Fisica classica/Onde elettromagnetiche

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Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato diversi tipi di onde: le onde sonore, che si propagano come compressioni e rarefazioni in un mezzo materiale; le onde del mare, in cui l’acqua oscilla attorno alla posizione di equilibrio; la corda vibrante, in cui la tensione del mezzo fornisce la forza di richiamo; e le onde sulle linee di trasmissione, descritte da variazioni accoppiate di tensione e corrente. In tutti questi casi l’onda consiste in una perturbazione che si propaga, mentre le particelle del mezzo oscillano localmente senza trasporto netto di materia.

Le onde elettromagnetiche rappresentano un passo ulteriore: sono onde che non richiedono alcun mezzo materiale. Ciò che oscilla non è un corpo, né un fluido, né una grandezza elettrica legata a un conduttore, ma il campo elettrico e il campo magnetico stessi. La loro esistenza emerge direttamente dalle equazioni di Maxwell ed è una delle scoperte più profonde della fisica dell’Ottocento.

Maxwell comprese che un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico (legge di Ampère‑Maxwell), e che un campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico (legge di Faraday). Questi due processi formano un accoppiamento dinamico:

• variazioni di $\mathbf {E}$ producono $\mathbf {B}$,
• variazioni di $\mathbf {B}$ producono $\mathbf {E}$.

Da questo meccanismo nasce la possibilità di una perturbazione che si rigenera mentre avanza nello spazio: un’onda elettromagnetica. In questo capitolo le grandezze vettoriali sono indicate con il grassetto.

A differenza delle onde meccaniche, che richiedono un mezzo materiale in cui le particelle oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di alcun mezzo: sono oscillazioni auto‑sostenute del campo elettrico e magnetico nel vuoto. In entrambi i casi non vi è trasporto netto di materia, ma solo propagazione di una perturbazione.

Dalle equazioni di Maxwell all'equazione delle onde

Nel vuoto, le equazioni di Maxwell assumono la forma:

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,\qquad \nabla \cdot \mathbf {B} =0,$

$\nabla \times \mathbf {E} =-\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\qquad \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Vogliamo mostrare che i campi $\mathbf {E}$ e $\mathbf {B}$ soddisfano un’equazione d’onda del tipo:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}},\qquad \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}},$

dove $c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$.

Equazione delle onde per il campo elettrico

Consideriamo il rotore del rotore di $\mathbf {E}$:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )$

Usiamo l’identità vettoriale:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E}$

Nel vuoto vale $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$, quindi:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-\,\nabla ^{2}\mathbf {E}$

D’altra parte, dalle equazioni di Maxwell:

$\nabla \times \mathbf {E} =-\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

Prendiamo il rotore di entrambi i membri:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=\nabla \times \left(-\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-\,{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )$

Ora sostituiamo $\nabla \times \mathbf {B}$ dalla quarta equazione di Maxwell:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

Otteniamo:

$-\,{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=-\,\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

Ma abbiamo anche:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-\,\nabla ^{2}\mathbf {E}$

Eguagliando le due espressioni:

$-\,\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\,\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}.$

Eliminando il segno meno:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

Definendo:

$c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}$

si ottiene:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

che è l’equazione delle onde per il campo elettrico.

Equazione delle onde per il campo magnetico

La dimostrazione per $\mathbf {B}$ è del tutto analoga.

Partiamo dall’identità vettoriale:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla ^{2}\mathbf {B}$

Sempre $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$, quindi:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\,\nabla ^{2}\mathbf {B}$

Dalle equazioni di Maxwell:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

Prendiamo il rotore di entrambi i membri:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} ).$

Ora sostituiamo $\nabla \times \mathbf {E}$ dalla terza equazione di Maxwell:

$\nabla \times \mathbf {E} =-\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

Otteniamo:

$\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-\,\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}.$

Ma abbiamo anche:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\,\nabla ^{2}\mathbf {B}$

Eguagliando:

$-\,\nabla ^{2}\mathbf {B} =-\,\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}$

da cui:

$\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}$

Questo mostra che le equazioni di Maxwell nel vuoto implicano l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano con velocità $c$, identificabile con la velocità della luce.

Onda piana elettromagnetica nel vuoto

Consideriamo una soluzione d’onda piana delle equazioni d’onda per i campi elettrico e magnetico nel vuoto. Supponiamo che l’onda si propaghi lungo l’asse $x$.

Ipotesi di propagazione e forma d’onda

Assumiamo che i campi dipendano solo da $x$ e da $t$:

$\mathbf {E} =\mathbf {E} (x,t),\qquad \mathbf {B} =\mathbf {B} (x,t)$

Una soluzione d’onda piana armonica può essere scritta come:

$\mathbf {E} (x,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(kx-\omega t+\varphi _{E})$

$\mathbf {B} (x,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(kx-\omega t+\varphi _{B})$

dove $k$ è il numero d’onda, $\omega$ la pulsazione, $\mathbf {E} _{0}$ e $\mathbf {B} _{0}$ sono vettori costanti (ampiezze), e $\varphi _{E}$, $\varphi _{B}$ sono fasi iniziali.

Per una onda piana nel vuoto, le equazioni di Maxwell impongono che:

• la direzione di propagazione sia lungo ${\hat {\mathbf {x} }}$ (deriva dall'ipotesi iniziale),
• i campi siano trasversali, cioè ortogonali alla direzione di propagazione.

Dimostrazione trasversalità del campo elettromagnetico

Assumiamo che i campi dipendano solo da $x$ e dal tempo $t$:

$\mathbf {E} =\mathbf {E} (x,t),\qquad \mathbf {B} =\mathbf {B} (x,t)$

Scriviamo esplicitamente le componenti:

$\mathbf {E} (x,t)=E_{x}(x,t)\,{\hat {\mathbf {x} }}+E_{y}(x,t)\,{\hat {\mathbf {y} }}+E_{z}(x,t)\,{\hat {\mathbf {z} }}$

$\mathbf {B} (x,t)=B_{x}(x,t)\,{\hat {\mathbf {x} }}+B_{y}(x,t)\,{\hat {\mathbf {y} }}+B_{z}(x,t)\,{\hat {\mathbf {z} }}.$

Nel vuoto valgono le equazioni di Maxwell:

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,\qquad \nabla \cdot \mathbf {B} =0$

$\nabla \times \mathbf {E} =-\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

Calcoliamo la divergenza di $\mathbf {E}$. Poiché i campi dipendono solo da $x$:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}$

dato che $E_{y}$ ed $E_{z}$ non dipendono da $y$ e $z$. La condizione $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$ implica quindi:

${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}=0$

Questo significa che $E_{x}$ è indipendente da $x$. Se vogliamo descrivere un’onda piana che si propaga lungo $x$, la dipendenza spaziale deve essere del tipo $\cos(kx-\omega t)$ o $\sin(kx-\omega t)$. Una componente costante $E_{x}$ non rappresenta un’onda, ma un campo uniforme.

Per una soluzione d’onda piana pura, imponiamo quindi:

$E_{x}(x,t)=0$

I campi sono quindi trasversali: non hanno componente lungo ${\hat {\mathbf {x} }}$.

Lo stesso ragionamento vale per $\mathbf {B}$:

$\nabla \cdot \mathbf {B} ={\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}=0\quad \Rightarrow \quad B_{x}(x,t){\text{ costante}}$

Anche qui, una componente costante non rappresenta un’onda. Per una soluzione d’onda piana nel vuoto si pone:

$B_{x}(x,t)=0$

Abbiamo quindi mostrato che, per un’onda piana che dipende solo da $x$ e $t$, le componenti lungo la direzione di propagazione devono essere nulle:

$\mathbf {E} (x,t)=E_{y}(x,t)\,{\hat {\mathbf {y} }}+E_{z}(x,t)\,{\hat {\mathbf {z} }}$

$\mathbf {B} (x,t)=B_{y}(x,t)\,{\hat {\mathbf {y} }}+B_{z}(x,t)\,{\hat {\mathbf {z} }}.$

La condizione $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$ nel vuoto esprime l’assenza di cariche elettriche: non ci sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. Per un’onda piana che si propaga lungo $x$, questo vincolo elimina la possibilità di una componente longitudinale variabile nel tempo. Rimane solo la parte trasversale, che oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione.

Questo dimostra che le onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono intrinsecamente trasversali: i campi oscillano solo nelle direzioni ortogonali alla direzione di propagazione.

Possiamo quindi scegliere, ad esempio:

$\mathbf {E} (x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t)\,{\hat {\mathbf {y} }}$

$\mathbf {B} (x,t)=B_{0}\cos(kx-\omega t)\,{\hat {\mathbf {z} }}.$

In questa configurazione, l’onda si propaga lungo $x$, il campo elettrico è diretto lungo $y$, il campo magnetico lungo $z$, e i tre vettori sono mutuamente ortogonali.

Equazione d’onda e relazione dispersione

L’equazione d’onda per $\mathbf {E}$ nel vuoto è:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

Nel caso in cui $\mathbf {E}$ dipenda solo da $x$ e $t$, il laplaciano si riduce a:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial x^{2}}}.$

Per la componente lungo ${\hat {\mathbf {y} }}$:

$E_{y}(x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t)$

si ha:

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}=-k^{2}E_{0}\cos(kx-\omega t)$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}E_{0}\cos(kx-\omega t)$

Inserendo nell’equazione d’onda:

$-k^{2}E_{0}\cos(kx-\omega t)={\frac {1}{c^{2}}}\left[-\omega ^{2}E_{0}\cos(kx-\omega t)\right]$

da cui:

$k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

Questa è la relazione di dispersione per l’onda piana nel vuoto. In termini di lunghezza d’onda $\lambda$ e frequenza $\nu$:

$k={\frac {2\pi }{\lambda }},\qquad \omega =2\pi \nu$

e la relazione $\omega =ck$ implica:

$c=\lambda \nu$

Lo stesso ragionamento vale per $\mathbf {B}$, che soddisfa la stessa equazione d’onda.

Relazione tra $E_{0}$ e $B_{0}$

Le equazioni di Maxwell impongono inoltre:

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,\qquad \nabla \cdot \mathbf {B} =0$

Per l’onda piana scelta:

$\mathbf {E} (x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t)\,{\hat {\mathbf {y} }}$

si ha:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}=0$

poiché $E_{y}$ non dipende da $y$. Analogamente per $\mathbf {B}$. Questo conferma che i campi sono trasversali: non hanno componenti lungo la direzione di propagazione.

Usando la legge di Faraday:

$\nabla \times \mathbf {E} =-\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

per l'onda piana considerata si ottiene la relazione tra le ampiezze. Il rotore di $\mathbf {E}$ è:

$\nabla \times \mathbf {E} =\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {z} }}=-kE_{0}\sin(kx-\omega t)\,{\hat {\mathbf {z} }}$

La derivata temporale di $\mathbf {B}$ è:

${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\omega B_{0}\sin(kx-\omega t)\,{\hat {\mathbf {z} }}$

La legge di Faraday richiede:

$\nabla \times \mathbf {E} =-\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\quad \Rightarrow \quad -kE_{0}\sin(kx-\omega t)=-\left[-\omega B_{0}\sin(kx-\omega t)\right]$

cioè:

$-kE_{0}=\omega B_{0}$

Usando la relazione $\omega =ck$, si ottiene:

$E_{0}=c\,B_{0}$

Questa è una proprietà fondamentale dell’onda elettromagnetica piana nel vuoto: l’ampiezza del campo elettrico è pari alla velocità di propagazione $c$ moltiplicata per l’ampiezza del campo magnetico.

Polarizzazione delle onde elettromagnetiche

Una volta stabilito che, nel vuoto, un’onda elettromagnetica piana è trasversale, cioè i campi $\mathbf {E}$ e $\mathbf {B}$ oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione, rimane da descrivere come avviene questa oscillazione. La direzione in cui oscilla il campo elettrico definisce la polarizzazione dell’onda.

Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse $x$. Allora il campo elettrico ha solo componenti trasversali:

$\mathbf {E} (x,t)=E_{y}(x,t)\,{\hat {\mathbf {y} }}+E_{z}(x,t)\,{\hat {\mathbf {z} }}$

La forma temporale e spaziale dell’oscillazione determina il tipo di polarizzazione.

Polarizzazione lineare

Le onde elettromagnetiche possono essere immaginate come onde trasversali auto-propaganti di campi elettrici e magnetici. Questa animazione 3D mostra un'onda piana a polarizzazione lineare che si propaga da sinistra a destra. I campi elettrico e magnetico in un'onda di questo tipo sono in fase tra loro, raggiungendo minimi e massimi contemporaneamente.

Si ha polarizzazione lineare quando il campo elettrico oscilla sempre lungo una stessa direzione fissa nel piano trasversale.

Per esempio:

$\mathbf {E} (x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t)\,{\hat {\mathbf {y} }}$

In questo caso il vettore $\mathbf {E}$ rimane sempre parallelo a ${\hat {\mathbf {y} }}$

Analogamente si può avere polarizzazione lineare lungo una qualunque direzione del piano $yz$,

In generale:

$\mathbf {E} (x,t)=\left(E_{0y}\,{\hat {\mathbf {y} }}+E_{0z}\,{\hat {\mathbf {z} }}\right)\cos(kx-\omega t)$

con $E_{0y}$ e $E_{0z}$ costanti, rappresenta una polarizzazione lineare lungo la direzione del vettore costante $\mathbf {E} _{0}$.

Polarizzazione circolare

Rappresentazione del vettore campo elettrico per un'onda elettromagnetica polarizzata circolarmente

Si ha polarizzazione circolare quando le componenti trasversali del campo elettrico hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate di $\pi /2$ Esempio:

$E_{y}(x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t)$

$E_{z}(x,t)=E_{0}\sin(kx-\omega t)$

In questo caso, per un punto fissato nello spazio, il vettore $\mathbf {E}$ ruota con velocità angolare $\omega$ descrivendo una circonferenza nel piano $yz$.

La rotazione può essere destrorsa o sinistrorsa a seconda del segno dello sfasamento.

Polarizzazione ellittica

La polarizzazione ellittica è il caso più generale: le componenti trasversali hanno ampiezze diverse e/o uno sfasamento arbitrario.

Esempio:

$E_{y}(x,t)=E_{0y}\cos(kx-\omega t)$

$E_{z}(x,t)=E_{0z}\cos(kx-\omega t+\delta )$

Per un punto fissato nello spazio, il vettore $\mathbf {E}$ descrive un’ellisse nel piano trasversale.

La polarizzazione lineare e quella circolare sono casi particolari della polarizzazione ellittica:

• lineare: $\delta =0\quad o\quad \pi$
• circolare: $E_{0y}=E_{0z}$ e $\delta =\pm \pi /2$

Rappresentazione complessa

È spesso utile rappresentare l’onda tramite fasori:

$\mathbf {E} (x,t)=\Re \left\{\mathbf {E} _{0}\,e^{j(kx-\omega t)}\right\}$

dove $\mathbf {E} _{0}$ è un vettore complesso che contiene ampiezze e fasi delle componenti trasversali. La forma di $\mathbf {E} _{0}$ determina immediatamente il tipo di polarizzazione.

Struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica piana

Una volta ricavate l’equazione d’onda, la soluzione piana e la trasversalità dei campi, è utile riassumere la struttura vettoriale dell’onda elettromagnetica nel vuoto. Questa struttura emerge direttamente dalle equazioni di Maxwell e descrive in modo compatto le relazioni geometriche tra i campi.

Per un’onda piana che si propaga con vettore d’onda $\mathbf {k}$, i campi elettrico e magnetico soddisfano:

$\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} =0,\qquad \mathbf {k} \cdot \mathbf {B} =0$

Queste relazioni, già ottenute dalla condizione di divergenza nulla, riassumono la trasversalità: i campi oscillano in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione.

Inoltre, dalle equazioni di Maxwell segue che:

$\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} =0$

I tre vettori $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$ e $\mathbf {k}$ sono quindi mutuamente ortogonali.

Dalla forma piana delle equazioni di Maxwell si ottiene la relazione compatta:

$\mathbf {B} ={\frac {1}{\omega }}\,\mathbf {k} \times \mathbf {E} .$

Questa espressione riassume in un’unica formula:

• l’ortogonalità tra $\mathbf {E}$ e $\mathbf {B}$,
• la direzione di $\mathbf {B}$ come prodotto vettoriale,
• la fase comune dei due campi,
• la relazione tra ampiezze (già dimostrata):

$B_{0}={\frac {E_{0}}{c}}$

La direzione di propagazione dell’onda è determinata dal prodotto vettoriale:

$\mathbf {k} \propto \mathbf {E} \times \mathbf {B} .$

Questa relazione è puramente geometrica, qui serve solo a mostrare che la terna ($\mathbf {E}$,$\mathbf {B}$,$\mathbf {k}$) è una terna destrorsa.

Onde elettromagnetiche sferiche

Quando la sorgente elettromagnetica è localizzata in una regione di spazio molto piccola rispetto alla distanza dal punto di osservazione, la soluzione dell’equazione delle onde assume forma sferica. In questo caso, l’onda si propaga radialmente e le superfici a fase costante sono sfere concentriche.

Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0$

Una soluzione a simmetria sferica dipende solo dalla distanza $r$ dalla sorgente:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {\hat {r}} \,E(r,t)$

Dimostrazione della soluzione a simmetria sferica del campo elettromagnetico

Nel vuoto, il campo elettrico soddisfa l’equazione:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0$

Consideriamo una soluzione a simmetria sferica, in cui il campo dipende solo dalla distanza $r$ dalla sorgente. Per semplicità, supponiamo che il campo sia radialmente diretto:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mathbf {r} }}\,E(r,t)$

dove $E(r,t)$ è una funzione scalare.

In questo caso, il Laplaciano del campo si riduce al Laplaciano della funzione scalare $E(r,t)$ in coordinate sferiche. Per una funzione che dipende solo da $r$, il Laplaciano è:

$\nabla ^{2}E(r,t)={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial E}{\partial r}}\right)$

Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene:

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial E}{\partial r}}\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0$

Ora introduciamo la funzione:

$u(r,t)=r\,E(r,t)$

Calcoliamo le derivate rispetto a $r$:

${\frac {\partial u}{\partial r}}=E+r\,{\frac {\partial E}{\partial r}}$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}={\frac {\partial E}{\partial r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial E}{\partial r}}\right)={\frac {\partial E}{\partial r}}+{\frac {\partial E}{\partial r}}+r\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial r^{2}}}=2\,{\frac {\partial E}{\partial r}}+r\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial r^{2}}}$

D’altra parte:

${\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial E}{\partial r}}\right)=2r\,{\frac {\partial E}{\partial r}}+r^{2}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial r^{2}}}$

Confrontando le due espressioni, si vede che:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}={\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial E}{\partial r}}\right)$

Quindi:

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial E}{\partial r}}\right)={\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}$

Sostituendo nell’equazione d’onda:

${\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0$

Ma $E=u/r$, quindi:

${\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$

L’equazione diventa:

${\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0$

Moltiplicando per $r$:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0$

cioè:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rE)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(rE)=0.$

Questa è una equazione d’onda unidimensionale per la funzione $u(r,t)=rE(r,t)$, lungo la coordinata radiale $r$.

Sostituendo nell’equazione d’onda si ottiene l’equazione radiale:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rE)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(rE)=0$

La quantità $u(r,t)=rE(r,t)$ soddisfa quindi una normale equazione d’onda 1D. La soluzione generale è:

$E(r,t)={\frac {1}{r}}\,f(r-ct)+{\frac {1}{r}}\,g(r+ct)$

Per un’onda uscente (nessuna sorgente all’infinito), vi è una sola soluzione che ha senso fisico:

$E(r,t)={\frac {1}{r}}\ f(r-ct)$

Per una sorgente che oscilla sinusoidalmente a frequenza $\omega$, la soluzione assume la forma:

$E(r,t)={\frac {E_{0}}{r}}\,\cos(kr-\omega t)$

dove $k=\omega /c$.

Il campo magnetico associato è perpendicolare a $\mathbf {E}$ e alla direzione radiale:

$B(r,t)={\frac {E_{0}}{c\,r}}\,\cos(kr-\omega t)$

Caratteristiche delle onde sferiche

• Decadimento come 1/r: L’ampiezza diminuisce con la distanza perché l’energia si distribuisce su superfici sferiche di area $4\pi r^{2}$.
• Fronti d’onda sferici: La fase $kr-\omega t={\text{costante}}$ descrive sfere concentriche.
• Campo trasversale: Anche nel caso sferico, $\mathbf {E}$ e $\mathbf {B}$ restano perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione.
• Regione di campo lontano (far field): A distanze molto grandi dalla sorgente, l’onda sferica si approssima localmente a un’onda piana.

Spettro elettromagnetico

Le onde elettromagnetiche possono avere frequenze e lunghezze d’onda estremamente diverse tra loro. L’insieme di tutte le possibili frequenze costituisce lo spettro elettromagnetico. Poiché nel vuoto vale la relazione:

$c=\lambda \,\nu$

una frequenza più alta corrisponde a una lunghezza d’onda più corta, e viceversa.

Lo spettro elettromagnetico è continuo: non esistono “salti” tra una regione e l’altra. Le suddivisioni che seguono sono convenzionali e basate su modalità di produzione, rivelazione e applicazioni.

Onde radio (RF)

Diagramma animato di una antenna a dipolo che irradia onde radio

Le onde radio comprendono le frequenze più basse dello spettro e sono generate da correnti elettriche oscillanti in antenne di grandi dimensioni. La loro lunghezza d’onda molto elevata permette di coprire grandi distanze e di diffrangere attorno agli ostacoli, rendendole ideali per comunicazioni terrestri e marittime. Sono utilizzate in radiofonia, televisione, telecomunicazioni, radiolocalizzazione e radioastronomia. La loro produzione e rivelazione è relativamente semplice, motivo per cui sono state le prime onde elettromagnetiche sfruttate tecnologicamente.

Microonde

Le microonde hanno lunghezze d’onda comprese tra decine di centimetri e pochi millimetri. Per le grandi potenze si impiegano sorgenti a vuoto come i magnetron, robusti ed efficienti, utilizzati nei radar e nei forni a microonde; per le basse potenze si usano invece oscillatori a stato solido, più compatti e stabili. Le microonde sono fondamentali nelle comunicazioni satellitari, nei collegamenti punto‑punto, nei sistemi radar e in molte applicazioni industriali e scientifiche. La loro interazione selettiva con l’acqua le rende utili per il riscaldamento dielettrico.

Infrarosso (IR)

Una immagine all'infrarosso con falsi colori di due persone dovuta alla emissione della temperatura corporea

Le radiazioni infrarosse sono emesse da qualunque corpo caldo: la sorgente più comune è infatti la radiazione termica, che cresce con la temperatura secondo la legge di Planck. Anche le transizioni vibrazionali delle molecole producono infrarosso, motivo per cui questa regione dello spettro è fondamentale in spettroscopia. Gli infrarossi trovano impiego nella termografia, nelle telecomunicazioni in fibra ottica, nei telecomandi e nell’astronomia IR, che permette di osservare oggetti freddi o oscurati dalla polvere interstellare. Pur invisibili, sono tra le radiazioni più presenti nella vita quotidiana.

Luce visibile

La luce visibile è la stretta porzione dello spettro percepita dall’occhio umano, compresa tra circa 400 e 700 nm. È prodotta principalmente da transizioni elettroniche negli atomi e nelle molecole, come avviene nelle lampade, nei LED e nelle stelle. La luce visibile è fondamentale per l’osservazione del mondo naturale e per la maggior parte delle tecnologie ottiche: lenti, microscopi, telescopi, fibre ottiche e strumenti di misura. Nonostante rappresenti una piccola parte dello spettro, è quella più studiata nella storia della fisica.

Ultravioletto

Immagine all'ultravioletto della galassia NGC247

La radiazione ultravioletta ha lunghezze d’onda più corte del visibile ed è prodotta da transizioni elettroniche ad alta energia, scariche elettriche e sorgenti termiche molto calde. L’UV è in grado di ionizzare alcune molecole e di rompere legami chimici, motivo per cui è utilizzato nella sterilizzazione e nella disinfezione. Nell’atmosfera terrestre viene in gran parte assorbito dallo strato di ozono, proteggendo gli organismi viventi. In laboratorio e in astronomia l’UV è uno strumento prezioso per studiare materiali e plasmi ad alta energia.

Raggi X

I raggi X sono generati principalmente dal frenamento di elettroni ad alta energia (bremsstrahlung) o da transizioni elettroniche profonde negli atomi. La loro capacità di attraversare materiali opachi li rende indispensabili nella diagnostica medica, nella tomografia computerizzata e nella cristallografia a raggi X, che permette di determinare la struttura dei cristalli e delle molecole complesse. In astronomia, i raggi X rivelano fenomeni estremi come buchi neri, stelle di neutroni e gas ad altissima temperatura.

Raggi gamma

I raggi gamma sono le radiazioni più energetiche dello spettro e sono prodotti da processi nucleari, decadimenti radioattivi e fenomeni astrofisici estremi come supernovae e lampi gamma. La loro elevata energia permette di penetrare profondamente nella materia, rendendoli utili nella medicina nucleare, nella radioterapia e nella sterilizzazione di materiali. In astrofisica forniscono informazioni uniche sugli eventi più violenti dell’universo. La loro rivelazione richiede strumenti altamente specializzati.