Una scala di massa
e lunghezza
è appoggiata ad un estremo ad un muro verticale (liscio) e ad un altro estremo al suolo con coefficiente di attrito
.
Detto
l'angolo che la scala forma con la direzione verticale (si può verificare che la scala da sola è in equilibrio).
Un uomo di massa
sale sulla scala, la scala rimane ancora in equilibrio se
l'uomo sale fino al gradino più alto?
(dati del problema
,
,
,
)
→ Vai alla soluzione
Una fune sostiene una trave orizzontale di massa
, lunga
,
bloccata ad un estremo da una parete verticale e all'altro è appesa
una massa
. La fune è fissata nell'estremo B della trave, quindi non può scorrere, e forma un angolo
con la direzione orizzontale.
Determinare a) la tensione della fune tra il muro e l'asta; b) la componente normale esercitata dalla trave sulla parete; c) il coefficiente minimo di attrito statico tra parete e trave, in maniera che la trave rimanga bloccata alla parete.
→ Vai alla soluzione
3. Mezzo anello[modifica]
Determinare il centro di massa di un mezzo anello di raggio
e massa
uniforme.
→ Vai alla soluzione
4. Quarto di anello[modifica]
Determinare il centro di massa di un quarto di anello di raggio
e massa
uniforme.
→ Vai alla soluzione
5. Mezzo disco e mezza sfera[modifica]
Determinare il centro di massa di un mezzo disco di raggio
e massa
uniforme e di una mezza sfera
con le stesse caratteristiche.
→ Vai alla soluzione
6. Quarto di disco[modifica]
Determinare il centro di massa di un quarto di disco di raggio
e massa
uniforme.
→ Vai alla soluzione
7. Sfera con foro[modifica]
Determinare il centro di massa di una sfera di raggio
al cui interno sia stata tolta una sfera di raggio
tangente alla sfera maggiore.
→ Vai alla soluzione
8. Disco bloccato[modifica]
Un disco di massa
e raggio
è sottoposto all'azione di una forza
che è applicata ad altezza
, poggia su un piano orizzontale scabro ed è trattenuto fermo da un filo disposto come in figura con un angolo
rispetto alla direzione orizzontale.
Determinare a) la tensione del filo; b) il coefficiente di attrito statico minimo che permette l'equilibrio. c) Se la forza viene applicata, più in alto ad altezza
, trovare il valore
per cui la forza di attrito è nulla e quindi il piano può essere liscio come si vuole.
→ Vai alla soluzione
9. Manubrio asimmetrico[modifica]
Una asta rigida di massa trascurabile ha agli estremi due sfere piene di ferro
di raggio
e
.
Al centro dell'asta un perno (fulcro) nel punto
permette la rotazione del sistema. La distanza tra i centri delle sfere ed il fulcro vale
. Un filo trattiene la sfera di massa maggiore. Determinare: a) la massa totale del sistema e la posizione del centro di massa rispetto al punto
; b) la reazione vincolare del fulcro.
Il filo si spezza e il sistema incomincia a ruotare, determinare c) l'accelerazione angolare del sistema all'istante iniziale del moto; d) la velocità angolare quando l'asta è verticale.
→ Vai alla soluzione
→ Vai alla traccia
Detto
il punto di appoggio verticale ed
quello orizzontale; scelto l'asse
come direzione orizzontale e la
come verticale; assunto
come
polo. La prima equazione cardinale nella direzione verticale è (detta
la reazione vincolare normale al punto B) :

da cui:

Detta
la distanza da
dell'uomo compresa tra
ed
, imponendo che il momento delle forze rispetto al polo
sia nullo (detta
la reazione vincolare normale al punto A):

da cui:

Che è massima quando:

cioè per:

Per avere equilibrio occorre che anche, ( detta
la forza di attrito statico tra il punto nel punto B):

quindi

La condizione di equilibrio è verificata infatti:

→ Vai alla traccia
a)
Imponendo che sia nullo il momento totale delle forze, rispetto all'estremo
sulla parete:

segue che:

b)
La componente normale della reazione vincolare della parete alla compressione vale:

c)
Le forze verticali agenti sulla trave ad esclusione della reazione vincolare sono:

Quindi, dovendo essere:

Il minore coefficiente di attrito statico che garantisce il blocco della trave vale:

3. Mezzo anello[modifica]
→ Vai alla traccia
Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.
La densità lineare di massa vale:

Mentre l'elemento di lunghezza infinitesima, assunto come variabile l'angolo
, è:

Quindi:

Tale generico elemento di trova nel punto di coordinate:

Quindi:
![{\displaystyle x_{CM}={\frac {\int _{-\pi /2}^{+\pi /2}x'dm}{m}}={\frac {\int _{-\pi /2}^{+\pi /2}R\sin \theta {\frac {m}{\pi }}d\theta }{m}}={\frac {R}{\pi }}\left[-\cos \theta \right]_{-\pi /2}^{+\pi /2}=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341702964f801b87cbf0f7fa57e07c5f83844ea8)
come era ovvio per ragioni di simmetria.
Mentre:
![{\displaystyle y_{CM}={\frac {\int _{-\pi /2}^{+\pi /2}y'dm}{m}}={\frac {\int _{-\pi /2}^{+\pi /2}R\cos \theta {\frac {m}{\pi }}d\theta }{m}}={\frac {R}{\pi }}\left[\sin \theta \right]_{-\pi /2}^{+\pi /2}={\frac {2R}{\pi }}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763393d19d8721a19bdb50a30c234a994695a0f1)
4. Quarto di anello[modifica]
→ Vai alla traccia
Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.
La densità lineare di massa vale:

Mentre l'elemento di lunghezza infinitesima, assunto come variabile l'angolo
, è:

Quindi:

Tale generico elemento di trova nel punto di coordinate:

Quindi:
![{\displaystyle x_{CM}={\frac {\int _{0}^{\pi /2}x'dm}{m}}={\frac {\int _{0}^{\pi /2}R\sin \theta {\frac {2m}{\pi }}d\theta }{m}}={\frac {2R}{\pi }}\left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi /2}={\frac {2R}{\pi }}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ffb514a2bc999bea69a9a02336c2a5b445b91b)
Che coincide numericamente come si poteva aspettare per ragioni di simmetria con il valore dell'altro asse:
![{\displaystyle y_{CM}={\frac {\int _{0}^{\pi /2}y'dm}{m}}={\frac {\int _{0}^{\pi /2}R\cos \theta {\frac {2m}{\pi }}d\theta }{m}}={\frac {2R}{\pi }}\left[\sin \theta \right]_{0}^{\pi /2}={\frac {2R}{\pi }}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e0da000da504a6452f52ea93bcac2d4f73ba42)
5. Mezzo disco e mezza sfera[modifica]
→ Vai alla traccia
a) Mezzo disco
Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.
La densità superficiale di massa vale:

L'elemento di superficie infinitesimo è alto (larghezza della striscia più scura in figura):

ed ha una lunghezza:

L'elemento di superficie infinitesimo dS (striscia più scura in figura) è un rettangolo di superficie:

Quindi:

Quindi il generico elemento di superficie si trova ad una quota:

Quindi la posizione del centro di massa sull'asse delle y (la coordinata x per simmetria è nulla) vale:
![{\displaystyle y_{CM}={\frac {\int _{-\pi /2}^{\pi /2}hdm}{m}}={\frac {\int _{-\pi /2}^{+\pi /2}R\cos \theta {\frac {2m}{\pi }}\sin ^{2}\theta d\theta }{m}}={\frac {2R}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\sin ^{2}\theta (d\sin \theta )={\frac {2R}{\pi }}\left[{\frac {\sin ^{3}\theta }{3}}\right]_{-\pi /2}^{+\pi /2}={\frac {4R}{3\pi }}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9447080e2a05d66482aa266439c438d0caef0492)
b) Semisfera
La densità (volumetrica) di massa vale:

L'elemento di lunghezza infinitesima, è alto (larghezza del striscia più scura in figura):

L'elemento di volume infinitesimo dV (striscia più scura in figura) è un disco di altezza dh e raggio

Quindi:

Quindi:

Quindi il generico elemento di volume si trova ad una quota:

La coordinata y del centro di massa (la x e la z sono nulle per ragioni di simmetria) vale:
![{\displaystyle y_{CM}={\frac {\int _{0}^{\pi /2}hdm}{m}}={\frac {\int _{0}^{\pi /2}R\cos \theta {\frac {3m}{2}}\sin ^{3}\theta d\theta }{m}}={\frac {3}{2}}R\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{3}\theta (d\sin \theta )={\frac {3}{2}}R\left[{\frac {\sin ^{4}\theta }{4}}\right]_{0}^{\pi /2}={\frac {3}{8}}R\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a2dbeb3056c9d5db2fc498ab6cd5356de1a346)
6. Quarto di disco[modifica]
→ Vai alla traccia
a) Mezzo disco
Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.
La densità superficiale di massa vale:

L'elemento di lunghezza infinitesima è alto (larghezza della striscia più scura in figura):

L'elemento di superficie infinitesimo dS (striscia più scura in figura) è un rettangolo di altezza dh e di lunghezza

Quindi:

Quindi:

Quindi il generico elemento di superficie si trova ad una quota:

Quindi la posizione del centro di massa sull'asse delle y vale:
![{\displaystyle y_{CM}={\frac {\int _{0}^{\pi /2}hdm}{m}}={\frac {\int _{0}^{\pi /2}R\cos \theta {\frac {4m}{\pi }}\sin ^{2}\theta d\theta }{m}}={\frac {2R}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}\theta (d\sin \theta )={\frac {4R}{\pi }}\left[{\frac {\sin ^{3}\theta }{3}}\right]_{0}^{\pi /2}={\frac {4R}{3\pi }}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94012d75615903ae864598cbfcfd78b1bf698f25)
Costruendo un rettangolo verticale invece che orizzontale e ripetendo lo stesso ragionamento si ha che anche:

7. Sfera con foro[modifica]
→ Vai alla traccia
Detto
la densità, il problema diventa equivalente ad una sfera uniforme di raggio
e densità
ed una sfera di raggio
posta nel punto
ma con densità
. Quindi la posizione del
sull'asse congiungente i due centri vale:
![{\displaystyle r_{CM}={\frac {-\rho {\frac {4}{3}}\pi (R/2)^{3}{\frac {R}{2}}}{{\frac {4}{3}}\rho \pi [R^{3}-(R/2)^{3}]}}=-{\frac {1}{14}}R=-3.5\ cm\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e0387ad1556ab1017372d3b0edcc098a0391df6)
8. Disco bloccato[modifica]
→ Vai alla traccia
Sul disco agiscono quattro forze la forza peso, la tensione del filo,
la reazione vincolare e la forza esterna.
a)
Scomponiamo la reazione vincolare in una componente normale al piano
ed una orizzontale
.
La condizione di equilibrio per le forze, sull'asse orizzontale:

Per quanto riguarda i momenti rispetto al baricentro (positivo antiorario):

Eliminando
:

b)

per quanto riguarda la reazione vincolare normale:

Imponendo che:


c)
Se la forza è applicata in
la risultante delle forze orizzontali ha la stessa espressione anche se la tensione è diversa:

Il pedice
è il modulo della tensione ed
è la forza di attrito statico se
è applicato nel punto ad altezza
.
Per quanto riguarda i momenti rispetto al baricentro invece:

Eliminando
:

Che è nulla per


9. Manubrio asimmetrico[modifica]
→ Vai alla traccia
a)
La massa della sfera più piccola è:

mentre di quella maggiore:

Quindi:

Il centro di massa del sistema è a destra del fulcro a distanza:

b)
Per avere equilibrio il momento delle forze rispetto a
deve essere nullo quindi, detta
la tensione del filo, deve essere:

quindi:

Chiamiamo
la reazione vincolare del perno (diretta seconda la verticale).
Dovendo essere la risultante delle forze nulle:


c)
Il momento di inerzia della sfera di sinistra rispetto al fulcro vale:

Il momento di inerzia della sfera di destra rispetto al fulcro vale:

Quindi il momento di inerzia totale vale:

Quando si spezza il filo dalla seconda equazione cardinale:


d)
Nel punto più basso l'energia potenziale del sistema è diventata cinetica:

