Esercizi di fisica con soluzioni/Magnetismo della materia

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Esercizi[modifica]

1. Un semplice anello[modifica]

Un anello di materiale ferromagnetico sottile ha un diametro di , ed una sezione di . E' fatto di ferro dolce, quindi con un ciclo di isteresi stretto, con buona approssimazione la permeabilità magnetica relativa è costante e pari a . Se attraverso le spire avvolte attorno all'anello scorre una corrente di . Determinare a) la riluttanza; b) il campo di induzione magnetica all'interno del materiale; c) il momento magnetico totale dell'anello.

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2. Un anello con un taglio[modifica]

Un anello di materiale ferromagnetico sottile ha un perimetro di , ed una sezione di . Assumendo la permeabilità magnetica relativa costante pari a . a) Quale deve essere il taglio da praticare per avere una riluttanza di . b) Quale è la corrente da iniettare nelle spire avvolte attorno all'anello per avere un campo di induzione magnetica di nel taglio. c) Se una volta annullata la corrente di magnetizzazione rimane l'anello magnetizzato con un campo di induzione residuo di nel taglio: determinare nel taglio e nel materiale ferro magnetico.

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3. Un magnete permanente[modifica]

Un magnete permanente è fatto da un toro di lunghezza ed un traferro in aria di . Il campo di induzione magnetica nel traferro vale . Determinare il campo magnetico nel magnete e la sua magnetizzazione

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4. Magnete con curva di magnetizzazione[modifica]

La relazione tra e nel secondo quadrante per un magnete permanente è approssimata con la legge:

Con e . Il magnete ha una forma toroidale con lunghezza , determinare il campo B in funzione della dimensione del traferro discutendo i casi limite e in particolare per .

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Electromagnet with gap.svg

5. Un elettromagnete[modifica]

Un elettromagnete è costituito da un materiale il cui ciclo di isteresi per quanto riguarda il caso studiato è descritto dalla legge:

con e . La lunghezza della parte ferromagnetica è , mentre la spaziatura di ciascuno due traferri è di e la bobina di alimentazione è fatta di spire. Determinare: a) la permeabilità magnetica per piccoli campi magnetici; b) il valore della corrente necessaria generare nel traferro un campo di .

Trascurare il flusso disperso (che viene mostrato in maniera esagerata nella figura).

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Stromteiler Bsp3.svg

6. Un circuito magnetico[modifica]

Il circuito magnetico mostrato a fianco è costituito da sette rami a forma di parallelepipedo di lunghezza e sezione costante . Il materiale di cui è fatto il circuito magnetico è ferromagnetico con una permeabilità . La bobina che alimenta il circuito è fatta da spire percorse da una corrente .

Determinare a) la riluttanza totale del circuito magnetico vista dalla bobina di alimentazione; b) nel primo, secondo e terzo ramo parallelo verticale.

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7. Anello toroidale[modifica]

Un anello toroidale ferromagnetico ha sezione costante e lunghezza media (le dimensioni trasversali lineari sono trascurabili rispetto a ). La permeabilità magnetica relativa dell'anello è (supposta costante). Sul bordo sono avvolte spire. Nelle spire viene fatta scorrere una corrente .

Determinare a) l'induttanza dell'anello; b) il valore del campo di induzione magnetica all'interno dell'anello; c) la corrente affinché nel traferro il campo di induzione magnetica rimanga uguale dopo aver asportato un fatta di materiale di spessore ; d) l'energia immagazzinata nel campo magnetico con la corrente calcolata nel punto c).

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Soluzioni[modifica]

1. Un semplice anello[modifica]

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a)

La lunghezza del percorso magnetico vale . Quindi la riluttanza vale:

b)

Essendo un anello sottile l'intensità del campo magnetico è semplicemente pari a:

Quindi il campo di induzione magnetica vale:

c)

Il vettore magnetizzazione vale:

Quindi il momento magnetico totale vale:

2. Un anello con un taglio[modifica]

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a)

Chiamata la riluttanza dell'anello non tagliato vale:

Mentre la riluttanza totale vale:

Dove è la riluttanza della zona con taglio, che definendo la dimensione del taglio, è pari a:

Quindi:

b)

Essendo:

segue che:

c)

Il campo H_t e B_t=B_r nel taglio essendoci il vuoto sono paralleli e legati dalla relazione:

Dovendo essere:

cioè il campo magnetico all'interno dell'anello è in direzione opposta a quello esterno. Notiamo come invece sia:

3. Un magnete permanente[modifica]

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Il campo magnetico nel traferro vale:

Il campo magnetico nel magnete si ricava dal fatto che:

Quindi è in direzione opposta a all'interno del magnete:

Il vettore magnetizzazione vale:

4. Magnete con curva di magnetizzazione[modifica]

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Il campo magnetico nel magnete si ricava dal fatto che:

Quindi è in direzione opposta a all'interno del magnete:

Quindi dovendo essere:

Si ha che:

cioè per , mentre se si ha che:

cioè inversamente proporzionale alla dimensione del traferro. Nel caso specifico essendo:

5. Un elettromagnete[modifica]

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a)

Se posso approssimare l'esponenziale con:

Quindi:

Quindi:

b)

In un elettromagnete se il flusso disperso è trascurabile il campo di induzione magnetica nel traferro è eguale a quello nel nucleo. Il campo magnetico assume due valori diversi nel traferro:

Mentre all'interno del ferromagnete bisogna tenere conto della relazione che lega B ad H occorre cioè trovare tale che:

La cui soluzione è:

Dovendo essere per il teorema della circuitazione:

Segue che:

6. Un circuito magnetico[modifica]

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La riluttanza di un solo ramo:

La riluttanza totale è dato dalla serie di con il parallelo di e cioè:

Quindi :

quindi:

Inoltre essendo:

Segue che:

e anche:

Quindi dovendo essere:

Segue che:

7. Anello toroidale[modifica]

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a)

La riluttanza dell'anello è pari a:

Quindi:

b)

Il valore del campo di induzione magnetica all'interno dell'anello:


c)

Il taglio fa divenire la riluttanza di:

Per cui per avere lo stesso campo occorre che:

d)

L'energia magnetica si può calcolare mediante o l'energia immagazzinata nella induttanza:

si poteva anche calcolare ricavando nel traferro:

e nel materiale ferromagnetico:

Quindi l'energia magnetica nel materiale ferromagnetico:

Mentre nel traferro:

In totale: