Esercizi di fisica con soluzioni/Energia meccanica

Esercizi

1. Pietra

Una pietra viene lanciata (verso l'alto) con una velocità iniziale di 20.0 m/s contro una pigna all'altezza di 5.0 m rispetto al punto di lancio. Trascurando ogni resistenza, calcolare la velocità della pietra quando urta la pigna.

2. Bungee jumping

Il cosiddetto Bungee jumping si ha quando un uomo di massa $M\$ si appende ad una fune elastica di costante di richiamo elastico $k\$ inizialmente a riposo e si lascia cadere (con velocità iniziale nulla). Inizia un moto armonico in cui viene prima raggiunta la massima velocità (nel punto di equilibrio tra le forze) ed infine si ha il massimo allungamento della fune $l_{1}\$.

Determinare l'allungamento massimo e la relativa accelerazione, inoltre trovare la massima velocità raggiunta durante il moto. Si trascuri ogni forma di attrito.

(dati del problema $k=50\ N/m$, $M=75\ kg$)

3. Macchina in salita

Una automobile, che può schematizzarsi come un punto materiale, viaggia alla velocità $v_{o}\$, assunto che la forza di attrito viscoso sia $-kv^{2}\$ (praticamente a tale velocità l'unica forza che si oppone alla forza di trazione del motore). Inoltre si immagini che la macchina debba percorrere un tratto in salita con pendenza $p\$ (rapporto tra innalzamento e percorso fatto sul tratto orizzontale: quindi la tangente dell'angolo di inclinazione). Determinare il lavoro (minimo) e la potenza minima del motore per percorrere un tratto $l\$.

( dati del problema $k=0.5\ kgm^{-1}\$, $m=800\ kg$, $l=1000\ m$, $p=0.1$, $v_{o}=126\ km/h\$)

4. Energia oscillatore armonico

Una particella vibra di moto armonico semplice attorno all'origine. All'istante iniziale l'energia potenziale elastica e l'energia cinetica sono eguali e valgono $E_{0}\$ e la particella si sta allontanando dalla posizione di equilibrio. Il periodo del moto vale $T\$, la massa della particella vale $m\$.

Determinare dopo quanto tempo la particella passa per l'origine, la massima velocità acquistata e il massimo allontanamento dalla posizione di equilibrio.

(dati del problema: $E_{0}=0.1\ J\$, $T=3\ s\$, $m=400\ g\$)

5. Lancio da piano inclinato

Moto di un oggetto lanciato da un piano inclinato

Un punto materiale percorre con velocità iniziale $v_{o}\$ un piano inclinato di inclinazione $\theta \$ per un tratto $l\$ fino a raggiungere la sommità; a questo punto abbandona il piano inclinato e cade a terra . L'attrito è trascurabile sia nel moto lungo il piano inclinato che nel moto parabolico fino a toccare terra. Determinare: a) la velocità in modulo quando raggiunge la quota massima sul piano inclinato; b) la durata della caduta (dalla sommità del piano inclinato al pavimento); c) La gittata: distanza dalla base del piano inclinato al punto di caduta.

(dati del problema $v_{o}=10\ m/s\$, $\theta =30^{o}\$, $l=10\ m\$)

6. Due corpi

Due corpi di massa $m_{1}\$ ed $m_{2}\$, sono legati tra di loro da un'asta di massa trascurabile e lunghezza $d\$. Il sistema viene messo in moto lungo l'asse $x\$ (quello dell'asta), mediante una forza di valore medio $|F_{o}|\$ che agisce per un tempo $\tau \$ (la forza è molto intensa e durante la sua azione si può trascurare l'attrito). Dopo l'azione di tale forza i corpi scivolano sul piano orizzontale con coefficienti di attrito per il primo corpo $\mu _{1}\$ e per il secondo $\mu _{2}\$. Dopo avere percorso una distanza $l\$ (durante l'azione della forza di attrito) il corpo $2\$ entra per primo in una regione di spazio ad attrito nullo. Trovare il valore di $|F_{o}|\$, in maniera tale che il corpo $1\$ quando arriva nella regione di attrito nullo abbia velocità nulla, calcolare inoltre la massima velocità raggiunta dai due corpi.

(dati del problema $l=2\ m\$, $d=3\ m\$, $\tau =1\ ms\$, $m_{1}=0.7\ kg\$, $m_{2}=2\ kg\$, $\mu _{1}=0.6\$, $\mu _{2}=0.7\$)

7. Moto con attrito

Una forza ${\vec {F}}\$ parallela al tratto orizzontale $L\$ come indicato in figura viene applicata su un oggetto di massa $M\$, inizialmente in quiete nel punto $A\$. La forza diviene parallela al piano inclinato quando l'oggetto incomincia a salire ed agisce fino alla quota $h'\$ (punto $C\$) in maniera che il punto materiale si ferma quando arriva nel punto $D\$ (alla quota $h\$). Sia il tratto orizzontale che il tratto in salita sono scabri con coefficiente di attrito dinamico pari a $\mu \$. Il piano inclinato ha un angolo $\theta \$ rispetto alla direzione orizzontale.

Determinare: 1) la velocità in $B\$; 2) calcolare il lavoro della forza di attrito tra $B\$ e $D\$; 3) la quota $h'\$ ; 4) La velocità in $C\$.

(Dati del problema: $F=20\ N\$, $L=1\ m\$, $M=1\ kg\$, $\mu =1.2\$, $\theta =30^{o}\$, $h=0.5\ m\$ )

8. Nastro trasportatore

Un nastro trasportatore di lunghezza $l\$ lavora ad una inclinazione $\theta \$, esso trasporta in media, una massa $m_{o}\$ di minerale per unità di lunghezza (che corrisponde a un $\mu =dM/dl\$). Determinare la potenza del motore necessaria per muovere il nastro ad una velocità lineare di $v_{o}\$. Trascurare l'energia necessaria ad accelerare da fermo il minerale fino a $v_{o}\$

(dati del problema $\mu =500\ kg/m\$, $v_{o}=10\ km/h\$, $l=10\ m\$, $\theta =30^{o}\$)

9. Rimorchiatore

Supponendo che la forza necessaria a rimorchiare una nave sia proporzionale al quadrato della velocità e che una potenza di $P_{o}\$ sia necessaria per rimorchiarla a $v_{0}\$. Trovare la potenza necessaria per rimorchiarla $v_{1}\$.

(dati del problema $P_{o}=7.5\ kW\$, $v_{o}=1\ m/s\$, $v_{1}=3\ m/s\$)

10. Ciclista

Un ciclista e la sua bicicletta hanno una massa $M\$. Trascurando gli attriti e la resistenza dell'aria, quanto tempo è necessario al ciclista per percorrere una strada con un dislivello di $h\$ se la potenza motrice che è in grado di sviluppare è $W_{o}\$?

(dati del problema $M=80\ kg\$, $h=120\ m\$, $W_{o}=150\ W\$)

11. Due persone con cassa

Due persone fanno scivolare una cassa di massa $M\$ inizialmente ferma spostandola di $d\$. Il primo spinge la cassa con una forza di $F_{1}\$ diretta con $\theta _{1}\$ verso il basso, mentre il secondo tira con una forza $F_{2}\$ diretta secondo $\theta _{2}\$ (verso l'alto). La forza è appena sufficiente a smuovere la cassa (cioè bilancia esattamente la forza di attrito). a) Quale è il lavoro fatto singolarmente dalle due persone. b) Determinare il coefficiente di attrito. c) Se la cassa viene spostata in $t_{1}\$ quanto è approssimativamente la potenza sviluppata insieme dalle due persone.

(dati del problema $M=250\ kg\$, $d=8.5\ m\$, $\theta _{1}=9^{o}\$, $\theta _{2}=18^{o}\$, $F_{1}=150\ N\$, $t_{1}=34\ s$ e $F_{2}=250\ N\$

12. Flipper

Una massa $m=0.08\ kg\$ viene lanciata orizzontalmente utilizzando un lanciatore da flipper, schematizzabile come un pistone di massa $M=0.15\ kg\$ ed una molla armonica di massa trascurabile e costante elastica $k=50\ N/m$ che lavora solo in compressione (cioè per $x<0\$). Il sistema pistone+massa viene inizialmente compresso da $x=0\$ a $x=-\ell =-6\ cm$, (rimanendo in contatto come un unico corpo) e quindi rilasciato. Il pistone si muove nella sua sede senza attrito mentre la superficie di contatto della massa $m\$ ha un coefficiente di attrito dinamico pari a $\mu _{d}=0.18\$. Quando la molla è completamente distesa la massa $m\$ si stacca (e non vi sono forze dissipative aggiuntive agenti sulla massa $m\$, ma il pistone rimane bloccato da un fermo non visibile). Determinare: a) l'energia del sistema massa pistone al momento del distacco; b) la velocità $v_{0}\$ della massa $m\$ al distacco; c) quando $t_{x}\$ (a partire dal distacco) e dove ($d\$) la massa $m\$ si ferma; d) dove si sarebbe fermata la massa se la compressione della molla fosse stata $x_{1}=-\ell _{1}=-3\ cm$.

13. Altalena

Se su una altalena sale un individuo di massa $m\$ il filo dell'altalena di lunghezza $\ell$ si spezza. Un bambino sull'altalena può eseguire il giro della morte, ma per farlo deve avere una velocità minima nel punto più alto. Notare come la tensione della fune agisca in tensione non in compressione. Determinare a) la velocità minima del punto più alto, b) la velocità minima nel punto più basso; c) la massima massa del bambino.

(dati del problema $m=100\ kg\$, $\ell =2\ m$)

14. Piano inclinato

Un punto materiale di massa $m\$, con velocità iniziale nulla scende lungo un piano inclinato con angolo $\alpha \$ di lunghezza $\ell \$. Alla fine del piano scabro incontra un tratto orizzontale scabro di pari lunghezza. Determinare a) il massimo coefficiente di attrito dinamico perché il punto possa raggiungere la fine del tratto orizzontale e di conseguenza b) la massima velocità raggiunta.

(dati del problema $\alpha =\pi /3\$, $\ell =4\ m\$)

15. Fune

Un uomo di massa $M=80\ kg\$ si arrampica, in allenamento, lungo una fune verticale per un tratto $l=12\ m\$ in un tempo $t_{1}=30\ s$. Determinare la potenza minima necessaria per tale sforzo (trascurare ogni attrito).

16. Slitta

Un cavallo tira una slitta su un tratto di strada piano innevato ad una velocità $v_{o}=10\ km/h$. La forza esercitata dal cavallo, contro la forza di attrito, è nella direzione orizzontale. La massa della slitta e del passeggero è di $M=170\ kg$. Determinare la potenza sviluppata dal cavallo per mantenere in movimento la slitta, l'attrito dinamico tra slitta e neve vale $\mu _{d}=0.09\$

17. Pendolo semplice

Un pendolo semplice porta ad un estremo una massa $m=1\ kg$, il moto oscillatorio è descritto dall'equazione del moto delle piccole oscillazioni:

$\theta =\theta _{o}\sin {\Omega _{o}t}\$

Con $\theta _{o}=0.1\ rad\$ ed $\Omega _{o}=3\ rad/s\$. Calcolare: a) la massima differenza di energia potenziale durante il moto; b) la differenza tra valore massimo e minimo della tensione del filo.

18. Guida circolare

Un punto materiale di massa $m=10\ g$ si muove all'interno di una guida circolare liscia (senza attrito) con raggio eguale a $R=10\ m$ posta in un piano verticale (detto A il punto più basso e B il punto più alto). a) Determinare la velocità minima $v_{min}\$ che deve avere il punto materiale nel punto A in maniera da rimanere in contatto con la guida in B. b) Se invece di descrivere una traiettoria circolare, il moto rimane confinato nella parte inferiore della guida descrivendo un piccolo arco di circonferenza, se la velocità nel punto A vale $v_{0}=1\ m/s\$, quale sarà la reazione vincolare offerta dalla guida al punto materiale quando esso raggiunge la massima quota? c) Quale è il periodo di oscillazione, nell'ipotesi che sia l'elongazione piccola come nel caso b)?

19. Carro

Un uomo spinge un carro di massa $M=300\ kg\$ con una forza iniziale $F_{o}=80\ N\$. Come il carro comincia a muoversi lungo l'asse $x\$, la forza esercitata dall'uomo diminuisce secondo la legge:

$F(x)=F_{o}\left[1-x/x_{o}\right]\$

con $x_{o}=20\ m\$. Determinare il lavoro fatto tra $x=0\$ e $x=x_{o}\$ e la velocità acquistata dal carro, se il carro si muove su un piano inclinato con una pendenza di $p=1\%\$ (il moto è senza attrito essendo di puro rotolamento).

20. Sputnik

Il primo satellite artificiale, lo Sputnik I, descriveva una orbita circolare ad una altezza media di $h=170\ km\$ dalla superficie della terra. Il raggio della terra vale $R_{terra}=6370\ km\$. Quale sarebbe stato il minimo lavoro necessario per mettere il satellite in orbita sapendo che la sua massa era $m=83.6\ kg\$ e che il suo periodo di rivoluzione era di $T=88\ minuti$.

21. Pendolo semplice con piccole oscillazioni

Un pendolo semplice porta ad un estremo una massa $m=8\ kg$, il moto oscillatorio è descritto dall'equazione del moto delle piccole oscillazioni:

$\theta =\theta _{o}\sin {\Omega _{o}t}\$

con $\theta _{o}=8^{o}\$ e $\Omega _{o}=3\ rad/s\$. Calcolare: a) la lunghezza del filo; b) la massima differenza di energia potenziale durante il moto; c) la tensione del filo massima e minima (precisione nei calcoli all'1%); d) la velocità al tempo $t_{1}=\pi /(8\Omega _{o})\ \$.

Soluzioni

1. Pietra

Detta $v_{x}\$ la velocità finale dalla conservazione dell'energia segue che:

${\frac {1}{2}}mv^{2}=mgh+{\frac {1}{2}}mv_{x}^{2}\$

e quindi:

$v_{x}={\sqrt {v^{2}-2gh}}=17.4\ m/s$

2. Bungee jumping

Detta $l_{1}\$ la massima elongazione (dove la velocità è nulla) dalla posizione di equilibrio, ponendo $0\$ l'energia potenziale iniziale (gravitazionale ed elastica) applicando la conservazione della energia meccanica:

$-Mgl_{1}+{\frac {1}{2}}kl_{1}^{2}=0\$

$l_{1}={\frac {2Mg}{k}}=29.4\ m$

La accelerazione in tale punto vale:

$a={\frac {F}{M}}={\frac {kl_{1}}{M}}-g=g\$

La velocità ha un massimo, quando la risultante delle forze è nullo, quindi per un allungamento tale che:

$-Mg+kl_{2}=0\$

$l_{2}={\frac {Mg}{k}}=14.7\ m$

Imponendo la conservazione dell'energia:

${\frac {1}{2}}Mv^{2}-Mgl_{2}+{\frac {1}{2}}kl_{2}^{2}=0\$

$v=g{\sqrt {\frac {M}{k}}}=12\ m/s$

3. Macchina in salita

L'altezza da superare vale:

$h=lp=100\ m$

Quindi il lavoro minimo fatto contro la forza di gravità vale:

$W_{g}=mglp=784\ kJ$

mentre quello contro la forza di attrito:

$W_{a}=kv^{2}l=612\ kJ$

Il lavoro totale:

$W_{T}=L_{g}+L_{a}=1396\ kJ$

La potenza che compensa la forza di attrito è pari a:

$P_{a}=kv_{o}^{3}=21\ kW$

mentre la potenza necessaria per compiere il tratto in salita è:

$P_{s}=mgv_{o}p=27\ kW$

Quindi la potenza totale vale:

$P=P_{a}+P_{t}=48\ kW$

Notare che si è fatta una approssimazione: si è approssimata la lunghezza del tratto in salita come se fosse piana in quanto la pendenza è piccola: $p=0.1\$. Infatti l'angolo del piano inclinato vale:

$\theta =\arctan(p)=5.8^{o}\$

Il percorso in salita varrebbe:

$L_{s}=l/cos(\theta )=1005\ m\$

per questo:

$L_{s}\approx l\$

Questa approssimazione fa fare un piccolo errore di calcolo per difetto nel calcolo del solo valore di $W_{a}\$.

4. Energia oscillatore armonico

Essendo un moto armonico posso scrivere:

$x=x_{o}\sin(\omega t+\varphi )\$

$v=x_{o}\omega \cos(\omega t+\varphi )\$

con $\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2.1\ rad/s\$, $k=\omega ^{2}m=1.75\ N/m\$, dovendo essere

${\frac {1}{2}}mv(0)^{2}={\frac {1}{2}}kx(0)^{2}\$

$\tan {\varphi }=1\$

$\varphi =45^{o}=\pi /4\$

In quanto si sta allontanando dalla posizione di equilibrio se si avvicinasse l'angolo sarebbe di $-45^{o}\$.

Quindi imponendo che:

$\omega t_{1}+\varphi =\pi \$

segue che:

$t_{1}=1.12\ s\$

Inoltre dovendosi conservare l'energia la massima velocità è quella per cui:

${\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}=2E_{o}\$

$v_{o}=1\ m/s\$

Mentre la massima elongazione è quella per cui:

${\frac {1}{2}}kx_{o}^{2}=2E_{o}\$

$x_{o}=0.48\ m\$

5. Lancio da piano inclinato

a)

La altezza del piano inclinato è:

$h_{o}=l\sin \theta =5\ m\$

Per cui con la conservazione dell'energia detta $v_{1}\$ la velocità sulla sommità:

${\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}={\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}+mgh_{o}\$

Da cui:

$v_{1}={\sqrt {v_{o}^{2}-2gh_{o}}}=1.41\ m/s\$

b)

La equazione del moto parabolico lungo la verticale è :

$y=h_{0}+v_{1}\sin \theta t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\$

Da cui imponendo che $y=0\$ e chiamando $v_{1y}=v_{1}\sin \theta \$:

$gt^{2}-2v_{1y}t-2h_{0}=0\$

Escludendo la soluzione negativa per ovvie ragioni:

$t={\frac {v_{1y}+{\sqrt {v_{1y}^{2}+2gh_{o}}}}{g}}=1.1\ s\$

c)

L'equazione del moto nella direzione orizzontale vale:

$x=v_{1}\cos \theta t\$

Da cui la gittata vale:

$x_{g}=1.34\ m\$

6. Due corpi

Durante l'azione della forza esterna:

$F_{o}\tau =(m_{1}+m_{2})v_{o}\$

$v_{o}={\frac {F_{o}\tau }{m_{1}+m_{2}}}\$

Dovendosi dissipare tutta l'energia cinetica iniziale nei processi di attrito:

${\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})v_{o}^{2}=\mu _{1}m_{1}g(l+d)+\mu _{2}m_{2}gl\$

sostituendo $v_{o}\$ ricavato prima:

${\frac {F_{o}^{2}\tau ^{2}}{2(m_{1}+m_{2})}}=\mu _{1}m_{1}g(l+d)+\mu _{2}m_{2}gl\$

$F_{o}=1.6\cdot 10^{4}\ N\$

Si ha la massima velocità quando cessa la forza impulsiva iniziale, quindi sostituendo il valore della forza calcolata si ha che:

$v_{o}=6\ m/s\$

7. Moto con attrito

1)

Nel tratto $AB\$ agiscono solo la forza trainante $F\$ e l'attrito dinamico e quindi il loro lavoro vale:

$W_{AB}=(F-\mu Mg)L=8.2\ J\$

Che è anche pari alla energia cinetica posseduta dall'oggetto nel punto $B\$:

${\frac {1}{2}}Mv_{B}^{2}=W_{AB}\$

$v_{B}={\sqrt {\frac {2L_{AB}}{M}}}={\sqrt {\frac {2(F-\mu Mg)L}{M}}}=4.1\ m/s\$

2)

Il lavoro fatto dalla forza di attrito durante la salita sarà:

$W_{a}=-\mu Mg\cos {\theta }{\frac {h}{\sin {\theta }}}=-10.2\ J\$

3)

Alla fine del tratto in salita l'energia potenziale sarà divenuta:

$E_{p}=Mgh=4.9\ J\$

Notare come la differenza tra l'energia potenziale nel punto più alto e il lavoro (cambiato di segno) della forza di attrito e l'energia cinetica iniziale (${\frac {1}{2}}Mv_{B}^{2}\$) sia pari:

$E_{p}-W_{a}-W_{AB}=6.9\ J>0\$

Cioè è necessario un lavoro aggiuntivo della forza $F\$ per raggiungere la quota $h\$ a velocità nulla:

${\frac {Fh'}{\sin {\theta }}}=E_{p}-W_{a}-W_{AB}\$

$h'={\frac {E_{p}-W_{a}-W_{AB}}{F}}\sin {\theta }=0.17\ m\$

4)

Nel punto $h'\$ dalla conservazione dell'energia:

${\frac {1}{2}}Mv_{B}^{2}=Mgh'-F{\frac {h'}{\sin {\theta }}}+\mu Mg\cos {\theta }{\frac {h'}{\sin {\theta }}}+{\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}\$

${\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}={\frac {1}{2}}Mv_{B}^{2}-Mgh'+F{\frac {h'}{\sin {\theta }}}-\mu Mg\cos {\theta }{\frac {h'}{\sin {\theta }}}\$

$v_{C}={\sqrt {2[{\frac {1}{2}}Mv_{B}^{2}-Mgh'+F{\frac {h'}{\sin {\theta }}}-\mu Mg\cos {\theta }{\frac {h'}{\sin {\theta }}}]/M}}=4.45\ m/s\$

8. Nastro trasportatore

In unità SI:

$v_{o}=2.8\ m/s\$

Il minerale presente sul nastro ha una massa $M_{l}=\mu l=5\cdot 10^{3}\ kg\$, la potenza sviluppata dal motore vale quindi:

$P=M_{l}gv_{o}\sin \theta =6.8\times 10^{4}\ W\$

9. Rimorchiatore

$F_{t}=bv^{2}\$

Quindi:

$P_{o}=bv_{o}^{3}\$

$b={\frac {P_{o}}{v_{o}^{3}}}\$

Quindi:

$P_{1}=bv_{1}^{3}=P_{o}{\frac {v_{1}^{3}}{v_{o}^{3}}}=202\ kW\$

10. Ciclista

$W_{o}={\frac {Mgh}{t_{x}}}\$

Detto $t_{x}\$ il tempo incognito:

$t_{x}={\frac {Mgh}{W_{o}}}=627\ s\approx 10minuti\$

11. Due persone con cassa

a)

Il lavoro fatto dalla prima persona vale:

$W_{1}=F_{1}d\cos \theta _{1}=1259\ J\$

Mentre quello fatto dalla seconda persona vale:

$W_{2}=F_{2}d\cos \theta _{2}=2021\ J\$

b)

Imponendo che:

$\mu (Mg+F_{1}\sin \theta _{1}-F_{2}\sin \theta _{2})=F_{1}\cos \theta _{1}+F_{2}\cos \theta _{2}\$

$\mu ={\frac {F_{1}\cos \theta _{1}+F_{2}\cos \theta _{2}}{Mg+F_{1}\sin \theta _{1}-F_{2}\sin \theta _{2}}}=0.16\$

c)

$P_{1}={\frac {W_{1}+W_{2}}{t_{1}}}=96\ W\$

In realtà parte della potenza serve a portare la cassa alla velocità di regime:

$v_{1}={\frac {d}{t_{1}}}=0.25\ m/s\$

Quindi in realtà:

$P_{1}'={\frac {W_{1}+W_{2}+1/2Mv_{1}^{2}}{t_{1}}}=97\ W\$

Infatti:

${\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}=7.8\ J\$

trascurabile rispetto al lavoro necessario a spostare la cassa.

12. Flipper

a)

L'energia potenziale della molla compressa è:

$E_{p}={\frac {1}{2}}\,k\;\ell ^{2}=0.09~{\rm {J}}\$

L'energia dissipata dalla massa $m\$ durante il tragitto tra $-\ell \$ e $0\$ vale:

$E_{d}=\mu _{d}\,mg\ell =0.0085~{\rm {J}}\$

Quindi l'energia del sistema massa più pistone al momento del distacco è:

$E_{s}=E_{p}-E_{d}={\frac {1}{2}}\,k\;\ell ^{2}-\mu _{d}\,mg\ell =0.0815~{\rm {J}}\$

b)

Essendo al distacco:

$E_{s}={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}Mv_{o}^{2}\$

quindi:

$v_{0}={\sqrt {\frac {k\ell ^{2}-2\mu _{d}\,mg\ell }{m+M}}}\simeq 0.84\ {\rm {m/s}}\$

c)

Dall'istante $t=0\$ la massa è soggetta alla sola forza di attrito dinamico radente per cui ponendo:

$0=v_{0}-\mu _{d}\,g\,t^{*}\,\$

si ha:

$t^{*}={\frac {v_{0}}{\mu _{d}\,g}}\simeq 0.48\ {\rm {s}}\$

Sostituendola nella equazione oraria

$d=v_{o}t^{*}-\mu _{d}\,g\,{t^{*}}^{2}=0.2\ {\rm {m}}\$

La posizione di arresto, ottenibile anche da considerazioni energetiche:

$d={\frac {1}{2}}{\frac {v_{0}^{2}}{\mu _{d}\,g}}={\frac {m}{m+M}}\left({\frac {k\ell ^{2}}{2\mu _{d}\,m\,g}}-\ell \right)=0.2\ {\rm {m}}\$

d)

Se $\ell _{1}=-3\ cm\$. Sostituendo questo valore nella equazione precedente si ha:

$d_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {v_{0}^{2}}{\mu _{d}\,g}}={\frac {m}{m+M}}\left({\frac {k\ell _{1}^{2}}{2\mu _{d}\,m\,g}}-\ell _{1}\right)=0.045\ {\rm {m}}\$

13. Altalena

a)

La tensione massima del filo vale:

$T_{max}=mg=980\ N$

La tensione nel filo esercita una forza solo in trazione quindi la forza peso deve essere la forza centripeta nel punto più alto (se la tensione della fune nel punto più alto ha il valore minimo quello nullo):

$m_{b}g=m_{b}{\frac {v_{2}^{2}}{\ell }}\$

$v_{2}^{2}=g\ell \qquad v_{2}=4.4\ m/s\$

b)

Assumo il punto più basso come zero dell'energia potenziale gravitazionale. E definisco $m_{b}\$ la massa del bambino. Nel punto $1\$ più basso vi è solo energia cinetica:

$E_{k1}={\frac {1}{2}}m_{b}v_{1}^{2}\$

$E_{p1}=0\$

Mentre nel punto $2\$ più alto vi è sia energia cinetica che potenziale:

$E_{k2}={\frac {1}{2}}m_{b}v_{2}^{2}\$

$E_{p2}=m_{b}g2\ell \$

Applicando la conservazione dell'energia:

${\frac {1}{2}}m_{b}v_{1}^{2}={\frac {1}{2}}m_{b}v_{2}^{2}+m_{b}g2\ell \$

${\frac {1}{2}}m_{b}v_{1}^{2}={\frac {1}{2}}m_{b}g\ell +m_{b}g2\ell \$

$v_{1}^{2}=5g\ell \$

$v_{1}={\sqrt {5g\ell }}=9.9\ m/s\$

c) In un pendolo il punto più basso è quello con la massima tensione:

$T_{max}=m_{b}g+m_{b}{\frac {v_{1}^{2}}{\ell }}=6m_{b}g\$

$m_{b}={\frac {T_{max}}{6g}}={\frac {m}{6}}\approx 17\ kg\$

14. Piano inclinato

a)

L'altezza del punto più alto vale:

$h=\ell \sin \alpha \$

quindi imponendo che tutta l'energia potenziale iniziale sia dissipata per attrito in parte nel primo tratto:

$\ell \mu mg\cos \alpha \$

e in parte nel II tratto:

$\mu \ell mg\$

Segue che:

$mg\ell \sin \alpha =\mu mg\cos \alpha \ell +\mu mg\ell \$

$\mu ={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}=0.58\$

b)

Alla fine del piano inclinato la velocità sarà massima, l'energia cinetica vale:

${\frac {1}{2}}mv^{2}=mg\ell \sin \alpha -\ell \mu mg\cos \alpha \$

$v={\sqrt {2g\ell (\sin \alpha -\mu \cos \alpha )}}=6.7\ m/s\$

15. Fune

L'uomo deve esercitare una forza costante di $Mg\$ verso l'alto, opposta alla forza di gravità per sollevare il suo corpo con una velocità costante. I suoi muscoli compiono un lavoro:

$W=Mgl=9408\ J\$

La velocità media con cui sale sulla fune vale:

$v_{1}={\frac {l}{t_{1}}}=0.4\ m/s\$

Quindi la energia cinetica che vale:

${\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}=6.4\ J\$

E' trascurabile rispetto a quella fornita per la sola salita.

La potenza che deve impiegare è:

$P={\frac {W}{t_{1}}}=314\ W\$

16. Slitta

La forza motrice del cavallo è pari alla forza di attrito, muovendosi la slitta di velocità costante:

$F_{t}=\mu _{d}N=\mu _{d}Mg=150\ N\$

La velocità vale in SI:

$v_{o}=2.78\ m/s\$

Pertanto essendo $v_{o}\$ parallela $F\$:

$P=F_{t}v_{o}=417\ W\$

17. Pendolo semplice

a)

Il periodo vale:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\$

Da cui:

$\Omega _{o}={\sqrt {\frac {g}{\ell }}}\$

quindi:

$\ell ={\frac {g}{\Omega _{o}^{2}}}=1.1\ m\$

La massima differenza di energia potenziale vale:

$\Delta E_{p}=mg\ell (1-\cos {\theta _{o}})=0.053\ J\$

b)

La tensione minima del filo si ha nel punto più alto:

$|T_{min}|=mg\cos {\theta _{o}}\$

Mentre:

$|T_{max}|=m\left(g+{\frac {v^{2}}{\ell }}\right)\$

Mentre nel punto più basso valendo la conservazione dell'energia:

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}=mg\ell (1-\cos {\theta _{o}})=\Delta E_{p}\$

da cui:

$v={\sqrt {2g\ell (1-\cos {\theta _{o}})}}\$

$|T_{max}|=mg(3-2\cos {\theta _{o}})\$

Quindi:

$|T_{max}|-|T_{min}|=3mg(1-\cos {\theta _{o}})=0.15\ N\$

18. Guida circolare

a)

La minima velocità in B:

${\frac {mv_{Bmin}^{2}}{R}}=mg\$

$v_{Bmin}^{2}=gR\$

${\frac {1}{2}}mv_{Amin}^{2}=2mgR+{\frac {1}{2}}mv_{Bmin}^{2}\$

$v_{Amin}={\sqrt {5gR}}=22\ m/s\$

b)

La reazione vincolare vale:

$R_{v}=mg\cos \theta _{o}\$

ma:

${\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}=mgR(1-\cos \theta _{o})\$

$\cos \theta _{o}=1-{\frac {v_{o}^{2}}{2gR}}\$

$R_{v}=mg(1-v^{2}/2gR)=0.097\ N\$

c)

$mR{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mg\sin \theta \approx -mg\theta \$

$\omega ^{2}={\frac {g}{R}}\$

$T=2\pi {\sqrt {\frac {R}{g}}}=6.3\ s\$

19. Carro

Il lavoro vale:

$W=\int _{0}^{x_{o}}F_{o}\left[1-{\frac {x}{x_{o}}}\right]dx=F_{o}\left[x-{\frac {x^{2}}{2x_{o}}}\right]_{0}^{x_{o}}={\frac {F_{o}x_{o}}{2}}=800\ J\$

L'innalzamento del carro se la pendenza vale $p\$ vale evidentemente

$h\approx px_{o}=0.2\ m\$

Quindi eguagliando il lavoro totale fatto con la variazione incognita di energia cinetica e la differenza di energia potenziale:

$W=Mgh+{\frac {1}{2}}Mv_{x}^{2}\$

$v_{x}=1.19\ m/s\$

20. Sputnik

Per portarlo dalla superficie della terra alla quota $h\$ vale circa:

$W_{1}=mgh\$

Quindi:

$W_{1}=1.39\cdot 10^{8}\ J\$

Inoltre dovendo viaggiare il satellite ad una velocità:

$v_{o}={\frac {2\pi (R_{t}+h)}{T}}=7.78\cdot 10^{3}\ m/s\$

Dovrà fornire:

$W_{2}={\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}=2.53\cdot 10^{9}\ J\$

In totale:

$W_{1}+W_{2}=2.67\cdot 10^{9}\ J\$

Il calcolo più preciso: detta $r\$ la distanza dal centro della terra di un punto generico, la sua energia potenziale vale:

$U_{p}(r)=-G{\frac {M_{T}m}{r}}=-g{\frac {mR_{T}^{2}}{r}}\$

Dove :$M_{T}\$ è la massa della terra, :$G\$ è la costante di gravitazione universale. Quindi per andare da $R_{T}\$ ad $R_{T}+h\$:

$W'_{1}=-g{\frac {mR_{T}^{2}}{R_{T}+h}}+g{\frac {mR_{T}^{2}}{R_{T}}}=gm{\frac {R_{T}h}{R_{T}+h}}=1.36\cdot 10^{8}\ J\$

In totale il risultato:

$W'_{1}+W_{2}=2.67\cdot 10^{9}\ J\$

non si discosta apprezzabilmente dal valore approssimato.

21. Pendolo semplice con piccole oscillazioni

$\theta _{r0}=180\theta _{0}/\pi =0.14\ rad\$

Il periodo vale:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\$

Da cui:

a)

$\Omega _{o}={\sqrt {\frac {g}{\ell }}}\$

quindi:

$\ell ={\frac {g}{\Omega _{o}^{2}}}=1.1\ m\$

b)

L'altezza del pendolo dal punto più basso vale:

$h=\ell (1-\cos {\theta _{0}})\$

Quindi la massima differenza di energia potenziale vale:

$\Delta E_{p}=mg\ell (1-\cos {\theta _{0}})=0.83\ J\$

c)

La tensione minima del filo si ha nel punto più alto

$T_{min}=mg\cos {\theta _{0}}=78\ N\$

Mentre è massima nel punto più basso e vale:

$T_{max}=m\left(g+{\frac {v^{2}}{l}}\right)\$

Dalla conservazione dell'energia tra il punto più basso e il più alto:

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}=mg\ell (1-\cos {\theta _{0}})=\Delta E_{p}\$

si ricava la velocità in basso:

$v_{M}={\sqrt {2g\ell (1-\cos {\theta _{0}})}}=0.46\ m/s\$

$T_{max}=mg(3-2\cos {\theta _{0}})=80\ N\$

d)

Quando $t=t_{1}=0.13\ s\$

$\theta _{1}=\theta _{r0}\sin {\Omega _{o}t_{1}}=0.05\ rad\$

Si può risolvere con la conservazione dell'energia:

${\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}+mgl(1-\cos {\theta _{1}})=mgl(1-\cos {\theta _{r0}})$

$v_{1}={\sqrt {2g\ell (\cos {\theta _{1}}-\cos {\theta _{r0}})}}=0.42\ m/s$

Ma anche in maniera cinematica a partire dal fatto che:

$\omega (t)={\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\theta _{r0}\Omega _{o}\cos {\Omega _{o}t}\$