energia cinetica posseduta dall'oggetto nel punto
:


2)
Il lavoro fatto dalla forza di attrito durante la salita sarà:

3)
Alla fine del tratto in salita l'energia potenziale sarà divenuta:

Notare come la differenza tra l'energia potenziale nel punto più alto e il lavoro (cambiato di segno) della forza di attrito e l'energia cinetica iniziale (
) sia pari:

Cioè è necessario un lavoro aggiuntivo della forza
per raggiungere la quota
a velocità nulla:


4)
Nel punto
dalla conservazione dell'energia:


![{\displaystyle v_{C}={\sqrt {2[{\frac {1}{2}}Mv_{B}^{2}-Mgh'+F{\frac {h'}{\sin {\theta }}}-\mu Mg\cos {\theta }{\frac {h'}{\sin {\theta }}}]/M}}=4.45\ m/s\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38d62616d07d0ab1c9768128d5ce6d5150c8f56)
8. Nastro trasportatore[modifica]
→ Vai alla traccia
In unità SI:

Il minerale presente sul nastro ha una massa
, la potenza sviluppata dal motore vale quindi:

9. Rimorchiatore[modifica]
→ Vai alla traccia

Quindi:


Quindi:

→ Vai alla traccia

Detto
il tempo incognito:

11. Due persone con cassa[modifica]
→ Vai alla traccia
a)
Il lavoro fatto dalla prima persona vale:

Mentre quello fatto dalla seconda persona vale:

b)
Imponendo che:


c)

In realtà parte della potenza serve a portare la cassa alla velocità di regime:

Quindi:

Infatti:

trascurabile rispetto al lavoro necessario a spostare la cassa.
d)
Il lavoro totale andrebbe tutto in energia cinetica:



Quindi la potenza che deve essere sviluppata vale:

→ Vai alla traccia
a)
L'energia potenziale della molla compressa è:

L'energia dissipata dalla massa
durante il tragitto tra
e
vale:

Quindi l'energia del sistema massa più pistone al momento del distacco è:

b)
Essendo al distacco:

quindi:

c)
Dall'istante
la massa è soggetta alla sola forza di attrito dinamico radente per cui ponendo:

si ha:

Sostituendola nella equazione oraria

La posizione di arresto, ottenibile anche da considerazioni
energetiche:

d)
Se
. Sostituendo questo valore nella equazione precedente si ha:

→ Vai alla traccia
La tensione massima del filo vale:

Assumo il punto più basso come zero dell'energia potenziale
gravitazionale. E definisco
la massa del bambino.
Nel punto
più basso vi è solo energia cinetica:


Mentre nel punto
più alto vi è sia energia cinetica che potenziale:


Inoltre la tensione nel filo esercita una forza solo in trazione quindi la forza
peso deve essere la forza centripeta nel punto più alto (se la tensione della fune nel punto più
alto ha il valore minimo quello nullo):


Applicando la conservazione dell'energia:




In un pendolo il punto più basso è quello con la massima tensione:


Quindi il minimo impulso vale:

14. Piano inclinato[modifica]
→ Vai alla traccia
L'altezza del punto più alto vale:

quindi imponendo che tutta l'energia potenziale iniziale
sia dissipata per attrito nel primo tratto:

e nel II tratto:

Segue:


Alla fine del piano inclinato la velocità sarà massima,
l'energia cinetica vale:


→ Vai alla traccia
L'uomo deve esercitare una forza costante di
verso l'alto, opposta alla forza di gravità per sollevare il suo corpo con una velocità costante. I suoi muscoli compiono un lavoro:

La velocità media con cui sale sulla fune vale:

Quindi la energia cinetica che vale:

E' trascurabile rispetto a quella fornita per la sola salita.
La potenza che deve impiegare è:

→ Vai alla traccia
La forza motrice del cavallo è pari alla forza di attrito, muovendosi la slitta di velocità costante:

La velocità vale in SI:

Pertanto essendo
parallela
:

17. Pendolo semplice[modifica]
→ Vai alla traccia
a)
Il periodo vale:

Da cui:

quindi:

La massima differenza di energia potenziale vale:

b)
La tensione minima del filo si ha nel punto più alto:

Mentre:

Mentre nel punto più basso valendo la conservazione dell'energia:

da cui:


Quindi:

18. Guida circolare[modifica]
→ Vai alla traccia
a)
La minima velocità in B:




b)
La reazione vincolare vale:

ma:



c)



→ Vai alla traccia
Il lavoro vale:
![{\displaystyle W=\int _{0}^{x_{o}}F_{o}\left[1-{\frac {x}{x_{o}}}\right]dx=F_{o}\left[x-{\frac {x^{2}}{2x_{o}}}\right]_{0}^{x_{o}}={\frac {F_{o}x_{o}}{2}}=800\ J\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41ce221a77fbfa16a8ab9a20802782e8794ab84)
L'innalzamento del carro se la pendenza vale
vale evidentemente

Quindi eguagliando il lavoro totale fatto con la variazione incognita di energia cinetica e la differenza di energia potenziale:


→ Vai alla traccia
Per portarlo dalla superficie della terra alla quota
vale circa:

Quindi:

Inoltre dovendo viaggiare il satellite ad una velocità:

Dovrà fornire:

In totale:

Il calcolo più preciso: detta
la distanza dal centro della terra di un punto generico, la sua energia potenziale vale:

Dove :
è la massa della terra, :
è la costante di gravitazione universale.
Quindi per andare da
ad
:

In totale il risultato:

non si discosta apprezzabilmente dal valore approssimato.
21. Pendolo semplice con piccole oscillazioni[modifica]
→ Vai alla traccia

Il periodo vale:

Da cui:
a)

quindi:

b)
L'altezza del pendolo dal punto più basso vale:

Quindi la massima differenza di energia potenziale vale:

c)
La tensione minima del filo si ha nel punto più alto

Mentre è massima nel punto più basso e vale:

Dalla conservazione dell'energia tra il punto più basso e il più alto:

si ricava la velocità in basso:


d)
Quando

Si può risolvere con la conservazione dell'energia:


Ma anche in maniera cinematica a partire dal fatto che:
