Fisica classica/Moti relativi

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Nei sistemi di riferimento non inerziali le leggi della dinamica assumono una forma modificata e compaiono delle forze dette fittizie o apparenti. Queste forze non derivano da interazioni fisiche tra corpi, ma sono una conseguenza dell’accelerazione del sistema di riferimento stesso rispetto a un sistema inerziale.

È importante osservare che un semplice cambiamento di coordinate — ad esempio dal sistema cartesiano a quello polare — non comporta l’introduzione di forze apparenti, anche se le equazioni del moto possono assumere una forma diversa.

Le forze apparenti emergono dunque quando il moto viene descritto in un sistema di riferimento che accelera o ruota rispetto a un sistema inerziale. In tali sistemi la II legge della dinamica continua a valere, purché si introducano opportuni termini aggiuntivi interpretabili come forze apparenti.

A seconda del tipo di accelerazione del sistema di riferimento si distinguono quattro principali forze apparenti:

• la forza dovuta a un’accelerazione traslazionale del sistema;
• la forza centrifuga, che compare nei sistemi in rotazione;
• la forza di Coriolis, che agisce sui corpi in moto all’interno di un sistema rotante;
• la forza dovuta a una velocità angolare variabile del sistema di riferimento.

Esempi di forze apparenti

Prima di affrontare una trattazione dettagliata delle forze apparenti, è utile considerare alcuni esempi chiarificatori.

Accelerazione in linea retta

Figura in alto: una macchina in accelerazione di massa M con un passeggero di massa m. Figura centrale: descrizione dal punto di vista di un sistema di riferimento inerziale. Figura in basso: descrizione nel sistema di riferimento solidale alla macchina.

Un esempio intuitivo è quello mostrato nella figura. Una macchina di massa M accelera in avanti mentre un passeggero di massa m è seduto al suo interno. Durante l’accelerazione il passeggero avverte una pressione contro il sedile.

Il fenomeno può essere descritto in due modi diversi, a seconda del sistema di riferimento scelto.

Sistema di riferimento inerziale (figura centrale)

Dal punto di vista di un osservatore esterno, la macchina accelera e il passeggero tende inizialmente a mantenere il proprio stato di quiete per inerzia. Il sedile esercita allora sul passeggero una forza diretta in avanti, che lo accelera insieme alla vettura. Tale forza è la reazione vincolare del sedile. In questo sistema di riferimento non è necessario introdurre alcuna forza apparente: l’accelerazione del passeggero è spiegata interamente dalla forza esercitata dal sedile.

Sistema di riferimento non inerziale solidale alla macchina (figura in basso)

Per un osservatore all’interno della vettura il passeggero rimane in quiete. Affinché la II legge della dinamica continui a essere valida, occorre introdurre una forza apparente pari a

$\mathbf {F} _{\mathrm {app} }=-m\mathbf {a}$

diretta all’indietro, cioè opposta all’accelerazione della macchina. Questa forza apparente bilancia la forza esercitata dal sedile, giustificando così lo stato di quiete del passeggero nel riferimento della vettura.

Nel sistema inerziale compare quindi soltanto la forza reale esercitata dal sedile sul passeggero, mentre nel sistema non inerziale la situazione viene descritta mediante due forze opposte: la forza reale del sedile e la forza apparente dovuta all’accelerazione del sistema di riferimento.

Mentre nel sistema inerziale vi è solo la forza propulsiva della macchina che accelera la vettura e con essa il sedile rigidamente connesso, mentre la spinta del sedile agisce sul passeggero che si muove assieme la vettura. Nel sistema di riferimento non inerziale, la vettura in moto, lo stato di quiete è giustificato da due forze eguali ed opposte: quella fittizia del passeggero contro il sedile e quella del sedile contro il passeggero. La spiegazione fisica è più semplice nel sistema inerziale, ma la formulazione matematica potrebbe essere più complicata nel sistema inerziale. In questo caso specifico non vi è differenza di calcolo nei due sistemi di riferimento.

Questo esempio mostra come le forze apparenti non rappresentino interazioni fisiche reali, ma derivino esclusivamente dalla scelta di un sistema di riferimento accelerato. In alcuni casi l’uso di un sistema non inerziale può rendere più semplice la descrizione matematica del fenomeno.

Forza centrifuga

Un effetto simile si ha nel moto lungo un circuito circolare di una macchina. Dal punto di vista di un sistema di riferimento sulla strada si osserva un moto circolare della macchina. Quando lo stesso fenomeno è osservato in un sistema sulla macchina appare una forza apparente detta forza centrifuga. Se la macchina si muove a velocità costante lungo il tratto di strada circolare, gli occupanti della macchina si sentono spinti in fuori dal centro di rotazione dalla forza centrifuga. Anche in questo caso il fenomeno può essere visto dal punto di vista del sistema inerziale e da quello non inerziale solidale con la macchina.

Sistema di riferimento inerziale (solidale alla strada)

La macchina si muove di moto circolare uniforme e possiede quindi un’accelerazione diretta verso il centro della curva, detta accelerazione centripeta. Sebbene il modulo della velocità resti costante, la sua direzione cambia continuamente, rendendo necessaria una forza centripeta. Nel caso dell’automobile tale forza è fornita principalmente dall’attrito statico tra pneumatici e strada. Anche il passeggero deve essere soggetto a una forza diretta verso il centro della curva per seguire il moto della vettura; questa forza è esercitata dal sedile tramite attrito e pressione laterale.

Sistema di riferimento non inerziale solidale alla macchina

Per un osservatore all’interno dell’auto il passeggero risulta in quiete. Per spiegare questa situazione si introduce allora una forza apparente, la forza centrifuga, diretta verso l’esterno della curva. Essa è bilanciata dalla forza esercitata dal sedile sul passeggero, che impedisce al corpo di scivolare lateralmente verso la portiera. In questo riferimento le due forze si compensano e il passeggero appare fermo.

Anche in questo caso la forza centrifuga non corrisponde a un’interazione fisica reale, ma nasce esclusivamente dall’osservazione del moto in un sistema di riferimento accelerato, cioè in rotazione insieme alla macchina.

Forza di Coriolis

Nel riferimento inerziale (parte superiore del disegno) la pallina nera si muove su una retta. Invece un osservatore (punto rosso) che sta sul sistema ruotante non inerziale (parte inferiore del disegno) vede che l'oggetto descrive una traiettoria curva dovuta alla forza di Coriolis e alla forza centrifuga presente in tale sistema di riferimento.

La forza di Coriolis compare nei sistemi di riferimento in rotazione quando un corpo è in movimento rispetto al sistema stesso. Un esempio classico è quello della caduta di un oggetto dalla cima di una torre.

Se un corpo viene lasciato cadere da una torre alta 50 m alla latitudine dell’Italia, trascurando l’attrito dell’aria esso raggiunge il suolo in un punto spostato di circa 7,7 mm verso est rispetto alla verticale della torre.

Dal punto di vista di un osservatore solidale con la Terra — che costituisce un sistema di riferimento rotante e quindi non inerziale — tale deviazione è attribuita alla forza apparente di Coriolis, che modifica la traiettoria del corpo.

Per un osservatore inerziale, invece, il corpo si muove lungo una traiettoria praticamente rettilinea, mentre è la Terra che, durante il tempo di caduta, ruota sotto di esso.

La forza di Coriolis dipende dalla velocità del corpo rispetto al sistema di riferimento rotante: se il corpo è fermo rispetto alla Terra, la forza di Coriolis è nulla. Per questo motivo essa si manifesta soltanto quando vi è un moto relativo all’interno del sistema rotante.

L’intensità dell’effetto varia inoltre con la latitudine. Ai poli la deviazione sarebbe nulla, poiché la velocità del corpo risulta parallela all’asse di rotazione terrestre; all’equatore, invece, la deviazione sarebbe massima.

Schema della formazione di un tifone tropicale.

Un altro importante esempio della forza di Coriolis riguarda la dinamica dell’atmosfera e la formazione dei cicloni. Quando masse d’aria convergono verso una zona di bassa pressione, la rotazione terrestre devia le correnti d’aria:

• nell’emisfero boreale le correnti vengono deviate verso destra rispetto alla direzione del moto;
• nell’emisfero australe vengono deviate verso sinistra.

Come conseguenza, i vortici atmosferici ruotano in senso antiorario nell’emisfero nord e in senso orario nell’emisfero sud. L’effetto aumenta con la velocità delle correnti d’aria e diventa significativo solo su scale spaziali molto grandi, come quelle meteorologiche.

È invece una leggenda metropolitana l’idea che la forza di Coriolis determini il verso di rotazione dell’acqua che defluisce da un lavandino. In questi casi le dimensioni del sistema sono troppo piccole e l’effetto della forza di Coriolis è trascurabile rispetto ad altre cause, come la forma del recipiente o i moti residui dell’acqua.

Forza di trascinamento angolare (o forza di Eulero)

Quando un corpo si muove lungo una traiettoria circolare con velocità angolare variabile, il sistema di riferimento solidale con il corpo in rotazione non è solo accelerato, ma anche angolarmente accelerato. In questa situazione, oltre alla forza centrifuga, compare una seconda forza apparente, detta forza di trascinamento angolare (o forza di Eulero).

Sistema non inerziale (solidale all’auto)

Se la velocità angolare aumenta, il passeggero percepisce una forza apparente diretta all’indietro, che lo spinge contro lo schienale del sedile. Se invece la velocità angolare diminuisce, la forza apparente è diretta in avanti, e il passeggero tende a essere proiettato verso il parabrezza.

L’effetto è del tutto analogo a ciò che avviene nel moto rettilineo accelerato o decelerato: la forza apparente compensa l’accelerazione del sistema, permettendo al passeggero di applicare le leggi di Newton come se fosse in un sistema inerziale.

Sistema inerziale solidale alla strada

Per un osservatore esterno, non compaiono forze misteriose: la forza centrifuga è semplicemente l’effetto dell’accelerazione centripeta necessaria a mantenere la traiettoria circolare; la variazione della velocità angolare implica una accelerazione angolare, che produce una componente tangenziale dell’accelerazione del passeggero.

La forza che il passeggero “sente” non è altro che la reazione del sedile che fornisce l’accelerazione tangenziale richiesta.

Formulazione analitica

Un punto materiale in posizione x_A nel sistema di riferimento inerziale A ha coordinate x_B nel sistema non inerziale B. L’origine di B si trova nella posizione X_AB rispetto al sistema A. L’orientazione del sistema B è determinata dai versori u'_j, con j = (1, 2, 3), associati ai suoi assi coordinati. Nella figura tali versori sono rappresentati in blu. Le coordinate del punto nel sistema B sono quindi x_B = (x'₁, x'₂, x'₃)

La figura a fianco aiuta a introdurre la formulazione analitica del moto relativo tra un sistema inerziale e uno non inerziale.

Consideriamo un punto materiale di massa m e posizione x_A(t) rispetto a un sistema di riferimento inerziale A. Introduciamo quindi un sistema di riferimento non inerziale B, la cui origine occupa la posizione X_AB nel sistema inerziale A. Nel riferimento B il punto materiale ha posizione x_B(t).

Lo scopo è determinare le forze apparenti che compaiono nel sistema di riferimento B.

Gli assi del sistema B sono individuati dai versori u'_j, con j = (1, 2, 3). La posizione del punto materiale nel sistema non inerziale può quindi essere espressa come:

$\mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x'_{j}\mathbf {u'} _{j}$

La posizione dello stesso punto nel sistema inerziale A risulta invece:

$\mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x'_{j}\mathbf {u'} _{j}$

(1)

Il vettore X_AB descrive esclusivamente la posizione dell’origine del sistema B rispetto ad A; esso non contiene informazioni sull’eventuale rotazione del riferimento non inerziale.

La rotazione del sistema B è infatti interamente descritta dall’evoluzione temporale dei versori u'_j. Se il sistema B ruota rispetto a A, tali versori cambiano direzione nel tempo e quindi la loro derivata temporale non è nulla.

Velocità relativa

Quindi facendo la derivata temporale della posizione istantanea (1) si ha la velocità del punto materiale:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx'_{j}}{dt}}\mathbf {u'} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x'_{j}{\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}\ .$

Il primo termine è la velocità con cui si sposta l'origine di B (v_AB). Il secondo termine è la velocità del punto materiale, cioè v'_B nel sistema di riferimento B, quindi possiamo scrivere:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v'} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}$

(2)

L'interpretazione di questa equazione è che la velocità del punto materiale vista dall'osservatore in A consiste di quella che l'osservatore in B chiama velocità, cioè v'_B, più due termini aggiuntivi uno dovuto alla velocità dell'origine e l'altro dovuto alla rotazione del sistema di riferimento, l'effetto di quest'ultimo termine, che si ha se il sistema non inerziale ruota, è tanto più grande quanto il punto materiale è lontano dall'origine in B .

Accelerazione relativa

Per ottenere l'accelerazione bisogna fare una ulteriore derivata nel tempo:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v'} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx'_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x'_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u'} _{j}}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v'} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}v'_{j}{\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x'_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u'} _{j}}{dt^{2}}}.$

Usando la stessa formula già usata per la derivata temporale di x_B, le derivata della velocità (v_B) in forma esplicita diviene:

${\frac {d\mathbf {v'} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv'_{j}}{dt}}\mathbf {u'} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v'_{j}{\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}=\mathbf {a'} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v'_{j}{\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}$

Di conseguenza:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {a'} _{\mathrm {B} }+2\ \sum _{j=1}^{3}v'_{j}{\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x'_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u'} _{j}}{dt^{2}}}$

(3)

Forze apparenti

Moltiplicando per la massa si ha che:

$\mathbf {F} _{\mathrm {A} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {F'} _{\mathrm {B} }+2m\sum _{j=1}^{3}v'_{j}{\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x'_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u'} _{j}}{dt^{2}}}$

(4)

La forza osservata nel riferimento B, F'_B = ma'_B è dovuta alla forza reale , F_A e alle forze apparenti, cioè:

$\mathbf {F'} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F'} _{\mbox{apparenti}},$

dove:

$\mathbf {F'} _{\mbox{apparenti}}=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v'_{j}{\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x'_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u'} _{j}}{dt^{2}}}\$

(5)

La prima forza apparente è dovuta all'accelerazione dell'origine di B; il secondo termine è la cosiddetta accelerazione di Coriolis (il fattore due deriva da due contributi diversi come ricavato con la derivazione analitica); il terzo termine contiene sia la accelerazione centrifuga che l'eventuale accelerazione angolare.

La seconda legge della dinamica vale anche per le forze apparenti, che possono essere considerate forze a tutti gli effetti.

Alcuni casi particolari permettono di esplicitare meglio le cose.

Sistema di riferimento accelerato su una traiettoria rettilinea

Se la traiettoria è rettilinea, l'espressione delle forze apparenti diventa:

$\mathbf {F'} _{\mbox{apparenti}}=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }\ .$

(6)

Questo è il caso ad esempio di un ascensore che accelera verso l'alto con accelerazione $a_{asc}\$; la forza che sentono i passeggeri è quindi:

$\mathbf {F'} _{B}=-mg-ma_{asc}$

A cui si oppone la reazione vincolare del pavimento, ma se ponessimo una bilancia vedremmo, che mentre l'ascensore è in accelerazione in salita il peso aumenta. Nella fase di accelerazione in discesa si ha la cosa opposta, diminuisce la forza peso, al limite se la accelerazione è pari alla forza peso (l'ascensore in caduta libera) non sentiremmo nessuna forza peso. Tre esercizi chiariscono meglio quello di cui si parla: Vagone di un treno, Ascensore, Luce che cade.

Sistema di riferimento ruotante

Una situazione comune è quando il sistema di riferimento ruota. A causa di tale rotazione il sistema di riferimento B non è inerziale, dovuto al fatto che per avere rotazione è necessaria una accelerazione, quindi in questo caso se ci si mette nel riferimento in rotazione sono sempre presenti forze apparenti.

Supponiamo di avere un sistema di riferimento mobile B con versori $\mathbf {u'_{1}} ,\mathbf {u'_{2}} ,\mathbf {u'_{3}}$ che ruota rispetto a un sistema inerziale A.

Consideriamo un versore del sistema mobile $\mathbf {u'_{j}}$. Supponiamo che il sistema ruoti di un angolo infinitesimo $d\theta$ attorno a un asse orientato. Per descrivere contemporaneamente l'asse di rotazione, il verso e l'ampiezza infinitesima della rotazione, si introduce il vettore $d{\boldsymbol {\theta }}$ definito in modo che la direzione:

• coincida con l’asse di rotazione;
• il verso segua la regola della mano destra;
• il modulo sia $|d{\boldsymbol {\theta }}|=d\theta$.

Quindi non è un semplice angolo scalare, ma un vettore associato alla rotazione infinitesima.

Quando un vettore ruota infinitesimamente, la sua variazione è perpendicolare sia al vettore stesso che all’asse di rotazione. Per questo nella espressione della variazione di direzione del versore vi è il prodotto vettoriale:

$d\mathbf {u'_{j}} =d{\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {u'_{j}}$

La velocità angolare è definita come:

${\boldsymbol {\Omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}$

quindi:

$d{\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\Omega }}\,dt$

Sostituendo nella formula precedente: $d\mathbf {u'_{j}} =({\boldsymbol {\Omega }}dt)\times \mathbf {u'_{j}}$ dividendo per dt (passaggio alla derivata temporale):

${\frac {d\mathbf {u'_{j}} }{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u'_{j}}$

(7)

Questa espressione che lega la variazione istantanea della direzione dei versori alla velocità angolare del sistema è chiamata relazione di Poisson.

La derivata seconda temporale è:

${\frac {d^{2}\mathbf {u'} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u'} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u'} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u'} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u'} _{j}(t)\right]$</math>

(8)

abbiamo usato le regole del prodotto vettoriale. Sostituendo [7] e [8] nella espressione [5] ponendo a_AB = 0 (escludendo traslazione dell'origine e ponendo l'accento sulla sola rotazione):

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a'} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v'_{j}\ {\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x'_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u'} _{j}}{dt^{2}}},$

(9)

$\mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a'} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v'_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u'} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u'} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x'_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u'} _{j}(t)\right]$

$=\mathbf {a'} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v'_{j}\mathbf {u'} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x'_{j}\mathbf {u'} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x'_{j}\mathbf {u'} _{j}(t)\right].$

Riunendo i termini, ed esprimendo in funzione di a'_B, si ha che:

$\mathbf {a'} _{B}=\mathbf {a} _{A}-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v'} _{\mathrm {B} }-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x'} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x'} _{B}\right)\ .$

(10)

L'accelerazione a_A è quella che si osserva nel sistema inerziale A ed è dovuta alle forze esterne reali, mentre l'accelerazione a'_B vista nel sistema ruotante B ha parecchi termini aggiuntivi oltre a questo

$-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v'} _{\mathrm {B} }\$ è l'accelerazione di Coriolis normale alla direzione di ${\boldsymbol {\Omega }}$ (velocità angolare del sistema B) e di $\mathbf {v'} _{\mathrm {B} }\$ (velocità del punto materiale nel sistema B). La forza di Coriolis quindi è una forza che fa deviare dalla traiettoria rettilinea che non fa lavoro e la cui azione è tanto maggiore quanto maggiore è $\mathbf {v'} _{\mathrm {B} }$. La forza di Coriolis raggiunge il valore massimo quando la direzione di \mathbf{v'}</math> è normale a quella di ${\boldsymbol {\Omega }}$.

$-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x'} _{\mathrm {B} }$ è nella stessa direzione del moto e dipende dalla variazione nel tempo della velocità angolare del sistema di riferimento ruotante. Se la velocità angolare è costante, come nel moto dei pianeti intorno al proprio asse, tale termine è nullo. La forza apparente ad essa associata è chiamata Forza di Eulero.

$-{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x'} _{B}\right)\$ è la cosiddetta accelerazione centrifuga, infatti sviluppando i prodotti vettoriali, si può far vedere come sia sul piano passante per il centro di rotazione, ma diretta verso l'esterno.

La forza netta sul punto materiale secondo gli osservatori sul sistema ruotante vale F'_B = ma'_B. Se le loro osservazioni sono il risultato dell'applicazione della seconda legge della dinamica, debbono considerare che la forza addizionale F'_app è presente, così che alla fine F'_B = F_A + F'_app. In poche parole, le forze apparenti dagli osservatori nel sistema B per fornire il comportamento previsto dalle leggi della dinamica è:

$\mathbf {F'} _{\mathrm {app} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v'} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x'} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x'} _{\mathrm {B} }.$

(8)

La terra è un sistema di riferimento ruotante attorno al proprio asse con velocità angolare  ${\boldsymbol {\Omega }}=7,292116\cdot 10^{-5}\ rad/s$ che può essere considerata costante, essendo la sua derivata temporale solamente: 

${\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}=-6,7\cdot 10^{-22}\ rad/s^{2}$

La Terra rallenta a causa dell’attrito mareale con la Luna.
Cioè in 4 miliardi di anni il giorno è passato da circa 12 ore alle 24 ore attuali. Essendo il valore della accelerazione angolare così piccolo, sulla terra, quindi, non vi è nessun effetto misurabile dovuto alla variazione della velocità angolare, ma invece la forza apparente centrifuga è evidente in quanto apparentemente la forza peso è inferiore  all'equatore rispetto ai poli (l'effetto non è molto vistoso a causa della non perfetta sfericità della terra che è schiacciata ai poli). La forza di Coriolis è molto evidente quando si hanno oggetti con  velocità relativa molto alta rispetto alla terra in direzione non parallela all'asse di rotazione.

Sistema di riferimento orbitante

Un sistema di riferimento orbitante ma con orientazione fissata B, mostrato a tre istanti differenti. I vettore unitari u_j, j = 1, 2, 3 non ruotano, ma mantengo una orientazione fissata, mentre l'origine del sistema di coordinate B si muove a velocità angolare costante ω attorno all'asse fisso Ω. AxL'asse Ω passa attraverso l'origine del sistema inerziale A, l'origine del sistema B è ad una distanza fissa R dall'origine del sistema inerziale A.

In questo esempio, supponiamo che il sistema di coordinate mobile B ruota su un cerchio di raggio R attorno all'origine del sistema inerziale fisso A, ma mantiene i suoi assi delle coordinate fissi in orientazione come mostrato nella figura a fianco. L'accelerazione di un punto materiale è quindi:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a'} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v'_{j}\ {\frac {d\mathbf {u'} _{j}}{dt}}$ $+\sum _{j=1}^{3}x'_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u'} _{j}}{dt^{2}}}\ .$

$=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a'} _{B}\ ,$

Le sommatorie sono nulle in quanto i versori non hanno dipendenza dal tempo

Per esplicitare $\mathbf {a} _{AB}$, si consideri che l'origine del sistema B è posta rispetto ad A in:

$\mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,$

da questo la velocità dell'origine di B vale:

$\mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,$

infine l'accelerazione dell'origine di B vale:

$\mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}$ $=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)$ $=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\ .$

Quindi nel sistema di riferimento B deve essere introdotta una forza apparente, che è diretta radialmente in fuori dal centro di rotazione:

$\mathbf {F'} _{\mathrm {app} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\ ,$

di ampiezza:

$|\mathbf {F'} _{\mathrm {app} }|=m\omega ^{2}R\ .$

Nel caso del sistema ruotante la forza centrifuga dipendeva dalla distanza delle varie parti dall'origine di B, nel sistema orbitante questa forza apparente dipende dalla distanza del centro di B dal suo centro di rotazione. Quindi oggetti diversi che si trovano nel sistema orbitante B sentono la stessa forza centrifuga.

Bibliografia

• P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci, Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica), 2ª ed., ISBN 978-88-7959-418-9, Edises, 2007.
• (EN) K. R. Lang Astrophysical Data: Planets and Stars, 1992, Springler-Verlag.

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