Fisica classica/Correnti alternate

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Equazioni di Maxwell

Circuiti LRC[modifica]

Un circuito RLC

Immaginiamo di avere il circuito mostrato in figura con il condensatore inizialmente isolato e con una carica tra le sue armature. A tempo viene chiuso l'interruttore ed, essendoci una induttanza che si oppone alla variazione del flusso, inizialmente la corrente è nulla e poi incomincia a fluire. L'equazione differenziale che fa la fotografia del circuito tra l'istante iniziale e un tempo generico è la seguente:

Con , avendo sottinteso la dipendenza dal tempo della corrente e della carica.

Animazione che mostra come in un circuito LC evolvono nel tempo la carica tra le armature del condensatore e la corrente. Di conseguenza l'energia oscilla tra il condensatore e l'induttanza. Un circuito LRC ha un comportamento simile, eccetto che la corrente oscillante decade nel tempo a causa della resistenza presente nel circuito.

L'equazione differenziale nella sola variabile Q è quindi:

(1)

Una equazione formalmente eguale a quella dell'oscillatore armonico smorzato.

La funzione soluzione generale di una equazione differenziale di questo tipo è: che sostituita nella eq.1:

Trasforma l'equazione differenziale in una equazione di secondo grado in

Le cui soluzioni sono evidentemente:

Se:

Le soluzioni sono immaginarie quindi detto: ed con quindi .

Quindi la soluzione generale del problema è una combinazione lineare delle due soluzioni trovate:

Usando la formula di Eulero:

I valori a e b dipendono dalle condizioni iniziali che sono:

da cui:

Quindi:

(2)

per si ha che e l'oscillazione è periodica: l'energia con buona approssimazione si conserva e passa al alternativamente dal condensatore all'induttanza, come mostrato nell'animazione.

Nel caso che:

le soluzioni sono reali e smorzate in maniera esponenziale, con esponenti di smorzamento:

Quella con segno - che viene attenuata più rapidamente, mentre l'altra soluzione mostra una attenuazione più lenta, ma non si ha nessuna oscillazione, in quanto l'energia più ho meno velocemente viene dissipata nella resistenza.

Infine nel caso in cui:

la soluzione dell'equazione si dimostra essere:

(3)

Questo caso viene denominato smorzamento critico: questo è il caso in cui più velocemente viene dissipata l'energia iniziale.

Circuiti in Corrente alternata[modifica]

Segnali periodici[modifica]

Una grandezza si dice periodica se:

La quantità è chiamata "periodo".

Tutte le grandezze periodiche si possono descrivere come sommatorie di funzioni sinusoidali o cosinusoidali cioè mediante serie di Fourier:

(4)

Dove è la pulsazione e l'indice è un intero che identifica le varie armoniche. Oltre alla analisi matematica delle funzioni, vi sono strumenti elettronici e software che fanno automaticamente tali operazioni e permettono di trattare separatamente le varie armoniche.

Una grandezza si dice alternata se è periodica ed ha valore medio nullo cioè se:

Di conseguenzanello sviluppo di Fourier il primo termine . La funzione all'interno del periodo assume sia valori positivi che negativi che hanno lo stesso peso. Per una grandezza alternata dato che il valore medio è identicamente nullo, viene caratterizzata, tra le varie proprietà dal valore quadratico medio od efficace definito come:

(5)

In particolare se è presente solo la prima armonica cioè se:

si avrà che:

(6)


Reti elettriche con generatori cosinusoidali[modifica]

Simbolo del generatore di tensione alternata

Immaginiamo di avere un generatore di tensione cosinusoidali ad esempio un l'alternatore visto nel capitolo precedente, cioè un generatore che fornisca una f.e.m. alternata del tipo:

Un generatore di questo tipo si rappresenta come in figura, ovviamente per quanto detto precedentemente è caratterizzato dal valore massimo o se si preferisce dal valore efficace .

Ad esempio la alimentazione delle nostre case è a una frequenza , è sinusoidale, ed ha una ampiezza , ma viene indicata con il suo valore efficace di .

Se un tale segnale alimenta un circuito composto da sole resistenze di valore totale il comportamento non è diverso da quanto visto per la legge di Ohm in corrente continua, si ha che il circuito sarà percorso da una corrente:

Generatore di tensione alternata su un carico resistivo

Quindi la potenza fornita dal generatore, coincide con quella dissipata per effetto Joule e istante per istante vale:

Cioè in media:

Anche se l'elemento non rispetta la legge di Ohm cioè la relazione tra I e V non è lineare, ad esempio una lampadina a basso consumo, la potenza media elettrica assorbita è sempre eguale al prodotto della corrente e tensione efficace.

La ragione quindi per cui si parla di grandezze efficaci, quando si ha che fare con grandezze alternate, è connesso con il fatto che vi sia una corrispondenza per gli effetti termici o di trasformarzione dell'energia tra corrente e tensioni alternate e continua.

L'aggiunta di condensatori e induttanze cambia sostanzialmente le cose, a parte i problemi legati ai transitori che esistono ugualmente nei circuiti in corrente alternata, e che qui vengono trascurati per non complicare ulteriormente la trattazione si ha un evidente sfasamento tra corrente e tensione.

Generatore di tensione alternata su un carico capacitivo

Infatti consideriamo il circuito mostrato in figura.

La carica ai capi del condensatore, in condizioni stazionarie (quando parliamo di stazionario significa che trascuriamo gli effetti transitori), assume il valore periodico pari a:

e quindi:

Cioè la corrente è in anticipo di rispetto alla tensione.

Corrente circolante nel caso di un carico puramente resistivo (linea piena), puramente capacitivo (linea punteggiata), puramente induttivo (linea tratteggiata)

Come si vede nella rappresentazione grafica riportata a fianco in cui in linea continua è rappresentato:

In linea punteggiata:

e in linea tratteggiata:

Analogamente collegando un generatore di corrente alternata ai capi di una induttanza essendo:

Segue da una semplice integrazione che:

in questo caso la corrente è in ritardo rispetto alla tensione come si vede nella curva tratteggiata della figura a fianco.

La combinazione di circuiti complessi con , ed sarebbe troppo complicata con una analisi di questo tipo. Quello che si evince è che collegando ai capi di un generatore di f.e.m. alternata i vari possibili elementi circuitali nel circuito scorre una corrente elettrica alternata alla stessa frequenza, di ampiezza dipendente dai vari elementi circuitali, ma in genere sfasata.

Il metodo simbolico[modifica]

Tale metodo basato sull'algebra dei numeri complessi permette di studiare le reti in c.a. con un metodo formalmente simile alle reti in corrente continua, utilizzando l'algebra dei numeri complessi.

Nel metodo simbolico qui descritto usato per studiare le reti elettriche in condizioni stazionarie l'unità immaginaria pura si rappresenta con :

Non si usa in quanto genererebbe confusione con le correnti.

Ricordando l'identità di Eulero:

Consideriamo una grandezza sinusoidale ad esempio la corrente che scorre in un circuito alimentato da un generatore tale che:

In generale avrò che:

Se associo a tale grandezza la variabile complessa (la cui parte reale coincide con quella precedente):

Le grandezze complesse vengono indicate in grassetto. Applicando la identità di Eulero avrò che:

(7)


La parte dentro parentesi è un numero complesso non dipendente dal tempo, mentre il resto è una grandezza che dipende dal tempo.

Se utilizziamo tale corrente complessa per calcolare la d.d.p. ai capi dei tre componenti passivi che conosciamo risulta che:

Per una induttanza essendo:

Per un condensatore essendo:

Se si definisce come estensione della resistenza elettrica una grandezza complessa detta impedenza che vale per :

(8)


Per una induttanza:

(9)


Per una capacità:

(10)


Si ha una legge formalmente simile per i tre elementi circuitali passivi:

(11)


Ma i vari elementi della equazione sono grandezze complesse. L'inverso della impedenza si chiama ammettenza quindi vale:

L'impedenza si misura in e l'ammettenza in S.

Le leggi di Kirchhoff valgono anche per i circuiti in corrente alternata se si utilizza il metodo simbolico.

Si dimostra, generalizzando quanto visto per le resistenze, come la serie di impedenze è pari alla somma delle impedenze dei singoli componenti:

(12)


Mentre se si hanno elementi in parallelo, si comportano come se l'inverso impedenza è pari alla somma degli inversi delle impedenze di ogni singolo elemento:

(13)


In generale quindi la equivalente di un circuito si compone di una parte reale (indicata spesso con ) ed una parte immaginaria detta reattanza indicata con :

(14)


Riepilogando quanto detto sinora un generatore di f.e.m. alternata:

ed un generico circuito in cui sia presenti in qualsiasi maniera resistenze, induttanze e capacità si può rappresentare come una impedenza . La corrente che scorre nel circuito vale:

con

e

(15)

Notare come anche:

(16)
(17)

Esempi dell'uso del metodo simbolico sono al esempio il caso un circuito RC ed un circuito RL.

La potenza assorbita[modifica]

Da quanto detto quindi la potenza istantanea fornita dal generatore in un generico circuito in c.a. vale:

Applicando le formule di somma del coseno:

Facendo la media su un periodo, il primo termine variabile nel tempo:

mentre:

essendo una funzione a media nulla con periodo , come si ricava facilmente dallo studio della funzione. Quindi la potenza media fornita dal generatore vale:

(18)

I contatori di energia elettrica tengono conto della potenza media fornita dal generatore (cioè del termine in ) fino ad un valore di non eccessivo. Per cui è buona norma aggiustare le carico in maniera da rendere prossimo a .

Un esempio su motore alimentato in corrente alternata chiarisce l'importanza di tale trattazione.

La risonanza[modifica]

Un elementare circuito risonante serie

Se un generatore di f.e.m alternata viene posto ai capi della serie di una resistenza, una capacità ed una induttanza in serie si ha quello che si chiama il circuito risonante serie.

Notiamo che dal punto delle equazione differenziale di partenza abbia notevoli analogie con l'equazione di un oscillatore armonico forzato. Infatti la sua equazione caratteristica é:

Una volta che si sostituisca a :

Diviene:

(19)

La cui omogenea non differisce algebricamente dall'equazione dell'oscillatore armonico :

Ricordando la definizione, vista all'inizio, di:

che è analoga dal punto di vista elettrico, alla pulsazione di risonanza meccanica di , essendo l'equivalente elettrico della massa, e l'equivalente elettrico della costante di richiamo elastica.

Ritornando al mondo elettrico, se l'analizziamo il circuito dal punto di vista del metodo simbolico:

Quindi usando lo stesso metodo visto per i circuiti precedenti risulta che:

(20)


Che è chiaramente una funzione con un massimo pronunciato alla pulsazione di risonanza, cioè per:

e la cui ampiezza per tale valore della pulsazione vale semplicemente:

Lo sfasamento tra corrente e tensione vale:

(21)

Tale funzione è nulla alla frequenza di risonanza e varia da a bassa frequenza (in cui domina l'impedenza capacitiva) e per alte frequenze in cui domina l'impedenza induttiva.

Analogamente che nel caso meccanico si definisce fattore di merito la misura del picco di risonanza definito come:

(22)


Dove ed sono le due pulsazioni per cui si ridotto rispetto al valore di picco di (cioè al suo valore efficace). Imponendo che:

Da cui segue che:

Che ammette due soluzioni (entrambe con positivo):

e:

La prima delle equazioni:

Equazione di II grado con due soluzioni ed escludendo la negativa:

L'altra equazione:

Anche questa equazione di II grado con due soluzioni ed escludendo la negativa:

Per cui:

(23)

Nel caso del circuito risonante parallelo cioè nel circuito indicato in figura.

Un elementare circuito risonante parallelo

La resistenza limita la massima corrente che scorre nel circuito. Se in particolare è grande il circuito é alimentato a corrente di ampiezza costante .

In queste condizioni il parallelo dei tre elementi circuitali vale:

Quindi la tensione ai capi del circuito, usando il metodo simbolico, vale:

Quindi l'ampiezza della tensione ai capi dei tre elementi in parallelo vale:

che è formalmente simile all'eq.18 infatti la tensione (invece della corrente) ha un massimo per:

la fase è nulla alla frequenza di risonanza e varia tra e . Il fattore di merito definito per la larghezza della curva di risonanza della tensione vale, con ragionamenti analoghi:

(24)


Cioè il fattore di merito è tanto più alto quanto più basse ( grande) sono le perdite ai capi del sistema in parallelo.

Il circuito risonante serie e parallelo descritti sono due casi limite. Infatti un qualsiasi dipolo in cui siano presenti induttanze e capacità può presentare il fenomeno della risonanza. In questo caso la pulsazione di risonanza non è l'espressione , ma va ricavata dalla condizione che sia nulla la parte immaginaria. Non sempre ovviamente questo accade, ad esempio se in un circuito risonante serie la capacità ha delle perdite in parallelo molto grandi, rappresentate da una resistenza di piccolo valore in parallelo, al di sotto di una certa resistenza parallelo il circuito non risuona mai: caso limite. Per quanto anche riguarda il fattore di merito a meno di non ricondurre il problema ai casi generali va calcolato dalla dimensione della campana di risonanza.

Qualche esercizio può chiarire meglio tali concetti:classico serie, classico parallelo, circuito con due condensatori,

Il trasformatore[modifica]

Schema di principio

Nella forma più semplice il trasformatore in c.a. consiste di due bobine avvolte attorno ad un circuito magnetico (di permabilità magnetica , lunghezza e sezione ). Una delle bobine detta primario è connessa ad un generatore di f.e.m. alternata. Il circuito magnetico fa sì che non vi sia flusso magnetico disperso (nella pratica il flusso disperso è realmente trascurabile). L'altra bobina viene chiamata secondario.

L'induttanza del primario, dette le sue spire, vale:

L'induttanza del secondario, dette le sue spire, vale:

La loro mutua induzione vale:

Nella forma più semplice il primario è connesso al generatore attraverso una resistenza , mentre il secondario viene chiuso attraverso una resistenza . Le equazioni che descrivono il precedente circuito, con il metodo simbolico, sono:

(25)


(26)


dette ed le correnti che scorrono nei due circuiti.

schema equivalente della figura precedente

È facile mostrare come il circuito equivalente, mostrato a fianco sia descritto dalla stessa equazione.

Un caso particolare importante è quando la resistenza del primario sia trascurabile, rispetto alla sua induttanza , ed inoltre la resistenza del secondario è grande, in maniera che sia trascurabile la corrente rispetto ad (come anche la sua derivata temporale). In questo caso, le due equazioni diventano:

Definendo si ha che:

cioè il rapporto tra la tensione in uscita e quella in entrata è pari al rapporto tra il numero di spire del secondario e del primario. Il nome trasformatore dipende proprio dal fatto che trasforma la tensione in entrata nel primario in una tensione ai capi del secondario, nel limte che la resistenza del secondario () non sia troppo bassa, e che possiamo trascurare le perdite ( ) del primario.

Un esercizio su un trasformatore reale chiarisce invece gli aspetti in un caso più generale.


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