1. Forza elettrica e gravitazionale[modifica]
Calcolare il rapporto tra l'attrazione elettrica
tra un
protone ed un elettrone e l'attrazione gravitazionale
.
→ Vai alla soluzione
2. Quattro cariche eguali[modifica]
Quattro cariche eguali
sono poste su ognuno degli spigoli di un quadrato di lato
(piano
). Determinare il modulo del campo elettrico generato da una singola carica e dall'insieme delle cariche in un punto sull'asse del quadrato a distanza
(cioè
sull'asse
nel punto
se l'origine è al centro del quadrato).
(dati del problema
,
)
→ Vai alla soluzione
3. Tre cariche eguali[modifica]
Tre cariche eguali
praticamente puntiformi sono poste nel vuoto ai vertici di un triangolo equilatero di lato
. Quale carica
va posta nel centro del triangolo affinché la forza che agisce su ciascuna carica risulti nulla.?
(dati del problema
)
→ Vai alla soluzione
4. Due sbarrette perpendicolari[modifica]
Due sbarrette sottili di materiale isolante, lunghe
, sono
disposte perpendicolarmente tra di loro. Detta
la distanza del
punto
dalla estremità delle due sbarrette. Su ciascuna
sbarretta è distribuita uniformemente una carica
.
Determinare l'intensita' del campo elettrico in
.
(dati del problema
,
,
)
→ Vai alla soluzione
5. Dipoli differenza di potenziale[modifica]
Un dipolo: due cariche
di segno opposto nel vuoto, sono poste
ad una distanza
. Determinare la differenza di potenziale
(rispetto all'infinito) esatta ed approssimata, in un punto a
distanza
, la cui congiungente con il centro delle cariche forma
un angolo di
con la congiungente delle cariche stesse.
(dati del problema
,
,
)
→ Vai alla soluzione
6. Un disco uniformemente carico[modifica]
Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di un
disco di raggio
posto nel vuoto su cui
è distribuita uniformemente una carica
.
(dati
,
).
→ Vai alla soluzione
7. Otto cariche eguali[modifica]
Otto cariche eguali
sono disposte sui vertici di un cubo di lato
. Assunto un sistema di riferimento con origine al centro del
cubo e con assi delle coordinate paralleli agli spigoli del cubo.
Determinare il campo elettrico su uno qualsiasi degli assi delle
coordinate a distanza
dall'origine, confrontando tale
valore con il campo calcolato approssimativamente (ipotesi di una
carica puntiforme equivalente al centro). Inoltre scrivere la formula esatta per
generico.
(dati del problema:
,
,
)
→ Vai alla soluzione
8. Quattro cariche di segno opposto[modifica]
Sui vertici di un quadrato di lato
sono disposte delle cariche eguali in modulo
, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta. Determinare il modulo della forza elettrica che agisce su ogni carica.
(dati del problema
,
)
→ Vai alla soluzione
Un dipolo: due cariche
di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una
distanza
.
Determinare il rapporto tra l'intensità esatta ed approssimata del campo elettrico ad una
distanza
dal loro centro, in un punto la cui
congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di
con
la congiungente delle cariche stesse.
→ Vai alla soluzione
10. Una spira circolare carica[modifica]
Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di una spira circolare filiforme di raggio
posta nel vuoto in cui
è distribuita uniformemente una carica
. Discutere i casi limite:
e
(dati
,
).
→ Vai alla soluzione
11. Un semplice quadripolo[modifica]
Sui vertici di un quadrato di lato
sono disposte delle cariche eguali in modulo
, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta.
Scrivere l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle
, ed in particolare calcolarne il valore
per
.
(dati del problema
,
)
→ Vai alla soluzione
12. Una sbarretta sottile isolante[modifica]
Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza
. Su di essa
è distribuita uniformemente una carica
. Assunto un riferimento
cartesiano con asse
coincidente con la direzione della sbarretta e
origine nel suo centro. Trovare per quali
sono di pari intensità
i campi elettrici in (d,0) e (0,d)
a meno dell'1\%.
(dati del problema
,
)
→ Vai alla soluzione
13. Tre particelle cariche[modifica]
Tre particelle cariche sono poste come in figura,
separate da una distanza
. Le cariche
e
sono
tenute ferme, da forze non elettriche, mentre la carica
soggetta alla sola forza elettrica è in equilibrio.
Si determini il valore di
e la forza elettrica che agisce sulla carica
.
(dati del problema
,
,
)
→ Vai alla soluzione
14. Anello carico[modifica]
Su un anello di raggio
è distribuita uniformemente la carica
.
Una particella di carica
viene posta con velocità nulla a distanza
dal centro. Determinare la velocità della particella quando passa per l'origine
(immaginando che la particella sia vincolata a muoversi sull'asse normale al piano passante per il centro dell'anello).
(dati del problema
,
,
)
→ Vai alla soluzione
Due dipoli elettrici di piccole dimensioni sono eguali e posti sullo stesso asse a distanza
. a) Determinare la forza con cui attraggono. b) Se invece l'asse del primo (a sinistra rimane lo stesso) ed il secondo viene ruotato di 90o e sono sempre posti alla stessa distanza quale è il momento della forza che il primo esercita sul secondo?
(dati del problema
,
)
→ Vai alla soluzione
16. Piano con foro[modifica]
Una particella dotata di carica
e massa
si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme
in cui è praticato un foro circolare di raggio
e centro
.
1) Si calcoli l'altezza
rispetto a
del punto lungo l'asse del foro in cui la particella è in equilibrio.
2) Se la particella è inizialmente ferma lungo l'asse ad un'altezza
rispetto a
, osservando che la particella attraversa il centro del foro, quale sarà la sua velocità?
(Dati del problema:
,
,
,
. Si intende che agiscono sulla particella sia le forze elettrostatiche che la forza peso)
→ Vai alla soluzione
17. Due sbarre allineate[modifica]
Due sbarrette sottili di lunghezza
sono cariche uniformemente con una carica
e
come mostrato in figura.
Le sbarrette sono disposte secondo l'asse delle
con i loro centri distanti
.
Determinare il campo generato nel centro del sistema (origine delle coordinate) e nel punto
(sull'asse delle
). (Nel secondo punto eventualmente si può approssimare il sistema con un dipolo
equivalente).
(Dati del problema
,
,
)
→ Vai alla soluzione
18. Anello con distribuzione dipolare[modifica]
Un anello che giace nel piano x,y ed ha raggio
, ha una carica che varia lungo la circonferenza secondo la legge:
dove
è l'angolo con l'asse delle
per cui la carica è positiva per
e negativa per
. Determinare 1) la carica totale lungo il semianello in cui le y sono positive; 2) l'espressione del campo elettrico nei punti lungo l'asse
ed in particolare per
; 3) il dipolo elettrico equivalente del sistema .
(dati del problema
,
)
→ Vai alla soluzione
19. Piano tagliato[modifica]
Un piano infinito carico con una densità di carica uniforme
ha uno stretto taglio di dimensioni
. Determinare il campo generato sulla normale al taglio a grande distanza da
(
).
→ Vai alla soluzione
20. Goccia d'olio[modifica]
Una goccia sferica di olio (liquido isolante) ha una carica distribuita uniformemente al suo interno di Qo e sulla sua superficie un campo elettrico pari a Eo. Determinare a) il raggio Ro della sfera b) la differenza di potenziale tra la superficie della goccia ed il suo centro c) l'energia necessaria a creare tale distribuzione di carica e come cambia tale energia se la goccia di spezza in due frammenti identici sferici di pari densità (elettrica e di massa) separati ad una distanza molto maggiore delle loro dimensioni (praticamente all'infinito).
(dati del problema
,
)
→ Vai alla soluzione
21. Tre cariche sui vertici di un quadrato[modifica]
Su tre vertici di un quadrato di lato
sono fissate rispettivamente due cariche positive
ed una negativa
come mostrato in figura. Sul quarto spigolo
viene posta una carica
, di massa
con velocità nulla. Determinare: a) l'accelerazione della carica
nel punto
e b) la velocità con cui arriva nel punto
(sulla continuazione della diagonale del quadrato).
(Dati del problema:
,
,
,
)
→ Vai alla soluzione
22. Due cariche sui vertici di un triangolo[modifica]
Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con cateti di lunghezza
. Sulla ipotenusa (asse orizzontale) ad un estremo è posta una carica puntiforme
, mentre all'estremità opposta è posta una carica
di valore variabile pari a
. Determinare sul vertice
opposto all'ipotenusa del triangolo: a) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente orizzontale; b) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente verticale; c) il valore di
per cui è minimo il modulo del campo elettrico ed il suo valore.
(Dati del problema:
,
,
)
→ Vai alla soluzione
Determinare il campo elettrico al centro di una semisfera di materiale isolante con pareti sottili e forma semisferica raggio
e carica
.
→ Vai alla soluzione
24. Carica e dipolo[modifica]
Una carica
è posta nell'origine delle coordinate ed ad una distanza
vi è un dipolo elettrico,
con momento
, orientato parallelamente alle linee del campo generato dalla carica (così da essere attratto) .
Assunto come asse delle
la congiungente la carica ed il dipolo;
determinare a) la forza con cui si attraggono, nell'ipotesi che le dimensioni fisiche del dipolo sia trascurabili rispetto a
;
b) il campo elettrico generato nel punto
; c) la differenza di potenziale tra
e
.
→ Vai alla soluzione
1. Forza elettrica e gravitazionale[modifica]
→ Vai alla traccia
L'attrazione gravitazionale tra un protone ed un elettrone può essere
espressa come:
Con
abbiamo indicato la massa del protone,
mentre con
indichiamo la massa dell'elettrone,
L'attrazione elettrostatica, sempre tra un protone ed un elettrone, vale:
Con
abbiamo indicato sia la carica del protone che la carica
dell'elettrone,
Dato che le due forze dipendono nello stesso modo dalla distanza, il loro
rapporto ne è indipendente, a qualsiasi distanza, quindi:
2. Quattro cariche eguali[modifica]
→ Vai alla traccia
La distanza di ogni carica dal punto dato vale:
Ognuna delle cariche genera un campo in modulo pari a:
La componente di tale campo nella direzione del piano del quadrato si annulla con quella dello spigolo opposto. Per cui solo la componente lungo l'asse del quadrato non è nulla ed eguale per tutti gli spigoli:
Quindi sommando i 4 contributi:
3. Tre cariche eguali[modifica]
→ Vai alla traccia
Al centro di ogni poligono regolare il campo elettrico è nullo per ragioni semplici di geometria. Quindi ci interessa solo la forza che agisce sugli spigoli del triangolo.
Se definiamo
e
le cariche in basso e
quella in alto disponendole come in figura. Detto
il lato del triangolo:
Le componenti delle due forze nella direzione
si annullano a
vicenda per cui rimane solo la componente lungo
se definisco
l'angolo formato dalla verticale con i lati obliqui del
triangolo. Tale angolo vale
. Quindi la componente lungo
l'asse
di tali forze valgono:

Quindi la forza totale vale:

avendo sostituito a
il suo valore
.
La distanza dai vertici della carica al centro è l'ipotenusa (r) di un triangolo rettangolo con cateto
e angolo tra ipotenusa e cateto di
. Quindi:

Quindi la forza dovuta dalla carica al centro:

Affinché la forza totale sia nulla:
quindi:
4. Due sbarrette perpendicolari[modifica]
→ Vai alla traccia
Detto:
Il campo generato dalla prima barretta vale:
Per simmetria quello generato dall'altra sbarretta vale:
Quindi l'intensità del campo vale:
5. Dipoli differenza di potenziale[modifica]
→ Vai alla traccia
Assunta origine sul centro del dipolo e asse delle
coincidente
con l'asse del dipolo. Le coordinate del punto valgono:
Quindi il punto dista dalla carica positiva:
e da quella negativa:
Il potenziale esatto vale:
Mentre quello approssimato vale:
6. Un disco uniformemente carico[modifica]
→ Vai alla traccia
La densità di carica superficiale vale:

Seguendo la falsariga dell'esercizio sulla spira carica
in cui una spira di raggio
e con carica
distribuita
uniformemente sull'anello
, generava un campo su un punto generico dell'asse:

Se consideriamo i differenziali equivalenti:
invece di
e
invece di
.
Si ha che:

Quindi:
![{\displaystyle E_{x}={\frac {Qx}{4\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{R}{\frac {2rdr}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}={\frac {Qx}{4\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {-2}{(r^{2}+x^{2})^{1/2}}}\right]_{0}^{R}={\frac {Q}{2\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {x}{|x|}}-{\frac {x}{(R^{2}+x^{2})^{1/2}}}\right]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45de5e30d60d75af1ba096d33942c6eba0eb80d8)
Se
il termine
è trascurabile e quindi:

Mentre se
si può approssimare
facendo lo sviluppo di Taylor del termine all'interno delle parentesi quadre con:
![{\displaystyle \left[1-{\frac {x}{(R^{2}+x^{2})^{1/2}}}\right]\approx {\frac {R^{2}}{2x^{2}}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14aea1353ec33e05bf3c6c70cfda43b399305bb)
quindi quando
si ha che lungo l'asse il campo vale:

come quello di una carica puntiforme posta sull'asse.
7. Otto cariche eguali[modifica]
→ Vai alla traccia
La distanza tra il punto e le 4 cariche vicine del cubo vale:
L'unica componente del campo che non si compensa tra spigolo opposti
è quella lungo l'asse delle
quindi essendo il coseno
dell'angolo formato con l'asse delle
:
Analogamente per le cariche lontane:
Quindi il valore del campo esatto, nella sola
direzione
, vale:
Mentre quello approssimato vale:
La formula generale vale:
che per
grande diventa:
8. Quattro cariche di segno opposto[modifica]
→ Vai alla traccia
Le due cariche vicine, generano due forze attrattive di intensità:

Quindi in totale, essendo a
una forza attrattiva lungo la diagonale pari a:

La carica più lontana, genera una forza repulsiva lungo la diagonale pari a:

Quindi in totale la forza è attrattiva e vale:

→ Vai alla traccia
Assunto come origine il centro delle due cariche e la loro
congiungente come asse delle
, mentre la perpendicolare sul piano è
l'asse delle
:
è in
,
è in
, mentre il punto
è in (
). Quindi la distanza dalla carica negativa vale:

Mentre da quella positiva:

Il campo esatto per le componenti x vale:



Il campo approssimato per le componenti y vale:



Mentre quello approssimato:


Quindi:

Essendo:
![{\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}r^{5}}}\left[3({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}){\vec {r}}-r^{2}{\vec {p}}\right]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d17455261ceef4da9dbb33662a1bb318c39e33)
![{\displaystyle E_{x}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}2^{5}d^{5}}}\left[3{\sqrt {2}}qd^{2}{\sqrt {2}}d-4d^{2}qd\right]={\frac {q}{4\pi \epsilon _{o}d^{2}}}0.0625\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be508b785335415db20896622b0c2d032a47648)
![{\displaystyle E_{y}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}d^{5}}}\left[3{\sqrt {2}}qd^{2}{\sqrt {2}}d\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.187\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8767fc2e9d311126f014fabe2fd76ce5fa018e)
per cui:

Quindi il rapporto vale:

Quindi le componenti esatte sono diverse da quelle approssimate, ma il modulo del campo elettrico è molto simile.
10. Una spira circolare carica[modifica]
→ Vai alla traccia
La densità di carica vale:

Assunta come origine il centro della spira e asse delle
l'asse della spira.
Il campo elettrico generato dal generico elemento
di circonferenza vale in modulo:

Dove:

Interessa calcolare solo la componente
di
. Infatti per ogni elemento
esiste un altro elemento, diametralmente opposto, che genera una componente normale all'asse
uguale ed opposta a quella generata dall'elemento considerato.

Detto
l'angolo formato dalla congiungente l'elementino
con il punto sull'asse e l'asse delle
.
Integrando su
lungo tutta la circonferenza, e considerando che, fissato
, sia
, che
sono costanti:

Geometricamente è facile mostrare che:

Quindi:

Essendo:


Tale campo vale per
:

Inoltre:

Nella figura viene graficato il valore della funzione
e della espressione approssimata ottenuta ponendo all'origine una carica
11. Un semplice quadripolo[modifica]
→ Vai alla traccia
Solo la componente
del campo elettrico è diversa da 0, in particolare le due cariche più distanti
(rispetto un punto sull'asse delle
positivo) generano un campo:
![{\displaystyle E_{1y}=-{\frac {2ql/2}{4\pi \varepsilon _{o}\left[(x+l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff81d1fa56014bce2ea1eb0f7d273900fad9c6d3)
mentre le più vicine:
![{\displaystyle E_{1y}=+{\frac {2ql/2}{4\pi \varepsilon _{o}\left[(x-l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974b6d8c5ab9e973d63e55631b33adc7eb4da3d8)
Quindi in totale:
![{\displaystyle E_{y}={\frac {ql}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left\{{\frac {1}{\left[(x-l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}-{\frac {1}{\left[(x+l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}\right\}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbdd30bdf118590c87983eea6aca358d537119e)
Ovviamente tale funzione vale
per
, mentre per gli altri due casi:


A grande distanza si comporta come un quadripolo il cui campo diminuisce con la quarta potenza della distanza.
12. Una sbarretta sottile isolante[modifica]
→ Vai alla traccia
a) Detto :

Il campo generato dalla sbarretta nel punto (d,0), vale:
Nel punto (0,d) per ragioni di simmetria il campo può essere solo
diretto secondo l'asse delle y, per cui:
Notare come a parità di distanza sempre nel punto (0,d) il campo
sia inferiore al valore in (d,0).
A grande distanza i due valori coincidono e tendono a:
Quindi imponendo che:
Segue che la condizione viene realizzata se:
13. Tre particelle cariche[modifica]
→ Vai alla traccia
Il problema è unidimensionale per cui si omette il segno di vettore.
Perché la forza elettrica che agisce sulla carica
sia nulla occorre che:

Quindi essendo:


Occorre che:


La forza elettrica che agisce sulla carica
vale (diretta da sinistra a destra):

Mentre quella dovuta alla carica
vale (diretta da sinistra a destra):

In totale quindi:

14. Anello carico[modifica]
→ Vai alla traccia
La densità di carica vale:
Assunta come origine il centro della spira ed asse delle
l'asse della spira. La d.d.p. tra un punto a distanza
dal centro della spira vale:
Quindi:
Quindi:
→ Vai alla traccia
Scegliamo un sistema di coordinate sul centro del primo dipolo e con l'asse
diretto come l'asse del dipolo. Il campo sull'asse di un dipolo, a grande distanza dal centro, vale:
Quindi la derivata:
Mentre se il secondo è ortogonale alla direzione immutata del primo.
Il primo genera il campo calcolato prima che quindi produce un momento sull'altro pari a:
16. Piano con foro[modifica]
→ Vai alla traccia
Il campo generato dal piano lungo l'asse del foro si calcola usando il principio di sovrapposizione, infatti per quanto riguarda il piano, assunto come
, l'asse verticale:
Mentre, per quanto riguarda un disco di carica
:
Quindi in totale:
La condizione di equilibrio è:
Da cui si ricava:
la differenza di potenziale tra
e
vale:
Agendo solo forze conservative si ha:
Quindi:
17. Due sbarre allineate[modifica]
→ Vai alla traccia
Detto:

Se chiamiamo
la distanza generica di un elemento infinitesimo delle sbarrette dall'origine. Il campo generato, da un tratto infinitesimo della prima barretta sull'asse delle
al centro vale:
Quindi genera al centro in totale:
![{\displaystyle E_{x}(x=0)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}{\frac {dr}{r^{2}}}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[-{\frac {1}{r}}\right]_{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}=-{\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{a-l}}-{\frac {1}{a+l}}\right]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d1396d4b87ebc54002c6b7f92f29ddf12f2fa3)
Al centro l'altra sbarretta genera lo stesso campo in intensità e verso per cui:
![{\displaystyle E_{xt}(x=0)=-{\frac {\lambda }{\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{a-l}}-{\frac {1}{a+l}}\right]=-19\ kV/m\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b47fa5734ea06d7cb62fb9bc3f1c97c1296a409)
In un punto generico dell'asse delle x per
: La prima sbarretta genera un campo:

Facendo un cambiamento di variabile:
![{\displaystyle E_{x}^{-}(x)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{x+a/2+l/2}^{x+a/2-l/2}{\frac {dy}{y^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[-{\frac {1}{y}}\right]_{x+a/2+l/2}^{x+a/2-l/2}=\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677c40d7aca716793f5129676b58d052176b8fb5)
![{\displaystyle E_{x}^{-}(10a)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[{\frac {1}{10a+a/2+l/2}}-{\frac {1}{10a+a/2+l/2}}\right]=-19.18\ V/m\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb8876b03fa93b861261e5ba9bcf2b21ae4209d)
Analogamente per l'altra sbarretta:

Facendo un cambiamento di variabile:
![{\displaystyle E_{x}^{+}(x)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{x-a/2+l/2}^{x-a/2-l/2}{\frac {dy}{y^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[{\frac {1}{y}}\right]_{x-a/2+l/2}^{x-a/2-l/2}=\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f809f67844d653bd53266ef23a79987c1b3374)
![{\displaystyle E_{x}^{+}(10a)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[{\frac {1}{10a-a/2-l/2}}-{\frac {1}{10a-a/2+l/2}}-\right]=24.91\ V/m\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a2b2c37de5272bc655ba319a55d447dcf150c8)
In totale quindi:

Mentre il dipolo equivalente vale:

Quindi il campo generato vale:

Praticamente eguale al valore approssimato.
18. Anello con distribuzione dipolare[modifica]
→ Vai alla traccia
La carica per
è quella che si ha se
:
Ma
e
quindi:
Il campo elettrico in modulo generato da un elemento dl vale:
Quindi nel caso di
:
mentre per quanto riguarda il dipolo equivalente, basta prendere due tratti infinitesimi simmetrici opposti rispetto all'asse delle
, che distano
con una carica
:
Ed integrare su metà della circonferenza:
Avendo sostituita l'espressione dell'integrale:
Si poteva ottenere lo stesso risultato calcolando
a grande distanza sull'asse.
19. Piano tagliato[modifica]
→ Vai alla traccia
Il campo generato dal piano sulla verticale si calcola usando il principio di sovrapposizione: un piano infinito con densità
ed una striscia carica con densità
. Per quanto riguarda il piano, assunto come
, l'asse verticale:

Mentre, per quanto riguarda una striscia di larghezza
e densità di carica
, è equivalente al campo generato da un insieme di fili a distanza
, per ciascuno dei quali:

La componente lungo l'asse delle
di tale campo è l'unica che non si annulla per ragioni di simmetria quindi:


Se
si ha che
e quindi:

Quindi in totale:
20. Goccia d'olio[modifica]
→ Vai alla traccia
Per il teorema di Gauss, il campo elettrico che attraversa una sfera di raggio
, avente lo stesso centro della goccia, è radiale e vale:
con Qr pari alla carica contenuta all'interno della sfera.
a)
Quindi, sulla superficie della goccia, vale:
b)
Poiché la carica è distribuita uniformemente, la densità di carica è costante, pertanto
per ogni r > 0, indicando con vr il volume della sfera di raggio r e con vo il volume della goccia d'olio.
La differenza di potenziale vale:
c)
Quindi la densità di carica vale:
Immaginiamo di costruire la goccia sferica, quando il raggio vale $r$ con
, il potenziale (rispetto all'infinito della superficie della sfera vale:
con
, quindi:
Se aggiungiamo una carica
:
L'energia necessaria sarà:
Se la sfera si spezza in due sfere di stessa densità:
21. Tre cariche sui vertici di un quadrato[modifica]
→ Vai alla traccia
a)
Il campo elettrico generato nel punto
dalla carica
è diretto secondo la diagonale e vale:
quello generato dalle cariche poste sugli altri due spigoli valgono:
Le componenti nella direzione perpendicolare alla diagonale si annullano e rimane solo la componente lungo la diagonale
(opposta a quella della carica
)
Quindi in totale:
Quindi dalla equazione di Newton l'accelerazione vale:
b)
Il potenziale nel punto
(rispetto all'infinito) vale :
(il primo termine dovuto alla cariche
, l'altro dovuto alla carica
)
Il potenziale nel punto
(rispetto all'infinito) vale :
Quindi la differenza di potenziale tra
e
vale:
Quindi:
22. Due cariche sui vertici di un triangolo[modifica]
→ Vai alla traccia
Il campo generato dalla carica 1 ha componenti:

mentre quello generato dalla carica 2:

Quindi in totale


a)
è massimo quando
e vale:

mentre
.
b)
è massimo quando
e vale

mentre
.
c) Il modulo del campo elettrico vale:

che è minima quando
e vale:

→ Vai alla traccia
La densità di carica è:

Definendo con
l'angolo tra l'asse della semisfera e il generico anello in cui possiamo dividere la superficie. Il generico
anello ha un raggio
e dista dal centro della semisfera
.
Quindi il generico anello ha una carica:

Un anello carico genera su un punto a distanza
un campo:

Quindi in questo caso il generico anello infinitesimo:

Quindi:
![{\displaystyle E_{x}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \cos \theta d\theta ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{1}\sin \theta d\sin \theta ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {\sin ^{2}\theta }{2}}\right]_{0}^{1}={\frac {\sigma }{4\varepsilon _{o}}}={\frac {Q}{8\pi \varepsilon _{o}R^{2}}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae8f0a2ea7fd021cd6b8de136f34530729988fd)
24. Carica e dipolo[modifica]
→ Vai alla traccia
a)
Un dipolo, posto nel punto di coordinate
, genera lungo il suo asse un campo pari:

In particolare per
(dove è la carica
):

Quindi la forza attrattiva sulla carica
vale:

b)
Il campo generato lungo l'asse delle x per
vale:

Quindi se
:

c)
La differenza di potenziale dovuta alla carica vale:
![{\displaystyle DV_{q}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0.2d}^{0.8d}{\frac {1}{x^{2}}}dx={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left[{\frac {1}{x}}\right]_{0.8d}^{0.2d}=337\ V\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a2e166a387209ed18bc13e1b476e8ec2604516)
La differenza di potenziale dovuta al dipolo vale:

Facendo un cambio di variabile
:
![{\displaystyle DV_{p}={\frac {p}{2\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0.8d}^{0.2d}{\frac {1}{y^{3}}}dy={\frac {p}{2\pi \varepsilon _{o}}}\left[-{\frac {1}{2y^{2}}}\right]_{0.8d}^{0.2d}=42\ V\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9320c8888c02383f919ea0521c09876972b1ebf)
Quindi in totale:
