Esercizi di fisica con soluzioni/Quantità di moto

Esercizi di fisica con soluzioni

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Esercizi

1. Urto elastico

Un corpo di massa m₁ si muove con velocità costante v₀, quando urta in modo elastico un corpo di massa m₂ inizialmente fermo. Calcolare le velocità v₁ e ₂ dei due corpi dopo l'urto approssimando alla prima cifra dopo la virgola. (se il risultato dovesse venire negativo è necessario far precedere il segno " - " prima del numero senza lasciare spazi, es:" -9 ". Il segno " + " può anche essere omesso

Questa esercitazione si divide in tre casi possibili:

m₁ > m₂ (m₁ =6kg; m₂ =4kg; v₀ =4m/s)
m₁ = m₂ (m₁ =5Kg; m₂ =5Kg; v₀ =6m/s)
m₁ < m₂ (m₁ =2Kg; m₂ =8Kg; v₀ =5m/s)

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2. Esplosione

Una massa inizialmente in quiete esplode e si divide in due pezzi di massa m₁= 15Kg ed m₂=60Kg.

Supponendo che l'energia sprigionata dall'esplosione sia 4500 J e che tutta l'energia venga trasferita a m₁ e m₂ sotto forma di energia cinetica, calcolare le velocità v₁ e v₂ delle masse dopo l'esplosione approssimate alla seconda cifra dopo la virgola.

Muovendosi in direzioni opposte, una velocità sarà negativa.

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3. Esplosione in quota

Un punto materiale di massa $m = 1 k g$ viene lanciato lungo la verticale da una molla di costante elastica $K = 300 N / m$ , con la compressione iniziale $Δ x = 10 c m$ e lunghezza a riposo $l_{o} = 18 c m$ . Il punto materiale si stacca quando la molla raggiunge la posizione di riposo. Raggiunta un’altezza $h = 30 c m$ dalla posizione di distacco dalla molla, (ancora in fase ascendente) il punto materiale esplode in due frammenti di massa $m_{1} = 0.333 k g$ e $m_{2} = 0.666 k g$ come illustrato in figura. Gli angoli formati dalle direzioni delle due velocità $v_{01}$ e $v_{02}$ dei due frammenti subito dopo l'esplosione rispetto all'orizzontale sono $θ_{1} = 3 0^{o}$ , $θ_{2} = 2 0^{o}$ .

Si chiede di calcolare (trascurando l'attrito): a) La velocità $v_{0}$ del punto materiale subito dopo il distacco dalla molla; b)le velocità $v_{01}$ e $v_{02}$ dei due punti materiali subito dopo l'esplosione; c) L’altezza massima raggiunta da $m_{1}$ rispetto alla posizione dell'esplosione; d) La distanza $d$ rispetto alla posizione del distacco in cui $m_{2}$ cade a terra.

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4. Tre carrelli

Tre carrelli di masse eguali $m = 20 k g$ sono posti su una guida orizzontale senza attrito, uno dietro l'altro, e collegati mediante due corde (inestensibili). Le corde sono allentate la prima è lunga $l_{1} = 20 c m$ , la seconda $l_{2} = 10 c m$ . Al tempo $t = 0$ al primo carrello viene impartita una velocità $v_{o} = 0.6 m / s$ verso destra della figura. Notare come agiscano solo forze interne al sistema e che via via che i carrelli vengono messi in moto le corde rimangono tese. Il processo agli effetti del calcolo è simile una sequenza di urti completamente anelastici.

Determinare: a) la velocità del terzo carrello quando inizia a muoversi; b) Quando ( $t_{x}$ ) il terzo carrello comincia a muoversi; c) l'energia meccanica dissipata.

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5. Bomba

Una bomba, inizialmente ferma, esplode in tre frammenti $A$ , $B$ e $C$ di stessa massa $m$ . L'energia cinetica complessiva $E_{K}$ dei tre frammenti si conosce (dal tipo di esplosivo e dalla sua quantità). Le direzioni di volo dei frammenti sono mostrate in figura, determinare il modulo della velocità di ogni frammento.

(Dati del problema $m = 3 k g$ , $E_{k} = 1 0^{4} J$ )

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6. Altalena

Un bambino è seduto su un'altalena di un parco giochi. Il sistema è schematizzabile come un pendolo semplice costituito da un filo inestensibile di lunghezza $l = 2 m$ al quale è applicata una massa puntiforme $m = 20 k g$ . A partire dalla posizione di equilibrio (sistema fermo in verticale) l'altalena raggiunge l'angolo massimo ( $9 0^{\circ}$ rispetto alla verticale) attraverso una sequenza di $n = 15$ spinte eguali. Ad ogni spinta, esercitata quando la massa ha velocità istantanea nulla, nel punto più alto ogni volta raggiunto, viene fornito un impulso $\vec{J}$ che ha sempre lo stesso modulo e direzione tangente alla traiettoria della massa (arco di circonferenza).

Determinare: a) Il modulo dell'impulso $| J |$ dato ad ogni spinta ; b) l'angolo massimo dell'altalena rispetto alla verticale dopo la prima spinta; c) la tensione massima del filo che sorregge l'altalena.

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7. Sbarra sospesa

Una sbarretta di massa $M$ è sospesa agli estremi da due molle eguali di costante elastica $k$ che a causa della sospensione della sbarretta sono di lunghezza $ℓ$ . Un piccolo oggetto di massa $m$ cade dall'alto da altezza $h$ e rimbalza in maniera elastica nel centro della sbarretta. Determinare a) la lunghezza a riposo delle due molle; b) la velocità di impatto e di rimbalzo dell'oggetto di massa $m$ ; c) la altezza a cui rimbalza; d) la velocità della sbarra subito dopo l'urto e la sua ampiezza di oscillazione.

(dati del problema $M = 4 k g$ , $k = 2000 N / m$ , $ℓ = 20 c m$ , $m = 300 g$ , $h = 50 c m$ )

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Soluzioni

1. Urto elastico

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Questo esercizio può avere tre soluzioni, a seconda che la massa urtante sia uguale, maggiore o minore di quella urtata.

Prima verrà analizzata la formula generale, successivamente verranno affrontate caso per caso tutte le soluzioni.

Espressione generale

${\begin{matrix} m_{1} v_{0} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} \\ \frac{1}{2} m_{1} v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} \end{matrix}$

Possiamo dividere per m₂ la prima equazione (che sicuramente sarà diversa da 0) e moltiplicare per 2 la seconda ottenendo:

${\begin{matrix} \frac{m_{1}}{m_{2}} v_{0} = \frac{m_{1}}{m_{2}} v_{1} + v_{2} \\ \frac{m_{1}}{m_{2}} v_{0}^{2} = \frac{m_{1}}{m_{2}} v_{1}^{2} + v_{2}^{2} \end{matrix}$

Isolando il termine in v₂ nelle due equazioni otterremo:

${\begin{matrix} \frac{m_{1}}{m_{2}} (v_{0} - v_{1}) = v_{2} \\ \frac{m_{1}}{m_{2}} (v_{0}^{2} - v_{1}^{2}) = v_{2}^{2} \end{matrix}$

Sostituendo v₂ nella seconda equazione otterremo:

$\frac{m_{1}}{m_{2}} (v_{0}^{2} - v_{1}^{2}) = {(\frac{m_{1}}{m_{2}})}^{2} (v_{0} - v_{1})^{2} \Rightarrow \frac{m_{1}}{m_{2}} (v_{0} + v_{1}) (v_{0} - v_{1}) = {(\frac{m_{1}}{m_{2}})}^{2} (v_{0} - v_{1})^{2}$

Semplificando m₁/m₂ e per (v₀-v₁) si avrà:

$(v_{0} + v_{1}) = (\frac{m_{1}}{m_{2}}) (v_{0} - v_{1}) \Rightarrow v_{0} (\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{2}}) = v_{1} (\frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2}})$

per trovare v₁

$v_{1} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0}$

Per trovare v₂

$v_{2} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{0}$

Possiamo notare che la velocità v₂ avrà sempre lo stesso segno di v₀, mentre invece v₁ potrà assere negativa, positiva o nulla a seconda che m₁ sia maggiore, minore o uguale a m₂.

Analizziamo ora i casi che possiamo incontrare

m₁ < m₂

m₁= 2Kg
m₂= 8Kg
v₀=5m/s
$v_{1} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} = \frac{2 - 8}{2 + 8} 5 = \frac{- 6}{10} 5 = - 3 m / s$
$v_{2} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} = \frac{2 \cdot 2}{2 + 8} 5 = \frac{4}{10} 5 = + 2 m / s$

La massa m₁ rimbalza dopo l'urto.

m₁ > m₂

m₁=6Kg
m₂=4Kg
v₀=4m/s
$v_{1} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} = \frac{6 - 4}{6 + 4} 5 = \frac{+ 2}{10} 5 = \frac{4}{5} m / s = 0, 8 m / s$
$v_{2} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} = \frac{2 \cdot 6}{6 + 4} 5 = \frac{12}{10} 5 = + 4.8 m / s$

La massa m₁ prosegue dopo l'urto e m₂ acquista una velocità maggiore di m₁ prima dell'urto.

m₁ = m₂

m₁=5Kg
m₂=5Kg
v₀=6m/s
$v_{1} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} = \frac{5 - 5}{5 + 5} 6 = \frac{0}{10} 6 = 0 m / s$
$v_{2} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} = \frac{2 \cdot 5}{5 + 5} 6 = \frac{10}{10} 6 = + 6 m / s$

La massa m₁ si arresta dopo l'urto e m₂ acquista una velocità UGUALE a quella di m₁ prima dell'urto, cioè la quantità di moto e l'energia cinetica si trasferiscono interamente dalla massa m₁ ad m₂.

2. Esplosione

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La quantità di moto iniziale uguale a 0 perché il sistema è fermo.

L'esplosione, che una forza interna, fa sì che la quantità di moto complessiva resti nulla anche dopo l'esplosione. Se l'energia sprigionata dall'esplosione si trasforma in sola energia cinetica e i due frammenti non ruotano, possiamo scrivere due equazioni. Si noti che i due frammenti si muovono sulla stessa retta.

${\begin{matrix} 0 = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} \\ E = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} \end{matrix}$

Dividendo la prima equazione per m₁ e moltiplicando la seconda per 2 si ha:

${\begin{matrix} 0 = v_{1} + \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{2} ⟹ v_{1} = - \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{2} \\ 2 E = m_{1} v_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} \end{matrix}$

${\begin{matrix} v_{1} = - \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{2} \\ 2 E = m_{1} (- \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{2})^{2} + m_{2} v_{2}^{2} ⟹ 2 E = \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} v_{2}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} ⟹ 2 E = (\frac{m_{2}}{m_{1}} + 1) m_{2} v_{2}^{2} \end{matrix}$

$v_{2}^{2} = \frac{2 E}{(\frac{m_{2}}{m_{1}} + 1) m_{2}}$

$v_{2} = \sqrt{\frac{2 E}{(\frac{m_{2}}{m_{1}} + 1) m_{2}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 4500}{(\frac{60}{15} + 1) 60}} = \sqrt{\frac{9000}{300}} = \sqrt{30} \approx 5.48 m / s$

$v_{1} = \frac{60}{15} 5.48 = - 21.92 m / s$

Le velocità sono inversamente proporzionali alle masse e hanno segno opposto.

3. Esplosione in quota

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a)

La velocità al momento del distacco dalla molla si può calcolare utilizzando la conservazione dell’energia meccanica, ricordandosi anche del contributo dato dalla variazione dell’energia potenziale gravitazionale:

\frac{1}{2} K Δ x^{2} + m g (l_{o} - Δ x) = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g l_{o}

da cui:

v_{0} = \sqrt{\frac{K Δ x^{2} - 2 m g Δ x}{m}} = 2.84 m / s

Notiamo che con questa velocità iniziale potrebbe arrivare fino ad $h_{m a x}$ , essendo:

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h_{m a x}

h_{m a x} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} = 41 c m

b)

Subito prima di esplodere la velocità $v$ , si ricava dalla conservazione dell'energia:

m g h + \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}

v = \sqrt{v_{0}^{2} - 2 g h} = 1.47 m / s

Poiché la divisione avviene a causa di sole forze interne si conserva la quantità di moto durante il distacco, perciò imponendo tale conservazione nella direzione orizzontale:

m_{1} v_{01} \cos θ_{1} - m_{2} v_{02} \cos θ_{2} = 0

si può calcolare la relazione tra le velocità $v_{01}$ e $v_{02}$ :

v_{02} = \frac{v_{01} m_{1} \cos θ_{1}}{m_{2} \cos θ_{2}}

Quindi dalla conservazione della quantità di moto nella direzione verticale:

m v = m_{1} v_{01} \sin θ_{1} - m_{2} v_{02} \sin θ_{2}

sostituendo:

m v = m_{1} v_{01} \sin θ_{1} - m_{2} v_{01} \frac{v_{01} m_{1} \cos θ_{1}}{m_{2} \cos θ_{2}} \sin θ_{2}

v_{01} = \frac{m v}{m_{1} (\sin θ_{1} - \cos θ_{1} \tan θ_{2})} = 24 m / s

v_{02} = \frac{v_{01} m_{1} \cos θ_{1}}{m_{2} \cos θ_{2}} = 11 m / s

c)

L’altezza massima del punto $m_{1}$ può essere calcolata applicando la conservazione dell’energia alla parte di energia cinetica dovuta alla componente verticale della velocità (che viene trasformata in energia potenziale gravitazionale):

\frac{1}{2} m_{1} (v_{01} \sin θ_{1})^{2} = m_{1} g h_{1}

da cui:

h_{1} = \frac{(v_{01} \sin θ_{1})^{2}}{2 g} = 7.2 m

d)

La quota massima dista da terra:

h_{2} = l_{o} + h = 48 c m

Per via cinematica è invece possibile calcolare il punto di caduta di $m_{2}$ :

x_{2} (t) = v_{02} \cos θ_{2} t

y_{2} (t) = h_{2} - v_{02} \sin θ_{2} t - \frac{1}{2} g t^{2}

Imponendo $y (t_{f}) = 0$ si ricava il tempo di volo, che permette di calcolare la gittata $d$ :

t_{f} = \frac{- v_{02} \sin θ_{2} + \sqrt{v_{02}^{2} \sin^{2} θ_{2} + 2 g h_{2}}}{g} = 0.11 s

d = x_{2} (t_{f}) = 1.15 m

4. Tre carrelli

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a)

La q.m. si conserva quindi quando il I filo si tende e si muove il II carrello, entrambi si muoveranno con velocità $v_{1}$ tale che:

m v_{o} = 2 m v_{1}

v_{1} = \frac{v_{o}}{2} = 0.3 m / s

quando il II filo si tende e si muove il III carrello, tutti si muoveranno con velocità $v_2$ tale che:

m v_{o} = 3 m v_{2}

v_{3} = \frac{v_{o}}{3} = 0.2 m / s

b)

Il tempo che impiega il primo filo a tendersi vale:

t_{1} = \frac{l_{1}}{v_{0}} = 0.33 s

Il tempo che impiega il secondo filo a tendersi vale:

t_{2} = \frac{2 l_{2}}{v_{0}} = 0.33 s

Quindi in totale:

t_{x} = t_{1} + t_{2} = 0.66 s

c)

L'energia meccanica iniziale vale:

E_{k o} = \frac{1}{2} m v_{o}^{2}

Quella finale:

E_{k f} = \frac{3}{2} m {(\frac{v_{o}}{3})}^{2}

Quindi l'energia dissipata vale:

Δ E = E_{k o} - E_{k f} = \frac{1}{3} m v_{o}^{2} = 2.4 J

5. Bomba

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Dalla conservazione della quantità di moto sull'asse verticale:

\frac{m}{3} v_{B} \sin (π / 4) - \frac{m}{3} v_{C} \sin (π / 4) = 0

Quindi:

| v_{B} | = | v_{C} |

Dalla conservazione della quantità di moto sull'asse orizzontale

\frac{m}{3} v_{A} - 2 \frac{m}{3} v_{B} \cos (π / 4) = 0

v_{A} = \sqrt{2} v_{B}

Quindi:

E_{K} = \frac{1}{2} \frac{m}{3} v_{A}^{2} + \frac{1}{2} \frac{m}{3} v_{B}^{2} + \frac{1}{2} \frac{m}{3} v_{C}^{2} = \frac{2}{3} m v_{B}^{2}

v_{B} = v_{C} = \sqrt{\frac{3 E_{K}}{2 m}} = 71 m / s

v_{A} = \sqrt{\frac{3 E_{K}}{m}} = 100 m / s

6. Altalena

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a) In ciascuna spinta il modulo della quantità di moto della massa passa da zero a $| J | = m | v |$ , corrispondentemente l'energia cinetica passa da zero a:

E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \frac{J^{2}}{m}

L'energia meccanica totale in ogni spinta subisce il medesimo incremento $Δ E_{t o t} = E_{c}$ .

In totale debbo imporre che:

m g l = \frac{1}{2} n \frac{| J |^{2}}{m}

Quindi:

| J | = m \sqrt{\frac{2 g l}{n}} = 32 N s

La variazione dell'energia meccanica totale dalla configurazione iniziale di equilibrio a quella corrispondente all'angolo massimo di $9 0^{\circ}$ vale $m g l$ , pertanto

m g l = n \frac{1}{2} \frac{J^{2}}{m}, | J | = m \sqrt{\frac{2 g l}{n}} ≃ 32.3 N s

b)

Applicando la conservazione dell'energia meccanica dopo la prima spinta, l'angolo massimo $θ_{1}$ risulta:

m g l (1 - \cos θ_{1}) = \frac{1}{2} \frac{J^{2}}{m}

ovvero

\cos θ_{1} = 1 - \frac{| J |^{2}}{2 m^{2} g l} = 0.875, e θ_{1} ≃ 0.367 r a d ≃ 2 1^{\circ}

c)

La massima tensione della fune viene esercitata nell'ultima oscillazione quando la massa ha la velocità massima trovandosi nel punto più basso.

\frac{1}{2} m v_{m a x}^{2} = m g l e v_{m a x} = \sqrt{2 g l} = 6.3 m / s

La fune deve supportare la forza peso e fornire la necessaria ulteriore forza centripeta, pertanto:

m \frac{v_{m a x}^{2}}{l} = T_{m a x} - m g e T_{m a x} = m (g + \frac{v_{m a x}^{2}}{l}) = 3 m g = 588 N

7. Sbarra sospesa

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a)

Imponendo che la sbarra sia inizialmente in equilibrio:

2 k (ℓ - ℓ_{o}) - M g = 0

segue che:

ℓ_{o} = ℓ - \frac{M g}{2 k} = 19 c m

b)

La velocità di impatto si ricava dalla conservazione della energia:

m g h = \frac{1}{2} m v_{o}^{2}

v_{o} = - \sqrt{2 g h} = 3.13 m / s

(segno meno in quanto diretta verso il basso).

Nell'urto si conserva la quantità di moto:

m v_{o} = m v_{f} + M V_{f} \to V_{f} = \frac{m}{M} (v_{o} - v_{f}) =

dove $v_{f}$ e $V_{f}$ sono la velocità del punto materiale e della sbarra. Ma si conserva anche l'energia:

\frac{1}{2} m v_{o}^{2} = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} + \frac{1}{2} M V_{f}^{2} \to m (v_{o} - v_{f}) (v_{o} + v_{f}) = M V_{f}^{2} = M \frac{m^{2}}{M^{2}} (v_{o} - v_{f})^{2}

Da cui:

v_{f} = \frac{m - M}{M + m} v_{o} = 2.7 m / s

c)

Quindi dopo l'urto il punto materiale rimbalza ad una altezza:

m g h_{f} = \frac{1}{2} m v_{f}^{2}

h_{f} = \frac{v_{f}^{2}}{2 g} = 0.36 m

d)

Dalla conservazione della quantità di moto:

V_{f} = \frac{m}{M} (v_{o} - v_{f}) = - 0.44 m / s

Quindi oscillando tutta la sua energia cinetica diventa energia potenziale (attorno ad $ℓ$ ) di ampiezza (le molle sono due):

\frac{1}{2} M V_{f}^{2} = k x_{a}^{2}

x_{a} = V_{f} \sqrt{\frac{M}{2 k}} = 0.014 m